相対論を大学で勉強させてもらっている者です。
初めて質問させてもらいます。
本によっては、リーマンテンソルの定義の仕方が違ったりするのはどういうことでしょうか。
具体的には、クリストッフェル記号の添え字のついている文字は同じですが、定義の符号が逆転しているということです。


^上付き添え字
_下付き添え字

R^α_μλν=
-R^α_μλν=

これには、何か意味があるのでしょうか?
本によりけりなので、覚え方に影響して困っています。

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A 回答 (2件)

この問題は、単にnotation(表記法)の問題であって、物理とは関係ありません。


実は、私もかなり悩んだことがあるのですが。。。
要するに例えば、電子の電荷に負符号をつけるかつけないかという問題と同じです。(電子の電荷を-eとするかeとするかで、式の符号が変わってきますよね。それと本質的に同じことです。)

で、相対性理論の場合は、空間にマイナス符号をつけるか、もしくは、時間の方にマイナス符号をつけるか、で式の符号が違ってきます。
たぶん、計量テンソルの定義をみれば、一番わかりやすいのではないでしょうか?
(たしかそうです)
g_i_j (の対角成分)
=(1,1,1,-1) ととるか
=(-1,-1,-1,1) ととるか
etc
第3成分を時間にとるか、第0成分を時間にとるかという違いも
ありますし。
それから、
g_i_j=(1,1,1,1)
g^i^j=(1,1,1,-1)
というようなこともありえないわけではないですね。
いろいろ表記法の定義の仕方はありますよね。
おそらく、符号の問題はこの辺が原因です。
著者の好みです。
親切な(これが当たり前だと思うが)本なら、この本ではどういう表記法を
使うというのがまとめてあるはずです。
そこでの表記法の定義が同じならば、式の符号も同じになるはずです。
一度表記法を決めたら、その本は、その符号で首尾一貫しているはずです。
符号によらず、首尾一貫していれば、記述している物理内容は同じです。 
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この回答へのお礼

ありがとうございます。お礼遅れてすいません。
参考にさせていただきます。

お礼日時:2002/02/25 20:27

どう定義しようと大勢には影響しないですし・・・


覚え方は、いつも同じ本を参照していれば、そのうち覚えますし・・・
一番いいのは、定義を覚えようとせず、計算したいときはその本の定義に戻るということでしょうか?
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
どう定義しても大勢には影響がないというのは、要するにどちらの形にしろ、ベクトルを平行移動して違う経路で、ある点に持っていったときの曲がりをあらわすものだからということでしょうか?

お礼日時:2002/02/22 20:32

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Qクリストッフェル記号というか、テンソルの添え字について

閲覧ありがとうございます。よろしくお願い致します。
クリストッフェル記号はテンソルではないという話の部分で、クリストッフェルの変換則の式を導きたいのですが、テンソルの添え字の操作(?)でわからないところがあるので質問させて頂きます。

添付の画像に数式を示してあります(読みづらかったらすいません^^;)
右辺(2)と左辺の式の係数を見比べて、クリストッフェルの変換則が導かれると本に書いてあります。
しかし私は、(1)を(3)のようにしてもよいと思ったのですが、これではどうしていけないのでしょうか?
(1)→(3)は、添え字γをμ’に変えただけです。(1)でγはダミー指標なので別の文字に置き換えることは何ら問題はないと思ったのですが…。

どうかご教授下さればと思います。よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

例えば、Aというベクトルがあるとしましょう。
Aというベクトルのx成分はA_x、y成分はA_yなどのように表しますよね。A_xを1番目の成分という意味でA_1と、A_yを2番目の成分という意味でA_2のように書いても構いませんよね。

xy軸とは異なるuv軸を考えている時でも同様に、u成分A_uをA_1と,v成分A_vをA_2の表記しても構わないはずです。


全く同じ記号を使ってますが、xy軸で考えている時のA_1,A_2と、uv軸で考えている時のA_1,A_2は当然違うものを表しています。
ですので、座標変換を考える時のように1つの式(文脈)の中に両方の意味のA_1などが出てくる時には、混乱を避けるため何らかの方法でこの2つを区別する必要があります。

その1つの方法が、
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB
のように、A自体にプライムをつけるという方法(例:xy軸の時にはつけない、uv軸の時には付けるなど)です。多分、この書き方が主流です。

