5400の正の約数の個数15と、それらの約数の総和の問題

5400の個数を求める問題で
5400＝2^3×3^3×5^2であるから、
約数の個数＝(3+1)(3+1)(2+1)＝48

また、約数の総和は
約数の総和＝(2^0+2^1+2^2+2^3)(3^0+3^1+3^2+3^3)(5^0+5^1+5^2)
＝15×40×31＝18600

と解答されているのですが、約数の個数の求め方とその約数の総和がどうしてこのような式になるのかが分かりません。
出来るだけ、わかりやすく説明できる方いますか？ポイントが分かる人もお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： noname#44630 回答日時： 2006/06/21 00:54

素因数分解をしたあとから説明します。

では樹形図を考えて見ましょう。

２、３、５の部分の３つのパーツに分かれます。

約数は、
２^０と３^０と５^０→約数１
　　　 　　　 ５^１→約数５
　　　　　　　５^２→約数２５

３^１と５^０→約数３
　　　 　　　 ５^１→約数１５
　　　　　　　５^２→約数７５
・・・

２、３、５は素数なので、どの掛け算も同じ値にはなりません。

つまり掛け算の組を考えると全部で
　　　
(3+1)(3+1)(2+1)＝48となります。

２の部分の数×３の部分の数×５の部分の数になってますね。


約数の総和は
　２^０×３^０×５^０
＋２^０×３^０×５^１
＋２^０×３^０×５^２
・・・・
＝２^０×()＋２^１()＋２^２()＋２^３()

（ ）の中身は同じものがきます。確かめてください。

よって

＝（２^０＋２^１＋２^２＋２^３)( )となります。

同じように( )の中を３でくくりまとめると、

総和は(2^0+2^1+2^2+2^3)(3^0+3^1+3^2+3^3)(5^0+5^1+5^2)
＝15×40×31＝18600

となるはずです。確かめてみてください。
感動できる式ですよ～。
公式と思って使うのも可能です

No.3 回答者： noname#44630 回答日時： 2006/06/21 01:02

下の訂正です。

２段目に抜けている部分がありました。

２^０と３^１と５^０→約数３
　　　 　　　 ５^１→約数１５
　　　　　　　５^２→約数７５

です

No.1 回答者： noname#20377 回答日時： 2006/06/20 20:35

Wikipedia-素因数分解の例で解るかな？(組み合わせの知識必須)

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0%E5%9B%A0% …