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すべての馬は同じ色をしている。
この事実は、与えられた集合の馬の数に関する帰納法で証明することが出来る。
<証明>
もしも馬が1頭しかいなかった場合、それは自分自身と同色である。したがって帰納法の基底は自明である。
帰納段階に関しては、全部でn頭の馬がいるとして、それに番号1からnをつけておく。
帰納法の仮定によって番号1からn-1の馬は同色であり、同様に番号2からnの馬も同色である。しかしここで、2からn-1の中間の番号の馬は、この議論の途中でその色を変えることはできない。なぜなら、馬はカメレオンではないからである。そたkがって、1とnまでの馬も同色でなければならない。こうしてn頭の馬すべてが同色であることを証明できた。

↑誤りがあるらしいのですが、発見できません。というか問題の意味がよくわかりません。。。何かヒントでもかまわないので、いただけないでしょうか?

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A 回答 (2件)

よくある問題の変形版ですね



まず,一匹の馬がいて一匹しかいないから同じ色
これはまあ問題ないでしょう

n=2のケースを考えます
馬A,馬Bがいます.
帰納法の仮定はこの場合
「一匹の馬は必ず同じ色」です.
したがって,馬Aは一匹なので同じ色
馬Bについても同様です
けど,どうして馬Aと馬Bが同じ色だといえますか?

>帰納法の仮定によって
>番号1からn-1の馬は同色であり、
>同様に番号2からnの馬も同色である。
>しかしここで、2からn-1の中間の番号の馬は、
>この議論の途中でその色を変えることはできない。

これにn=2をいれてみてください
番号1から1の馬は同じ色であり
同様に番号2から2の馬は同じ色である
中間の馬,いますか?

ということで,実はこの帰納法は
n=1が最初ではなくって,
n=2が最初になるべきものなんです.
そして,n=2のときの命題
「二匹の馬は必ず同じ色である」は成り立ちません

ちょっと違いますが,同種の問題に
「世界中の砂粒はお猪口に入れられる」
という類のものがあります.

お猪口には砂粒が一粒入る
n粒の砂粒が入ると仮定する
一粒の砂粒が入るならばもう一粒は入る
したがって,n+1粒入る
数学的帰納法より
すべての砂粒が入る

となります(^^;;
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回答はでているようなのでお遊びです.



頭に毛が1本しかない人はハゲである.
ハゲの人に毛を1本足してもハゲである.
したがって,何本毛があってもハゲなので
全ての人はハゲである.
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Q順序対について

こんにちは.2年ほど前に分からないまま過ごしてきた
問題でしたが,また再び再燃してしましました.もう決着をつけたいのでお願いします.

順序対(a,b)≡ {{a}, {a,b}}

をこのように定義すれば,次の順序性が証明できるとあります.

つまり,
(a,b)=(c,d) ならば,a=c かつ b=d
また,
a≠b ならば,(a,b)≠(b,a)

宜しくお願いします.

Aベストアンサー

これよりも前の「直積集合の定義」の話は
これが分かってないと厳しいように思います.
ZFの話でいいんですよね.
集合を
ZFの中の「対の公理」
「x, yに対して,x と y のみを元とする集合が存在する。」
はご承知ですか?
ちょっといい加減に記号化すると
x,y に対してZ={x,y}となる集合が存在するというやつです.

さて,aに対して,{a}という集合が存在します
(これは対の公理でx=y=aとした場合).
さらに,aとbに対して,{a,b}が存在し(対の公理),
今度は{a}と{a,b}に対して,対の公理を適用して
{ {a}, {a,b} } が存在します.
これを (a,b) と書き順序対というわけです.

やっと問題に到達しました.
全部,ZFの公理のみで証明できて
どれがどの公理を根拠とするかは書けるのですが
ほとんどが外延公理と対の公理で,うるさいだけなので
省きます.

(1) 「(a,b)=(c,d)」 ならば 「a=c かつ b=d」
(a,b)=(c,d) と仮定する,つまり
{ {a}, {a,b} } = { {c}, {c,d} } ・・・(I)
です.
さて,ここで a ≠ c と仮定します.
すると,{a} ≠ {c} です.
よって(I)より {a} = {c,d} です
c ∈ {c,d} = {a} となるので c=aとなり,これは矛盾
よって,a=c です,

つぎに,b ≠ d と仮定します.
(I)および a=c より {a,b} = {c,d} です.
b ∈ {a,b} = {c,d} です.
ここで,もし c = d であるならば,
b ∈ {a,b} = {c,d} = {d}なので b = d となり矛盾
したがって,c ≠ d です.
ここで,
b ∈ {a,b} = {c,d},c ≠ d, b ≠ d なので
b = c となります.ところが,すでに a = c を示した
a = b です.
つまり,{a} = {a,b} = {c,d},つまり,c=d で矛盾です.
したがって,b = d となります.

(2) a≠b ならば,(a,b)≠(b,a)
これは(1)から明らかです。対偶をとる.もしくは背理法.

久しぶりに公理的集合論をかんがえたので
何か抜けてるかもしれませんが,流れはこんな感じです.

ちなみに,a=b,c=dのケースもあるので単純な
「個数比較」ではできません.

これよりも前の「直積集合の定義」の話は
これが分かってないと厳しいように思います.
ZFの話でいいんですよね.
集合を
ZFの中の「対の公理」
「x, yに対して,x と y のみを元とする集合が存在する。」
はご承知ですか?
ちょっといい加減に記号化すると
x,y に対してZ={x,y}となる集合が存在するというやつです.

さて,aに対して,{a}という集合が存在します
(これは対の公理でx=y=aとした場合).
さらに,aとbに対して,{a,b}が存在し(対の公理),
今度は{a}と{a,b}に対して,対の公理を...続きを読む


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