ただ、これだと、どうしてもAとA’の2つのベクトルが登場しているように見えますよね。それを嫌って(←他にも理由があるかもしれません)、μのような添え字にプライムをつける事があります。この場合、プライムの有無には当然意味があるので、ダミーだからと言って勝手にプライムを付けたり消したりする事はできません。(具体的に書き下した時に違うものを表す事になるという事です)

例えば、Aというベクトルがあるとしましょう。
Aというベクトルのx成分はA_x、y成分はA_yなどのように表しますよね。A_xを1番目の成分という意味でA_1と、A_yを2番目の成分という意味でA_2のように書いても構いませんよね。

xy軸とは異なるuv軸を考えている時でも同様に、u成分A_uをA_1と,v成分A_vをA_2の表記しても構わないはずです。


全く同じ記号を使ってますが、xy軸で考えている時のA_1,A_2と、uv軸で考えている時のA_1,A_2は当然違うものを表しています。
ですので、座標変換を考える時...続きを読む

Qma=Fと微分方程式 m・d^2r/dt^2=F

高校の物理で習うma=Fというニュートンの第2法則ですが、
これを微分方程式m・d^2r/dt^2=Fで解くと何がより分かるように
なるのでしょうか?
またこれ以外にも微分方程式で解くことによる利点を教えて
頂けないでしょうか?

よろしくお願いします

Aベストアンサー

 高校物理では等加速度運動に限定するため、ma=Fという式をよく用いますが、ご承知の通り、それは微分方程式m・d^2r/dt^2=Fの特別な場合です。

 m・d^2r/dt^2=Fは、実は物凄い式です。Fも時刻変化するため、m・d^2r/dt^2=F(t)と書いておいた方がいいかもしれません。また、速度vも考えると、m・d2v/dt=Fです。なお、vもrもベクトルです。

 その式が何を意味しているかといえば、「質量mの物体と位置、物体にかかる力の関係式」ということです。つまり、どんな時刻でもいいので物体の位置が分かり、物体にかかる力がどんなものか分かれば、物体の運動を無限の過去から未来永劫に渡って知ることができる、ということです。

 物体にかかる力は、直接の接触、重力、電磁気力しかありません(ただし、ニュートン力学や電磁気学のマクスウェル方程式が最終的な真理と思われていた19世紀末頃の知見)。それらは、質量や電荷が分かればどれだけかは厳密に確定します。つまり、どんなときにどれだけの力を及ぼすかは分かるわけです。

 そうすると、「どんな時刻でもいいので、全宇宙の粒子の種類と位置さえ分かり、無限の計算能力があれば、宇宙全体を無限の過去から永劫の未来に渡って知ることができる」ということになります(そうできる存在を想像して「ラプラスの悪魔」と呼んだりする)。

 そのことを言い換えると、この宇宙で起こることは全て確定している、宇宙のどこでも、いつでも、どんなことが起こるかは、宇宙が誕生したときに全て決まっている、ということになります。

 こうして回答を書いているのも、質問者様が疑問に思って質問されたことも、宇宙誕生のときから決まっていた、ということです。そうなっているという考え方を「決定論」と呼びます。

 微分方程式m・d^2r/dt^2=Fは、そういうことまで言っている式なのです。

 微分方程式による物理学は、電磁気学で威力を発揮しました。電荷の間に電磁気力が働く、という考え方を遠隔作用説と呼びます。微分方程式ではない簡素な式で物理現象を記述できます。それを「電荷の周りに電磁気的な場ができる」と考えるのを近接作用説といい、微分方程式による記述になります。

 遠隔作用説では説明できないことがあったり、電磁波の数学解も出て来ませんでした。近接作用説に則り、微分方程式で記述し直すと、電磁波の数学解が出てきて、実験してみると電磁波が発見されました。重力もニュートンの式は遠隔作用説の記述ですが、アインシュタインが近接作用説で書き直し、重力に対する理解が非常に進んで、今まで説明不能だったことが説明できるようになりました。

 遠隔作用説の微分方程式でない数式は二つ以上の物体を不可分として扱わねばなりません。数式は簡素でも、物理学的には複雑なことを表しています。一方、近接作用説で考えて出てくるのは微分方程式という見た目は複雑な数式ですが、数式が表しているのは一つの物体についてであり、内容的には簡素です。近接作用説は物理現象を、遠隔作用説より細かく分解して記述しているといえます。

 物理学では、物理現象を調べるときに、できるだけ細かい要素に分けて、一つ一つの要素を調べます。一つ一つが分かったら、元の形に組み直していき、ようやく「分かった」となります。細かく分解できるほど、正確に、精密になるというのが、経験的な事実です。微分方程式による記述は、もっと正確に、より精密にということの顕れです。当然、物理学として進歩します。

P.S.

