無限級数の和をもとめよってやつなんですけど、cosとかでてきて解き方わかんないんです。。教えて下さい!


Σ(1/2)^n cos(nπ/2)
n=1

A 回答 (4件)

ではnが偶数の項と奇数の項を別々に計算すれば簡単だよ


奇数の項は0だけど
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
あれからいろいろやってみてひらめいた(?)ので
とけました☆

お礼日時:2002/02/25 01:04

n=1から順番に書いてみると分かりますよ。

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一部間違いがあったのでNo.1を修正します



オイラーの公式により
cos(n・π/2)=(exp(i・n・π/2)+exp(-i・n・π/2))/2
とすれば単なる指数級数になるから簡単でしょう
あるいは
Σ(n=1~∞)・(1/2)^n・exp(i・n・π/2)
=Σ(n=1~∞)・(exp(i・π/2)/2)^n
の実部を取ってもいいね

この回答への補足

オイラーならってないんです。。。涙

補足日時:2002/02/24 23:35
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オイラーの公式により


cos(n・π/2)=(exp(i・n・π/2)+exp(-i・n・π/2))
とすれば単なる指数級数になるから簡単でしょう
あるいは
Σ(n=1~∞)・(1/2)^n・exp(i・n・π/2)
=Σ(n=1~∞)・(exp(i・π/2)/2)^n
の実部を取ってもいいね
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Q無限級数 Σ 1/4 cos 1/2 nπ 

解答説明がなくて困っています。解答は-1/17 です

Σ 1/4^n cos1/2nπ を求めよ。
n=1
です。Σのところの記入方法が解らなかったので、式を写真添付します。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

こんばんは

とりあえず、こういう問題でつまづいたら、

1から代入してみる! というのが常套手段でね♪

4^(-n)×cos(1/2 nπ) これだよね。

自然数で、nを無限まで飛ばすということだよね。

n=1;1/4×cos (1/2 π) =0 (cosのところが0ですね)

n=2;1/16 × cos π =-1/16

奇数のところはゼロになりますね。cosが0ですから。

偶数のところで、cosは+1か-1かでしかでてこないね。

これだけ分かれば次にでてくるのは、 1/256 が出てくるのは見えるかな?

級数になっているのは分かると思いますよ。

奇数のところは、後から引いてもいいけどね。

落ち着いてゆっくりとこう。 m(_ _)m

 ちゃんとやったらでてきますから。大丈夫だよ

Q数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 についてのfのフーリエ級数はa_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx) (但し,a_0=2/π∫[0..π]f(

宜しくお願い致します。

[問] (1) 数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 は[0,π]で直交である事を示せ。
(2) f∈R[0,π](R[0,π]は[0,π]でリーマン積分可能な関数全体の集合)に対して,数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 についてのfのフーリエ級数は
a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx) (但し,a_0=2/π∫[0..π]f(x)dx,a_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dx (n=1,2,…))で与えられる事を示せ。
[(1)の解]
<1,cos(nx)>=∫[0..π]cos(nx)dx=0
次にm≠nの時,<cos(mx),cos(nx)>=∫[0..π]cos(mx)cos(nx)dx
∫[0..π]1/2{cos(mx+nx)-cos(mx-nx)}dx=0
となるので数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 は[0,π]で直交
[(2)の解]
この関数の周期はL=π/2なので1/L∫[0..π]cos(kxπ/L)dxに代入して,
a_0=2/π∫[0..π]f(x)dx
は上手くいったのですが
a_n=2/π∫[0..π]cos(2nx)dxとなり,ここから
2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dxに変形できません。
どのようにして変形するのでしょうか?

