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ガウス積分の問題で行き詰まってしまいました。

 ∞
∫ x*exp[-a*x^2] dx=1/(2*a)
 0
となると思うのですが、これの証明の仕方がわかりません。

gooドクター

A 回答 (4件)

exp[-a*x^2]をxで微分したら、x*exp[-a*x^2]がでてきますよね。


ということは。。あとはご自分で考えてみてください。

この回答への補足

自分で考えて見たのですが、また疑問点ができてしまいました。
もう少しヒントいただけないでしょうか?

補足日時:2006/06/18 21:55
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>もう少しヒントいただけないでしょうか?


ヒントというよりほとんど答えになってしまいますが、、
 ∞
∫ x*exp[-a*x^2] dx 
 0
        ∞
= -1/2a * ∫ (exp[-a*x^2])' dx
        0
                 ∞ 
= -1/2a * [ exp[-a*x^2] ]
                 0
あとは、、いいですよね。

 
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これは、ガウス積分の問題ではありませんね。

高校レベルで解ける問題です。t=-ax^2とおいてみたら、どうでしょうか?
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質問者様の過ちは定積分と不定積分の区別です。


定積分を微分したら0になるのは至極当然のことです。
もう一点、(この場合には大丈夫だとは思いますが)微分と積分の順序交換を説明なしに行っているのが気になりました。
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