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問題:0≦θ≦πの範囲のとき、sinθ+cosθ=tとおいた時の、tの値の範囲

自分で考えた結果、t=sinθ+cosθ=√2sin(θ+π/4)

0≦θ≦πなので、π/4≦θ+π/4≦5/4*π ←ここまでは分かったんです
が、ここからどうやってtの値の範囲を出すか分かりません。

ちなみに、答えは-1≦t≦√2です。

教えてください

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A 回答 (2件)

sinの値を考えればわかりますよ



単位円って習いましたよね?
一応習ったとして話しを進めます^^;

x=θ+π/4としましょう
とりあえずπ/4≦x≦5π/4の範囲を考えて見ましょう
わかりにくかったら紙に円を書いてみてください

まずπ/4
πが円の左端ですからその1/4、つまりちょうど右斜め上ですね
それから5π/4なのでπ+π/4、つまりこちらはちょうど左斜め下の位置ですね

この右斜め上から左斜め下まで、円周をなぞってみてください。sinがy座標っていうのは習いましたよね?では、そのなぞったところで一番上と一番下、つまりこの場合のsinの最大値と最小値を考えてみましょう。

最大値は円の一番上の頂点ですね。単位円は半径が1なので最大値は1になります
最小値はこの場合左斜め下ですね。これはならったと思いますが-√2/2です
よって-√2/2≦x≦1です

それと最後に√2sin(θ+π/4)の√2をかけるのを忘れないでください
-√2×√2/2=1ですから、
-1≦t≦√2となります
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この回答へのお礼

ありがとうございます。大変よく分かりました。三角関数完全に忘れてました。おかげで、思い出せました。

お礼日時:2006/06/29 22:00

sin(θ+π/4)の最大値って


π/4≦θ+π/4≦5/4*π
だから
sinX(π/4≦X≦5/4*π)の最大値と同じ訳だ。

図を書いてみると解るけど

-1/√2<sinX<1だ

だから

-1≦√2sinX≦√2
-1≦t≦√2

#...回りくどく書いて却って解りにくくなった気がする最近このパターン多いんだよな・・・orz
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この回答へのお礼

ありがとうございます。でも、知りたいとこがわかりにくいです。聞いておきながらスイマセン。

お礼日時:2006/06/29 21:58

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