A組100人の平均値は60kg、標準偏差は5kgである。A組で、60kg以下の人数は約何人か?という問題があるのですがどうやって解けばいいのわかりません。教えてくださいお願いします。

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A 回答 (4件)

 正規分布の性質


 ───────
 平均(μ)を中心として、±1標準偏差(σ) で挟まれた部分の面積:
 0.3413×2=68.26%


N     :正規分布(Normal distribution)
N(μ,σ^2):平均μ、標準偏差σの正規分布を表す

  N(60,5^2)    /⌒\
         / │ \
        /  │  \
        /   ├←─→┤
       │   │σ= 1 │
       │   │   │
       /    │    (  面積(S)=0.3413
      /    │ (S) │\ (σ= 0~1)
     /     │   │ \
 ___/      │   ↓  \____
 ──┬───┬───┬───┬───┬───
   -2   -1   0  σ=1   2   → (σ)
   50   55   60   65   70   → (Kg)
          平均μ

つまり、

 μ±1.0 σ:68.26 %
 μ±1.96σ:95.00 %  ←※
 μ±2.00σ:95.44 %  ←※
 μ±3.00σ:99.73 %

であるので、

---------------------------------------------------------------------------------
(計算)
・平均(60kg) ± 1.00σ(5kg×1.00) = 60± 5.0 Kg は、100人×0.6826=68.26≒ 68人
※平均(60kg) ± 1.96σ(5kg×1.96) = 60± 9.8 Kg は、100人×0.9500    = 95人
※平均(60kg) ± 2.00σ(5kg×2.00) = 60±10.0 Kg は、100人×0.9544=95.44≒ 95人
・平均(60kg) ± 3.00σ(5kg×3.00) = 60±15.0 Kg は、100人×0.9973=99.73≒100人


(回答案)
・60kg 以下の人:(100- 0.00)/2=50.00=50人
・55kg 以下の人:(100-68.26)/2=15.87≒16人
※50kg 以下の人:(100-95.00)/2= 2.50≒ 3人
※50kg 以下の人:(100-95.44)/2= 2.28≒ 2人
・45kg 以下の人:(100-99.73)/2= 0.27≒ 0人

※※ 2σ= 95% としている場合は、50kg 以下の人は、約3人
 
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この回答へのお礼

しくみがよくわかりました。グラフまで書いてくださってありがとうございます。
本当にありがとうございます。

お礼日時:2002/02/28 01:46

これは学生だけではなく、社会人の技術者でも、頻繁に間違う事ですが、、、



皆さんのお答えは、暗黙的に条件を、A組の人の体重の分布は正規分布であると
していることです。(正確には「正規分布で近似できる」ですね)

しかし平均値と標準偏差が与えられているからと言って正規分布とは限りません。
**分布と名のつく場合に限らず、でたらめな分布をしている場合でも平均値と
標準偏差は計算できます。

こういう問題では、まず分布がどうかということを考え、そこから正しい分布表
を用いて計算する必要があります。大学院を出た技術者であっても、この原点を
忘れてしまうことがあります。

でも、実際は大雑把にヒストグラムを書いて、「まあ、だいたい正規分布だろう」
とそんなに深く考えないで、あとは正規分布表からの計算を行います。
大抵の場合、こういう分布は正規分布に近似しても大きな間違いは出ないので、
とかく基本を忘れがちですが、折角の機会なので、注意する癖をつければいいと
思います。
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この回答へのお礼

わかりました。本当に有難うございます。

お礼日時:2002/02/28 01:46

A組の人の体重は正規分布に従っているとします。



体重をX、平均値をμ、標準偏差をσとすると、体重Xは正規分布N(μ,σ^2)に従います。Z=(X-μ)/σ とおくと、Zは標準正規分布N(0,1)に従います。

よって、P(X≦60) = P{(X-μ)/σ ≦ (60-μ)/σ} = P{Z≦(60-60)/5} = P(Z≦0) となり、標準正規分布表よりP(Z≦0)=0.5となります。