 決定論は間違っていることが既に判明しています。量子力学の成果です。量子力学は「物理現象の根本は不確定で確率的である」としています。何事も100%の精度で知ることはできず、サイコロの目の出方次第で変わってしまうのですから、たとえ宇宙全体を観測できて、無限の計算能力を持っていても、ラプラスの悪魔にはなれないわけです。

 高校物理では等加速度運動に限定するため、ma=Fという式をよく用いますが、ご承知の通り、それは微分方程式m・d^2r/dt^2=Fの特別な場合です。

 m・d^2r/dt^2=Fは、実は物凄い式です。Fも時刻変化するため、m・d^2r/dt^2=F(t)と書いておいた方がいいかもしれません。また、速度vも考えると、m・d2v/dt=Fです。なお、vもrもベクトルです。

 その式が何を意味しているかといえば、「質量mの物体と位置、物体にかかる力の関係式」ということです。つまり、どんな時刻でもいいので物体の位置が分かり、物体にかか...続きを読む

Q物理学ですこの問題の考え方が分かりません 答えはR=√(R0^2+X0^2)です お願いします

物理学ですこの問題の考え方が分かりません
答えはR=√(R0^2+X0^2)です
お願いします

Aベストアンサー

電力Pは

P=|I|^2・R=(E^2)R/{(R0+R)^2+X0^2}

PをRで微分すると

dP/dR=E^2(R0^2+X0^2-R^2)/{(R0+R)^2+X0^2}^2

従って、Pの最大値は dP/dRの分子が0になるところなので

R0^2+X0^2-R^2=0 → R=√(R0^2+X0^2)

Q加速度αの単位は(m/s^2)ですが重力加速度gとの関係はα=gでいいのでしょうか? ある問題の解

加速度αの単位は(m/s^2)ですが重力加速度gとの関係はα=gでいいのでしょうか?

ある問題の解説でmg=Nより、となっていたのでα=gなのかなと

Aベストアンサー

物体に働く力が F (N)、そのときの質量 m (kg) の物体の運動の加速度が a (m/s²) のとき、運動方程式は
  F = ma
と書けます。力の単位「ニュートン:N」が「 kg・m/s² 」と等価であることが分かります。

 働く力が「下向きの重力:mg」だけのときには、「上」を正として
  F = -mg (これは運動方程式ではなく「力が下向きに mg である」という式)
であり、運動方程式は
 -mg = ma
となるので、
 a = -g
ということが、運動方程式から導き出されます。

 重力以外に、たとえば「ロケットの上昇推進力」が働くような場合では、「上昇推進力」を Fs とすれば
  F = -mg + Fs (これも運動方程式ではなく「力が上向きに -mg + Fs である」という式)
ですから、運動方程式は
 -mg + Fs = ma
となります。左辺が「働く力」、右辺が「ロケットの運動」です。
 これより、ロケットの加速度は
  a = -g + Fs/m
ということが導き出されます。

Qハイパスフィルタ回路の入力電圧が(E_0/s + tanθ/s^2)e^(-st_0)とあらわされる過程を説明してほしいです。

過渡現象の問題の解説を読んでいます。
o----C--------------o 
↑       |        ↑ 
e_i       R        e_o
|       |        |
o--------------------o  

ハイパスフィルタ回路の伝達関数が
H(s) = R/(R+1/(sC))とあらわされるのはわかったのですが、入力電圧e_iが、

E_1(s) =(E_0/s + tanθ/s^2)e(-st_0)とあらわされる導出ができません。E_0というのはt=0のときの初期電圧だと思います。
上記導出についてアドバイスいただけますでしょうか。

Aベストアンサー

>E_1(s) = (E_0/s + tanθ/s^2)e(-st_0)

前稿を訂正。
(まったく見当違いをしてました)

e_1(t) は正弦波じゃなくて、ステップ波形に直線波形(傾斜角 = θ)を重畳したものですね。
 ステップ波形のラプラス変換がE_0/s
 直線波形のラプラス変換がtanθ/s^2
 e(-st_0) は時間シフトをかけたことを示す
.... ようです。


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