宜しくお願い致します。

[問] (1) 数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 は[0,π]で直交である事を示せ。
(2) f∈R[0,π](R[0,π]は[0,π]でリーマン積分可能な関数全体の集合)に対して,数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 についてのfのフーリエ級数は
a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx) (但し,a_0=2/π∫[0..π]f(x)dx,a_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dx (n=1,2,…))で与えられる事を示せ。
[(1)の解]
<1,cos(nx)>=∫[0..π]cos(nx)dx=0
次にm≠nの時,<cos(mx),cos(nx)>=∫[0..π]cos(mx)cos(nx)dx
∫[0..π]1/2{cos(mx+nx)-cos(mx-nx)}dx=0
となるので数列{1...続きを読む

Aベストアンサー

>この関数の周期は2L(=π)なので1/L∫[0..π]cos(kxπ/L)dxに代入したのです。
ですから、この1/L∫[0..π]cos(kxπ/L)dxがどこから出てきたのかわかりませんものね。
当たり前の公式のように書かれていますが、等式にもなっていないから何を求めているのかもわからないですし。

なので#1の回答では最終的にa_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dxになるような式を予想して解説しました。

>これはfは周期2πの偶関数という意味ですよね。
>今,fは周期はπだと思うのですが…
>あと,どうしてfは偶関数だと分かるのでしょうか?
質問の文に
『数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 についてのfのフーリエ級数は
a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx) (但し,a_0=2/π∫[0..π]f(x)dx,a_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dx (n=1,2,…))で与えられる事を示せ。』
とあったのでf(x)=a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx)と表せる前提で話をして良いのかなと思ったのです。
また、f∈R[0,π]の関数を周期[-π,π]で展開することも可能なので一概に周期[0,π]とも言えないと思うのです。
(ただし、その場合にも偶関数として展開、奇関数として展開などの適当な前提は要りますが)


どうやら私が質問や問題の内容を推測して回答してしまったのがよくなかったようですね。
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・今回の問題(2)の題意は
  fがa_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx)で書けることを示すことですか?
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  f(x)=a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx)とするとa_0=2/π∫[0..π]f(x)dx,a_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dxとなることを示すことですか?

・『数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 についてのfのフーリエ級数』とはこの場合どういう意味でしょう?把握してらっしゃいますか?

・fを展開する際の周期ですが本当に[0,π]ですか?
[0,π]ではcos(nx)とsin(mx)が直交しないですし、
f(x)=Σ{b_n*sin(nx)}と奇関数として展開するしか出来ない気がするんですが。

>この関数の周期は2L(=π)なので1/L∫[0..π]cos(kxπ/L)dxに代入したのです。
ですから、この1/L∫[0..π]cos(kxπ/L)dxがどこから出てきたのかわかりませんものね。
当たり前の公式のように書かれていますが、等式にもなっていないから何を求めているのかもわからないですし。

なので#1の回答では最終的にa_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dxになるような式を予想して解説しました。

>これはfは周期2πの偶関数という意味ですよね。
>今,fは周期はπだと思うのですが…
>あと,どうしてfは偶関数だと分かるのでし...続きを読む

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Aベストアンサー

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発散

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Σ[n=1..∞]a_n/n^p∈R
(ii) p=1の時
Σ[n=1..∞]a_n/n^p=Σ[n=1..∞]a_nで収束(∵仮定)
(iii) p<0の時
が分かりません。
どのようにして判定すればいいのでしょうか?

Aベストアンサー

簡単な判定方法はありません。
Σ[n=1..∞]a_n/n^p
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Q級数の収束・発散の判定Σ(cos^4(arctan(n))/n^(1/4)n)

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cos^4(arctan(n))/n^(1/4)n
=1/{n^(1/4)n(n^2+1)^2}
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lim a_n+1/a_n
が1未満なら収束ですよね。

a_n+1/a_n=n/(n+1)・(n/(n+1))^(1/4)・(n^4+2n^2+1)/(n^4+4n^3+16n^2+4)
となり、
lim a_n+1/a_n=1
となってしまうのでこの級数は発散すると思います。

しかしながら
Σa_n<Σ1/n^(5/4)
といえ、調和級数の収束・発散条件からΣa_nは収束となってしますよね。

一体、何処を間違っているのでょうか?

Aベストアンサー

lim a_n+1/a_n=1
では収束も発散も判定できない。のです。
http://ja.wikibooks.org/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%AD%A6%E5%9F%BA%E7%A4%8E/%E7%B4%9A%E6%95%B0#.E6.AF.94.E3.81.AB.E3.82.88.E3.82.8B.E5.88.A4.E5.AE.9A.E6.B3.95


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