以上より、求める人数は100×0.5=50(人)となるので、60kg以下の人数は約50人となります。

大学で勉強したような気がします。(全然的外れな回答でしたら無視してください。)
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この回答へのお礼

本当にありがとうございました。よくわかりました。
答えはあってました。

お礼日時:2002/02/28 01:45

http://sparrow.math.ryukoku.ac.jp/~junta/edu/che …

また、過去に同様の質問も見つけました。
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=2575

頑張ってください。
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すいません。
http://okwave.jp/qa4327195.html
について再投稿です。


A:=∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kと置いて
今,AがLegesgue可測集合である事を示したい訳ですよね。
Lebesgue可測集合とはλをLebesgue外測度とする時,
{E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。
そこで疑問なのですがλはn次元区間塊全体に対して定義された写像ですよね。なのでλ(S∩E)とλ(S∩E^c)はそれぞれλ(E)+λ(E^c)で(∵E⊂∀S⊂R^n),一応は定義されているのですがλ(S)はSの採りようによってはλ(S)自体が定義されないという状況に陥ってしまいます(∵必ずしもSはn次元区間塊とは限らない)。
するとλ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)という不等式は意味を成さなくなります。
従って,AがLebesgue可測集合である事が示せなくなってしまいます。
Lebesgue可測集合の定義を勘違いしてますでしょうか?

すいません。
http://okwave.jp/qa4327195.html
について再投稿です。


A:=∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kと置いて
今,AがLegesgue可測集合である事を示したい訳ですよね。
Lebesgue可測集合とはλをLebesgue外測度とする時,
{E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。
そこで疑問なのですがλはn次元区間塊全体に対して定義された写像ですよね。なのでλ(S∩E)とλ(S∩E^c)はそれぞれλ(E)+λ(E^c)で(∵E⊂∀S⊂R^n),一応は定義されているのですがλ(S)はSの採りようによってはλ(S)自体が定義され...続きを読む

Aベストアンサー

とりあえず教科書を読む.
定義が分かってなければ何もできない.

>Lebesgue可測集合とはλをLebesgue外測度とする時,
>{E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。

こんなこと本当に書いてある?なんか読み落としているとか
説明の途中の何かだとか,勝手に創作してるとか?

>Lebesgue可測集合の定義を勘違いしてますでしょうか?
してる.
だって,それだったら「円」ですらルベーク可測じゃなくなる.

QR^n∋A_1,A_2,…はΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たす.∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kはLebesgue外測度0?

よろしくお願い致します。

A_1,A_2,…をΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たすR^nの部分集合とせよ。
(ア) ∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kがLebesgue外測度0を持つ事を示せ。
(イ) これはLebesgue測度0を持つか? 持つなら理由を述べよ。

という問題です。

(ア)について
Lebesgue外測度の定義からλ^*(A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}…(1)
(但しI_iはn次元区間塊[a_1,b_1]×[a_2,b_2]×…×[a_n,b_n])と書け,
題意よりΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞なのでλ^*(A_k)<∞と分かる。
それでλ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}
から先に進めません。
λ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=Σ[n=1..∞]λ(∪[k=n..∞]A_k)なんて変形もできませんよね。
どのすれば=0にたどり着けますでしょうか?

(イ)について
答えは多分Yesだと思います。
Lebesgue可測集合はL:={E∈R^n;E⊂Uでinf{λ^*(U\E);Uは開集合}=0}の元の事ですよね。
なのでLebesgue測度は制限写像λ^*|L:=μと書けますよね。
それで∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k∈Lを示せば(ア)からLebesgue測度0が言えると思います。
今,(ア)より
inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}=0
と分かったので
0=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}
=inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
(但しBd(I_i)は境界点)
=inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|+|Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
(∵||の定義)
からinf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)}
となればI_i\Bd(I_i)は開集合になので
inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)}=0が言え,
∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k∈Lも言え,
μ(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=λ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=0(∵(ア))
となりおしまいなのですが

inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|+|Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
から
inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)}
となる事がどうしても言えません。どうすれば言えますでしょうか?

