計算機なしでルートをはずす計算のしかたを教えてください。例えば√2=1.41421356などはすぐにわかりますが、√45.345などをはさみうちのやりかたではずすとすごく時間がかかってしまいます。友達が、ひっさんではずすやりかたがあったような・・・!?と言っていましたが。今度の電子回路のテストは計算機が不可なので、手ですばやくルートをはずせないと困ります。教えてください。よろしくお願いします。

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A 回答 (5件)

これは開平ですね。

大昔にやったような記憶があります。結局は、上の方の桁から二乗しながら元の平方数を越えないような数を求めるわけですが、参考URLに詳しく手順が書いてあります。

参考URL:http://www.nikonet.or.jp/spring/sanae/MathTopic/ …
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この回答へのお礼

とてもわかりやすい回答ありがとうございました。とても助かりました。さっそくやってみたいと思います。本当にありがとうございました。

お礼日時:2000/12/30 17:57

Stomachmanもtullioさんと一緒。

この手です。
x <- (x+y/x)/2
わり算は、yの有効数字と同じぐらいの桁だけ出す。(xの誤差はyの誤差と同程度で良いから。概数が欲しければもっと手抜きする。)

y=45.345
0) x  7      <-だいたい
1)y/x 6.4779 <-がんばる
2) 差  0.6    <- (0)と(1)のだいたいの差
3) x  6.7390 <- (0)と(1)の平均
4)y/x 6.7287 <-がんばる
5) 差  0.01   <- (3)と(4)のだいたいの差
6) x  6.7338 <- (3)と(4)の平均
終わり。
なぜなら、次はきっと差が0.000X、
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました。またわからないことがあったら、よろしくお願いします!

お礼日時:2000/12/30 18:22

ニュートン法を使ったほうが速い事もあります.


√a を求めたいとすると,

1:初期値としてxに√aに近い値をいれる(aそのものでも良い)
2:x←(x*x+a)/(2 x)を好きなだけ計算する

1回の計算で小数点以下3桁くらいはでるでしょう.
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました。こういうやり方を知らなかったので勉強になりました。またわからないことがあったら教えてください。

お礼日時:2000/12/30 18:20

ここにある、45.345でやっていきます。



まず、小数点の部分から上の桁、下の桁を2桁ずつ区切ります。

するとまず、左の45が出てきます。

このなかで、一番大きい2乗の数値を探します。
6の2乗ですので、6を別のところに書きます。
そして、45から6の2乗の36を引きます。
すると45-36=9がの残ります。
これに、次の二桁を34を9のうしろに付けます。
つまり、934が出来ます。先ほどの6と6を加えたものつまり12を十倍したものにある数字を足したもの(χとする)とχの積で、934より小さい一番大きなχの値を探します。
 つまり(120+χ)×χ<934のχの最大値を求めます。すると、7が出てきます。
次に、934-127×7=45に次の2桁を加えて、4550となります。これを先ほどの127に7を加えたものつまり134を10倍したものにある数字を足したものに(これをyとする)yかけたもののうち4550より小さい最大値を探します。
 つまり(1340+y)×y<4550すると、3が出てきます。これを繰り返せば、平方根が求められます。

もう少し図的にしめすと

  6      √45.345   
  6       36      
 -----------------  
 127       9 34
   7       8 89
 -----------------
 1343        4550 
    3        4029
 -----------------
 13463        52100
     3        40389
 --------------------
 134668       1126100
      8       1077344
 ---------------------

と言う具合です。また、少数点の位置ですが、6よりあとは、少数点以下の数値を利用して求めたことになるので6の後に来ます。
よって、45.435の平方根は、6.7338‥‥
と求めることが出来ます。
ちょっと説明がわかりにくくてすみません。図で判断してください。なお、注意点ですが、「少数点の部分から、2桁ずつ区切こと」「数字がなくなったら0(ゼロ)を2つずつ加えること」を間違えなければ、なんとか手計算で平方根は求められます。ちょっと大変ですが。

助言にでもなれば、幸いです。
tukitosan でした。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました。わざわざ図まで書いていただいて、とても見やすかったです。本当にありがとうございました。

お礼日時:2000/12/30 18:11

え~っと、遠い過去の記憶を頼りに思い出してみました。



例として232×232の答である53824のルートについて解いてみましょう。(バランスが悪くて見難いのはご勘弁を)

    ) ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
     5|38|24

とゼロ桁から2桁づつ区切ります。
そして一番前の桁の5以下で一番大きな2乗根は2なので

     2
 2  ) ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
 2   5|38|24
     4
      ̄ ̄ ̄ ̄
     1 

とします。ここで左の2を2回書きます。
その2つの2を足します。
そして後ろの2桁を降ろします。

     2
 2  ) ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
 2   5|38|24
     4
  ̄    ̄ ̄ ̄ ̄
 4   1 38


そして
4○×○<138となるように○に当てはまる数字を書きます。


     2  3
 2  ) ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
 2   5|38|24
     4
  ̄    ̄ ̄ ̄ ̄
 43  1 38
  3  1 29
      ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
        9

以下43+3をしてその答46を用いて46○×○<924を満たす○を当てはめます。

以下繰り返します。


     2  3  2
 2  ) ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
 2   5|38|24
     4
  ̄    ̄ ̄ ̄ ̄
 43  1 38
  3  1 29
  ̄ ̄   ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
 462    9 24
        9 24
         ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
           0

原理については忘れました。ごめんなさい。
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この回答へのお礼

とても丁寧に回答していただいてありがとうございました。どんどん使ってすばやく計算できるように頑張ります。ありがとうございました。

お礼日時:2000/12/30 18:15

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直接、乗車バス停から降車バス停の時刻を調べることはできませんが、
私が愛用させていただいた、
『旅に出たくなるページ』内の『旅に出たくなる路線図』さんが昨年の12月31日をもって閉鎖されてしまいました。これが最高だったので残念です。
しかし、リンク集は残されていますので検索してみる価値は十分有ると思います。
http://ryokou.gozaru.jp/index.html

『時刻表はココから』さんには、各バス会社のホームページや、地域によっては、その地域全体を調べられるものも記載されています。
http://homepage2.nifty.com/fuguta/time/i/i-menu.html

『NAVITIME』さんは、全国の各バス停の発車時刻を調べることができますが、掲載されていないバス停が多々有ります。
http://www.navitime.co.jp/bus/

地域別では、
・関東地方 『バスサービスマップ』さん(路線図の検索)
http://www.geocities.jp/busservicemap/
・東海地方 『路線図ドットコム』さん(路線図の検索)
http://www.rosenzu.com/
・九州地方 『九州のバス時刻表』さん(停留所名で九州のほとんどのバスが検索できます)
http://qbus.jp/time/
などがあります。

miya_HN さんがどの地域をお探しかわかりませんが、手間がかかっても良ければ、各都道府県のバス協会等の大まかなバス路線図は存在すると思いますので、そこでバス会社を調べて、そのバス会社のホームページがあればそれを参照してみてはいかがでしょうか。

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 参考にならない意見ですいませんが、中継点を指定できるウェブ検索は、今のところまだないと思います。
(将来的には近いうちにどっかが始めると思いますが、2006年5月現在ではまだ見ないです)

 現在ルート検索で使われている処理方式は「可能性のある全てのルートを検索し、その中から最適なものを選ぶ」という処理方式が取られていることが多いです。
 そのようなアルゴリズムである関係上、「ウェブにルート検索を載せた」こと自体、実は凄いことなんです。

 中継点付きルート検索の場合、中継点の数だけ同じ検索を繰り返すため処理が2倍3倍と増えていく関係上、かなり潤沢な資金のある会社でなければ、それほどの能力を持ったシステムは導入できないのが実情です。
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(カーナビに搭載された検索システムは、あなたが個人的に使うからこそ中継点指定ができるんです。
 ウェブ検索では何人もの人間が同時に使うのですから、みんなでサーバーの処理能力を譲り合わなければいけません。「みんなで分け合ってもなお余裕のあるシステム」となると、それなりに処理能力が求められるっちゅーわけです)

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Qx≧1の時2(√(x+1)-√x),2(√x-√(x-1)),1/√xの大小関係は

こんにちは。


x≧1の時2(√(x+1)-√x),2(√x-√(x-1)),1/√xの大小関係は?

