偏微分で下のような問題がでたのですが、解けなくて困ってます。どなたか教えてください。

 Z=1/t・exp{(-x^2+y^2)/(4・(c^2)・t)}を
xで偏微分するという問題です。

よろしくお願いします。

A 回答 (1件)

 


  偏微分は、偏微分する変数以外はすべて定数と考えて微分します。まず、式が曖昧なので、次のような式だと考えます(違っている場合は、答えになりません):
 
  Z=(1/t)*[exp{(-x^2+y^2)/(4(c^2)*t)}]
 
  z=(-x^2) とします。
  Z=(1/t)*[exp{(z+y^2)/(4(c^2)*t)}]
  dZ/dz=(1/t)*[1/(4(c^2)*t)]*[exp{(z+y^2)/(4(c^2)*t)}]
 
  (dZ/dz)(dz/dx)=(1/t)*[1/(4(c^2)*t)]*[exp{(z+y^2)/(4(c^2)*t)}]*(-2x)
  = (-2x/t))*[1/(4(c^2)*t)]*[exp{(z+y^2)/(4(c^2)*t)}]
  = (-2x/t))*[1/(4(c^2)*t)]*[exp{(-x^2+y^2)/(4(c^2)*t)}]
 
  もう少し係数を整理してもよいのですが、これで一応偏微分ができているはずです。(dZ/dz は、とりあえず偏微分記号と考えてください)。
 
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Qlim{x→∞}x∫{0~x}exp(t^2-x^

lim{x→∞}x∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt

(∫{0~x}の部分はこういう表記の仕方がよくわからないのですが、0が下でxが上です)

答えが一応出たのですが、解答解説がついていないためチェックしていただけますか?

lim{x→∞} x∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt

exp(x^2)はtによらないので、
=lim{x→∞} x∫{0~x}exp(t^2)dt /exp(x^2)

exp(t^2)の0~無限大の積分は明らかに無限大に発散するので、ろぴたるの定理をつかう
=lim{x→∞} {∫{0~x}exp(t^2)dt+xexp(x^2)}/exp(x^2)2x
=lim{x→∞} ∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt/2x +1/2

これを最初の式と比べる
lim{x→∞}x∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt =lim{x→∞}∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt/2x +1/2

lim{x→∞}x(1-1/2x^2)∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt = 1/2
lim{x→∞}x∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt =x^2 / (2x^2-1)=1/2

という風に1/2が答えとして出たのですが、間違っているとこ、足りないところなどありましたらご指摘お願いします。

lim{x→∞}x∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt

(∫{0~x}の部分はこういう表記の仕方がよくわからないのですが、0が下でxが上です)

答えが一応出たのですが、解答解説がついていないためチェックしていただけますか?

lim{x→∞} x∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt

exp(x^2)はtによらないので、
=lim{x→∞} x∫{0~x}exp(t^2)dt /exp(x^2)

exp(t^2)の0~無限大の積分は明らかに無限大に発散するので、ろぴたるの定理をつかう
=lim{x→∞} {∫{0~x}exp(t^2)dt+xexp(x^2)}/exp(x^2)2x
=lim{x→∞} ∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt/2x +1/2

これを最初の式と比...続きを読む

Aベストアンサー

「これを最初の式と比べる」以降の計算は、
各 lim が収束することを根拠なく仮定している。
もう一度、ロピタルを使えば良かったのに。

Qexp{L[1]x+L[2]x^2/2+L[3]x^3/3+…}=F[1]+F[2]x+F[3]x^2+…

フィボナッチ数列F[n]は、
F[1]=1,F[2]=1,F[n+2]=F[n+1]+F[n]
で定義され、リュカ数列L[n]は、
L[1]=1,L[2]=3,L[n+2]=L[n+1]+L[n]
で定義されます。このとき、

exp{L[1]x+L[2]x^2/2+L[3]x^3/3+…}=F[1]+F[2]x+F[3]x^2+…

が成り立つそうなのですが、どうしてなのですか?