よろしくお願い致します。

A_1,A_2,…をΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たすR^nの部分集合とせよ。
(ア) ∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kがLebesgue外測度0を持つ事を示せ。
(イ) これはLebesgue測度0を持つか? 持つなら理由を述べよ。

という問題です。

(ア)について
Lebesgue外測度の定義からλ^*(A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}…(1)
(但しI_iはn次元区間塊[a_1,b_1]×[a_2,b_2]×…×[a_n,b_n])と書け,
題意よりΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞なのでλ^*(A_k)<∞と分かる。
それでλ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=inf{Σ[i=...続きを読む

Aベストアンサー

数列の部分和の定義と∩∪の定義からすぐだと思いますよ。
面倒なので外測度を単にλで表します。
仮定はΣλ(A_k)<∞です。これは級数の収束の定義から部分和
S_N=Σ[k=1,..,N] λ(A_k)
がコーシー列、よって
任意のε>0に対してNが存在し、n≧Nならば
Σ[k=n,...,∞] λ(A_k)<ε
ということを言っているわけです。
問題は、∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] A_kの外測度を求めることですが上の事実を利用できることが分かると思います。上で示したNをとってきます。このとき
λ(∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] A_k)≦Σ[k=N,..,∞] λ(A_k)<ε
となるのはほとんど明らかですね。任意のεに対してもっと大きい番号N'をとっても問題の集合はN'から先の和集合に含まれるわけですからこれは結局λ(∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] A_k)=0でなければならないことを示しています。

QΣa_kとΣb_kを正項級数.lim(a_n/b_n)=0且つΣb_kが収束ならばΣa_kも収束

[問]Σ[n=0..∞]a_kとΣ[n=0..∞]b_kを共に正項級数とする。
lim[n→∞](a_n/b_n)=0且つΣ[n=0..∞]b_kが収束ならばΣ[n=0..∞]a_kも収束。

を証明したいのですがどうすれば分かりません。

Σ[n=0..∞]a_kが正項級数とlim[n→∞]lim(a_n/b_n)=0より
a_n≦0

これからどのようにすればいいのでしょうか?

Aベストアンサー

こんばんは。問題に対する質問者さんの考え方は基本的の事柄を理解していないように感じます。解答のアウトラインを説明しますので細部はご自分で解析学の教科書を開いて勉強してください。

lim[n→∞](a_n/b_n)=0 より、ある実数 K>0 が存在して

a_n/b_n < K (for all n>0) …(1)

よって、a_n < Kb_n (for all n>0)

Σ[n=0..∞]b_n が収束するから

Σ[n=0..∞]a_n < Σ[n=0..∞]Kb_n = KΣ[n=0..∞]b_n < ∞ …(2)

したがって、Σ[n=0..∞]a_n は収束する。

以上が解答です。この解答に使われている重要な事柄は

(1) 収束する数列は有界である。
(2) 上に有界な単調増加の数列は収束する。

です。レポートにそのまま書くのはかまわないと思いますが、それでは本当の意味で数学の力はつきません。時間がかかってもかまいませんから、きちんと(1)、(2)を勉強してそれからこの問題の解答を理解するようにしてください。

こんばんは。問題に対する質問者さんの考え方は基本的の事柄を理解していないように感じます。解答のアウトラインを説明しますので細部はご自分で解析学の教科書を開いて勉強してください。

lim[n→∞](a_n/b_n)=0 より、ある実数 K>0 が存在して

a_n/b_n < K (for all n>0) …(1)

よって、a_n < Kb_n (for all n>0)

Σ[n=0..∞]b_n が収束するから

Σ[n=0..∞]a_n < Σ[n=0..∞]Kb_n = KΣ[n=0..∞]b_n < ∞ …(2)

