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△ABCにおいて、AB=x、BC=2x、CA=9とする
(1)△ABCができるようなxの範囲を求めよ
(2)△ABCが直角三角形になるときのxの値を求めよ
(3)∠Cが最大になるときのxの値を求めよ

この問題を解いています
(1)は三角形の成立条件より3<x<9となって
(2)はBCが最大辺になるときx=3√3、ACが最大辺になるときx=9√5/5となったのですが、
(3)の条件がうまく言い換えられません。「∠Cが最大のときABが最大辺になる」ということを利用できるでしょうか?(2)のように三平方の定理が利用するわけにはいかないので困ってます。
何らかのアドバイスやヒント等いただければ幸いです。よろしくお願いします

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A 回答 (3件)

余弦定理より


cosC=(4x^2+81-x^2)/36x=(1/12){x+(27/x)}
cosCが最小の時Cが最大となるので、{x+(27/x)}が最小の時Cは最大
相加平均、相乗平均の関係から
{x+(27/x)}≧2√27
等号は x=27/x すなわち x=3√3 のとき
cosCの最小値は (1/12)*2√27=(√27)/6=(√3)/2
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図形で考えると(数IIレベル)


点Cを原点、点Aを(9,0)にとると、点Bは(2AB=BCより)
点D(12,0)を中心とする半径6の円周上にあります。
 点Bを円周上で動かして、∠ACBが最大になる時のBの位置を考えると、辺BCが円の接線になる時だとわかります。
 このとき、△CDBは∠B直角でCD=12、BD=6より、∠C=30度でBC=6√3になり、x=AB=(1/2)BC=3√3
(ちなみに、点Bは(9,±3√3)になる。)
この解き方は角Cが30度45度60度以外の時はややメンドウだが、たいていはそのどれかで問題が出ます(問題を作ります)。

「∠Cが最大のときABが最大辺になる」は解くときに使ってもよい知識ですが、この問題では使いません(できません)。

 数Iレベルでは、No1、No2さんのやり方が順当だと思います。
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この回答へのお礼

3人の方々回答いただきありがとうございました。
cosCが最小のときに∠Cが最大というのがみそだったのですね!本当にありがとうございました

お礼日時:2006/07/02 20:03

・・・一応、自分なりに解いてみたのですが、何かとてつもなくややこしくなった気がします・・・。


--------------------------------------------------------------------------------------------------
私は、余弦定理で解いてみました。ABについて余弦定理を利用して、『x^2 = 4x^2 + 81 -36xCOS∠C』として、COS∠Cについて整理します。後は、その整理した式をxで微分して最大値を得ると、答えが出てきました。ちなみに、その値をxに代入すると、COS∠Cの値も得られました。
・・・・と、このような具合です。解答の参考にして下さいませ。
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数学で「角度はラジアン単位で表現」しなさいとはどうすればいいですか?

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そもそもラジアンってなんですか・・・

Aベストアンサー

#4の者です。


redはラッド?レッド?なんて読みますか・・


 redじゃなくてradです。radianを省略したものです。読み方は「ラジアン」


ラジアンって弧の長さを求めるものなんですか?角度じゃないんだ・・・


 ラジアンは弧の長さを求めるためのものではなくて、「弧の長さが求めやすいように定義されている」角度の単位です。測るものはあくまでも「角度」です。

 たとえば、キロメートルとマイルはどちらも"長さ"を測る単位ですし、円とドルやユーロなどは通貨の単位です。「°」と「rad」も同様です。「角度」を測ることに変わりはなく、単純に使う目盛りが違うだけです。

Q△ABCにおいて、AB=5, AC=4, cosA=-5/1である。 ⑴辺BCの長さを求めよ BC=

△ABCにおいて、AB=5, AC=4, cosA=-5/1である。

⑴辺BCの長さを求めよ
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⑵△ABCの外接円の半径を求めよ

Aベストアンサー

(1)
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a^2=25+16-2・5・4(-1/5)
=25+16+8=49
a=BC=7

(2)
(cosA)^2+(sinA)^2=1 ← 三角関数の基本公式を使ってsinAを求める。
(sinA)^2=1-(cosA)^2
(sinA)^2=1-(-1/5)^2=24/25
sinA=√(24/25)=2√6/5 ← sinAが求まった
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Aベストアンサー

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この問題わかりませんでした。

回答を見ると、
ABとACの長さは5,6なので、ABとAC上の単位ベクトルは、1/5b→、1/6c→となります。(単位ベクトルは1なので)
すると、その和の1/5b→+1/6c→は∠Aの二等分線上のベクトルであるので、AI→と同一直線状にあることがわかります。