右辺は、フィボナッチ数列の母関数と似ていてなんとか求められるのですが、左辺をどうして求めていいかわかりません。

なお、式は
http://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html
の(68)を参照しました。

Aベストアンサー

↓ここに証明がありますね。
http://maths.dur.ac.uk/~dma0rcj/PED/fib.pdf
(2.7 A surprising sum を見てください。)

参考URL:http://maths.dur.ac.uk/~dma0rcj/PED/fib.pdf

Q[Q.] 12^x-{(1/2)^(2x+1)}(1/3)^(2x)=1を解け。

宜しくお願い致します。

下記の問題で答えが複雑になってしまいました。

[Q.] 12^x-{(1/2)^(2x+1)}(1/3)^(2x)=1を解け。
[A.} 与式を変形すると
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12^x-1/6(1/4)^x(1/3)^x=1
12^x-1/6(1/12)^x=1
12^x-1/6(12^x)^(-1)=1
ここで12^x=tとおくとt>0で与式は
t-1/(6t)=1
6t^2-1=6t
6t^2-6t-1=0
t=(3±√15)/6
t>0より
t=(3+√15)/6
∴ x=log[(3+√15)/6]12

となったのですがこれで正しいでしょうか?

Aベストアンサー

>12^x-{(1/2)^(2x+1)}(1/3)^(2x)=1を解け。
>12^x-1/6(1/4)^x(1/3)^x=1
この式は間違っていますね。
正しくは
12^x-(1/2)36^(-x)=1
です。#2さんの回答の式と同じですね。
>t^2-(1/2)(1/t^2)=1
#1さんの回答のこの式は間違いのようですね。

色々やってみましたが初等関数の範囲では理論解は導出出ませんね。(既知の超越関数でもだめです。)
ただし、
y=12^x-(1/2)36^(-x)-1
このグラフを描くと実根が一個だけ存在することが分ります。
数値解析で根の近似値(ニュートン=ラプソン法使用)を求めると
0.11507761403287255...
となります。

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対数 log の底は自然数 e です(log は自然対数 ln)。

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Q∫(0,∞){x/(exp(x)+1)}dx=π^2/12 の解き方を

∫(0,∞){x/(exp(x)+1)}dx=π^2/12 の解き方を教えてください。
岩波 数学公式Iにこの公式が載っているのですが、どのように式変形をして答を得るのかが分かりません。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

∫(0,∞){x/(exp(x)+1)}dx=π^2/12・・・・(1)
被積分関数を以下のように変形する。
x/(e^x+1) = x・Σ[k=1~∞](-1)^(k-1)・e^(-kx)   (x≧0)
fk(x)=(-1)^(k-1)・x・e^(-kx) (k=1,2,3・・・)とすれば
Σ[k=1~∞]|fk(x)|は任意の0<a<bに対してa≦x≦bで一様収束して
Σ[k=1~∞]{∫(0,∞)|fk(x)|dx}
= Σ[k=1~∞]{∫(0,∞)x・e^(-kx)dx}
= Σ[k=1~∞]{[-1/k・xe^(-kx)](0,∞) + 1/k・∫(0,∞)e^(-kx)dx}
= Σ[k=1~∞]1/k^2n
は収束する。

よって
∫(0,∞){x/(e^x+1)}dx = Σ[k=1~∞]{(-1)^(k-1)・1/k^2} = π^2/12

----------------------------------------------------
以下の事実を用いている!
φ(x),fk(x)(k=1,2,3・・・)が0<x<∞において連続且0<x<∞に含まれる
任意の閉区間においてΣ[k=1~∞]|fk(x)|が一様収束するものとする。
このとき
Σ[k=1~∞]{∫(0,∞)|φ(x)||fk(x)|dx},∫(0,∞)|φ(x)|{Σ[k=1~∞]|fk(x)|}dx
のどちらか一方が収束すれば
Σ[k=1~∞]{∫(0,∞)φ(x)・fk(x)dx} = ∫(0,∞)φ(x){Σ[k=1~∞]fk(x)}dx
が成り立つ。
------------------------------------------------

∫(0,∞){x/(exp(x)+1)}dx=π^2/12・・・・(1)
被積分関数を以下のように変形する。
x/(e^x+1) = x・Σ[k=1~∞](-1)^(k-1)・e^(-kx)   (x≧0)
fk(x)=(-1)^(k-1)・x・e^(-kx) (k=1,2,3・・・)とすれば
Σ[k=1~∞]|fk(x)|は任意の0<a<bに対してa≦x≦bで一様収束して
Σ[k=1~∞]{∫(0,∞)|fk(x)|dx}
= Σ[k=1~∞]{∫(0,∞)x・e^(-kx)dx}
= Σ[k=1~∞]{[-1/k・xe^(-kx)](0,∞) + 1/k・∫(0,∞)e^(-kx)dx}
= Σ[k=1~∞]1/k^2n
は収束する。

よって
∫(0,∞){x/(e^x+1)}dx = Σ[k=1~∞]{(-1)^(k-1)・1/k^2} = π^2/12

---------...続きを読む


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