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ただし、不等号の両辺が1より大か、小かを確認して逆数の不等号を考えてください。

結果の大小関係は正しいですね。

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・カーナビのようにルート検索ができるサイト

自宅のパソコンで出発地と目的地を入力してルート検索、距離、所要時間などがわかるカーナビのようなサイトを探しているのですが知っている方いませんでしょうか?
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

マップファンを使っています。

http://www.mapfan.com/

『ルート検索』で多分ご希望どうりのものが出来ると思います。
ラリーマップは便利で楽しいですよ(笑)

Q{√(1)+√(1+2)+√(1+2+3)+…+√(1+2+…+n)}/n^2 → √2/4

n → ∞のとき、
{√(1)+√(1+2)+√(1+2+3)+…+√(1+2+…+n)}/n^2 → √2/4

また、n → ∞のとき、
{√(1+2+…+n)+√(2+3+…+n)+…+√(n-1+n)+√(n)}/n^2 → π√2/8

らしいのですが、証明がかいてありませんでした。
どうか証明を教えていただけないでしょうか。

Aベストアンサー

#3、#5です。

>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)[Σ[k=1,n]{k/n} - 1/n + (n+1)/n]
>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)Σ[k=1,n]{k/n}

1/nが消えるのはわかるのですが、n/n(=1)が消えるのはなぜでしょう?


>でもそのはさみこむ方法は、後半ではうまくいきにくいし、…

後半もうまくいきましたので、以下に説明します。
n=7の場合のグラフを添付します。
区分求積法により、{√(1+2+…+n)+√(2+3+…+n)+…+√(n-1+n)+√(n)}/n^2 は幅(1/n),高さ{√{(k+1)+(k+2)+…+n}}/nの階段状の図形の面積になります。k=0~n-1です。
下限関数 f(x)=√{(1-x^2)/2}
上限関数 g(x,Δ)=√[{(1+Δ)^2-x^2}/2] (但しΔ=1/n)
階段関数 {√{(k+1)+(k+2)+…+n}}/n=√[{n(n+1)-k(k+1)}/(2n^2)]

(1)x=k/nのところで、階段の高い方より上限関数 g(x,Δ)が大きい事を示します。但しk=1~nです。
x=k/nの階段の高い方は√[{n(n+1)-(k-1)k}/(2n^2)]です。
x=k/nの上限関数 g(x,Δ)=g(k/n,1/n)=√[{(1+(1/n))^2-(k/n)^2}/2]=√[{(n+1)^2-k^2}/(2n^2)]
(上限関数) ≧ (階段関数の高い方) を示すには、ルートと分母の(2n^2)が共通なので、
(n+1)^2-k^2 ≧ n(n+1)-(k-1)k を示せば十分です。
{(n+1)^2-k^2}-{n(n+1)-(k-1)k}=n-k+1≧0 より明らかです。

(2)x=k/nのところで、階段の低い方より下限関数 f(x)が小さい事を示します。但しk=0~nです。
x=k/nの階段の低い方は√[{n(n+1)-k(k+1)}/(2n^2)]です。
x=k/nの下限関数 f(x)=f(k/n)=√[{(1-(k/n)^2}/2]=√[(n^2-k^2)/(2n^2)]
(階段関数の低い方) ≧ (下限関数) を示すには、ルートと分母の(2n^2)が共通なので、
n(n+1)-k(k+1) ≧ n^2-k^2 を示せば十分です。
{n(n+1)-k(k+1)}-(n^2-k^2)=n-k≧0 より明らかです。

以上の事から階段関数は下限関数 f(x)と上限関数 g(x,Δ)の間に入る事がわかりました。
下限関数の面積をF,上限関数の面積をG(n),階段関数の面積をA(n)とすると、
F ≦ A(n) ≦ G(n) となります。
F=∫[0→1]f(x)dx=(1/√2)(単位円の面積÷4)=π(√2)/8
G(n)=∫[0→(1+Δ)]g(x,Δ)dx=(1/√2)(半径(1+Δ)の円の面積÷4)={π(√2)(1+Δ)^2}/8 (但し Δ=1/n)
つまり階段関数の面積はπ(√2)/8以上{π(√2)(1+1/n)^2}/8以下になります。
n→∞で階段関数の面積はπ(√2)/8に収束します。

#3、#5です。

>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)[Σ[k=1,n]{k/n} - 1/n + (n+1)/n]
>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)Σ[k=1,n]{k/n}

1/nが消えるのはわかるのですが、n/n(=1)が消えるのはなぜでしょう?


>でもそのはさみこむ方法は、後半ではうまくいきにくいし、…

後半もうまくいきましたので、以下に説明します。
n=7の場合のグラフを添付します。
区分求積法により、{√(1+2+…+n)+√(2+3+…+n)+…+√(n-1+n)+√(n)}/n^2 は幅(1/n),高さ{√{(k+1)+(k+2)+…+n}}/nの階段状の図形の面積になります。k=0~n-1です。
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