したがって、Σ[n=0..∞]a_n は収束する。

以上が解答です。この解答に使われている...続きを読む

Q単関数Σ[k=1..n]a_k1_E_kが可測⇔E_1,E_2,…,E_kは全て可測

証明問題です。

1_E(x)=1(x∈Eの時),0(xがEに含まれない時)という関数1_Eを定義関数(特性関数)という。

[命題] {x∈E;f(x)>r}(for∀r∈R)が可測ならば{x∈E;r≦f(x)≦r'}(r,r'∈R)も可測。

[問](Ω,B)を可測空間とする。
単関数Σ[k=1..n]a_k1_E_k (a_k∈R,E_k⊂Ω,1_E_kは定義関数(特性関数) (k=1,2,…,n))とする。
f:=Σ[k=1..n]a_k1_E_kがE:=∪[k=1..n]E_kで可測関数⇔E_1,E_2,…,E_kは全て可測集合。

[証]
(必要性)
fがEで可測関数だから∀r∈R,{x∈E;f(x)>r}∈B.
それでE_i∈Bとなる事を示せばいいのだから
fは単関数だからf(E_i)=a_iとなる定義域がある。
よって上記命題を使って,E_i={x∈E;a_i≦f(x)≦a_i}∈Bとなる予定だったのですが
関数値がa_iとなる定義域はE_iだけとは限りませんよね。
各a_1,a_2,…,a_kが全て異なる値なら
個々でE_i={x∈E;a_i≦f(x)≦a_i}∈Bと持って行けて命題が使っておしまいなのですが,
もしかしたら同じ関数値を採る定義域がE_1,E_2,…,E_kの中に複数個あるかもしれませんよね。
(例えばf=(E_i)=f(E_j)=a_i)
その場合,{x∈E;a_i≦f(x)≦a_i}=E_i∪E_jとなってしまい,E_i∪E_j∈Bで
E_i∪E_jが可測集合である事は示せますがE_iひとつだけで可測になる事が示せません。

こういう場合はどうすればE_iだけが可測である事を示せますでしょうか?

証明問題です。

1_E(x)=1(x∈Eの時),0(xがEに含まれない時)という関数1_Eを定義関数(特性関数)という。

[命題] {x∈E;f(x)>r}(for∀r∈R)が可測ならば{x∈E;r≦f(x)≦r'}(r,r'∈R)も可測。

[問](Ω,B)を可測空間とする。
単関数Σ[k=1..n]a_k1_E_k (a_k∈R,E_k⊂Ω,1_E_kは定義関数(特性関数) (k=1,2,…,n))とする。
f:=Σ[k=1..n]a_k1_E_kがE:=∪[k=1..n]E_kで可測関数⇔E_1,E_2,…,E_kは全て可測集合。

[証]
(必要性)
fがEで可測関数だから∀r∈R,{x∈E;f(x)>r}∈B.
それでE_i∈Bとなる事を示せばいいのだから
fは単...続きを読む

Aベストアンサー

a_kはすべて異なるという条件はありませんか?
例えば、非可測集合Eをとって
1_E + 1_(E^c)=1
は可測関数、しかしE,E^cは非可測です。

Qgcd(p,q)=1,∃a,b∈G;#G=pq,#=p,#=qならばGは巡回群

gcd(p,q)=1とする。(G,・)を位数pq(つまり#G=pq)のアーベル群とせよ。
aの位数がp,bの位数がq(つまり#<a>=p,#<b>=q)であるような元a,b∈Gが存在する時,
(G,・)は巡回群である事(つまり,∃g∈G;<g>=G)を示せ。
また,このような群Gの例を挙げよ。

という問題はどのようにして示せばいいか分かりません。

是非,ご教示ください。m(_ _)m

Aベストアンサー

問題の条件においてGの元abの位数を考えてみましょう。
また例の方はp=2,q=3などとすればすぐに挙げられるでしょう。


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