よって、式を作ると
AI→=k(1/5・b→+1/6・c→)=t(6b→+5c→)
*K/30 =t とおく

質問1
AI→=K(1/5・b→+1/6・c)というのは、これは、ベクトルを最初に学んだ最初の部分のことですよね??ただ、そのあとの、t(6b→+5c→)というのと、(k/30 = tとおく)って部分がわかりませんでした。 この二つ、t(6b→。。)って部分は気がつかないといけない部分と、t=k/30の部分は、数学の世界って良くKとか置く事が多くて>_<今回この意味がわからないと絶対だめだと感じました。。

続き→
同様ににBA→=-b→、BC→=-b→+c→
BI→=l{1/5(-b→)+1/4(-b→+c→)} =l(ー9/20・b→+1/4・c→)=s(-9b→+5→c)と表せる。

質問2
最初のAIでも同じなんですけど、どうしてK(。。 やl(。。とlとkが出てきてるのですか??
あとl(-9/20・b→+1/4・c→)って部分と
そのあとのs(-9b→+5→c)って部分がどうしてこのようになるのかわかりませんでした>_<

どなたか教えてくださいお願いします>_<

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回答を見ると、
ABとACの長さは5,6なので、ABとAC上の単位ベクトルは、1/5b→、1/6c→となります。(単位ベクトルは1なので)
すると、その和の1/5b→+1/6c→は∠Aの二等分線上のベクトルであるので、AI→と同一直線状にあることがわかります。

よって、式を作ると
AI→=k(1/5・b→+1/6・c→)=t(6...続きを読む

Aベストアンサー

>(k/30 = tとおく)って部分がわかりませんでした。
  これはtと置かなくても大丈夫です。分数がないようにしているだけ
  でしょう。だから、t=k/30は気がつかなくても解けます。

>あとl(-9/20・b→+1/4・c→)って部分とそのあとの・・・
  ※1と見間違うからl(エル)は大文字Lとしますね。
  これは、AI→のときと同じ考えで、BI→は、
  (BA→の単位ベクトルとBC→の単位ベクトルの和)×L・・・☆
  と表すことができ、BA→=-b→だからBA→の単位ベクトルは
  -1/5b→、BC→=c→-b→だからBC→の単位ベクトルは
  1/4(c→-b→)となるので、☆の式に代入して
  BI→=L(-1/5b→+1/4c→-1/4b→)=L(-9/20b→+1/4c→)
  L/20=sとおけば、-9L/20=-9s、L/4=5L/20=5sと表せ
  BI→=s(-9b→+5c→)となります。

  さっきと同じで、これもsと置き換えないでも大丈夫です。

あとは、AI→=AB→+BI→からt、s(または置き換えなしなら
k、L)の連立を解けば、t(またはk)が求められます。

>(k/30 = tとおく)って部分がわかりませんでした。
  これはtと置かなくても大丈夫です。分数がないようにしているだけ
  でしょう。だから、t=k/30は気がつかなくても解けます。

>あとl(-9/20・b→+1/4・c→)って部分とそのあとの・・・
  ※1と見間違うからl(エル)は大文字Lとしますね。
  これは、AI→のときと同じ考えで、BI→は、
  (BA→の単位ベクトルとBC→の単位ベクトルの和)×L・・・☆
  と表すことができ、BA→=-b→だからBA→の単位ベクトルは
  -1...続きを読む

QXperia arcでのvpn接続方法

Xperia arcでmoperaUモードで会社内LANにVPN(IPSec)接続する方法が分からなくて困っています。

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(1)SPモードをoffにしてmoperaUモードにした。
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Aベストアンサー

DNSを検索するドメインが設定されていないのではないでしょうか!

Q平面上にBC=a、CA=b、AB=cである△ABC

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Aベストアンサー

重心Gを原点と見なして、PA→,PB→,PC→をGA→ ,GB→ , GC→とGP→で表してみましょう。すなわち
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Q源泉徴収の英訳をしたい

留学のために「給与所得の源泉徴収票」を自分で英訳してたいのですが、英訳するために参考になるサイトやPDFをご存知でしたら、教えてください。

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>英訳するために参考になるサイトやPDFをご存知でしたら、教えてください。

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>源泉徴収票を自分で英訳したとして、その英訳について保証するような保証書もつけた方がよろしいでしょうか?

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Q三角形ABCの内心をIとする。辺BC,CA,ABの長さをa.b.cとしOA→=l→

三角形ABCの内心をIとする。辺BC,CA,ABの長さをa.b.cとしOA→=l→、OB→=m→、OC→=n→とするときOI→を求めよ。

途中までできたのですけど、その後が教科書の答えのように式をつくれませんでした。

まず私は、
AI=l(1/c・c→+1/b・b→) と式を作りました。
これはAIを求める時に、単位ベクトルを1とし、
その中で、1/c・cが当てはまるので、これで一般線形表示の式をつくりました。

つぎに、OIを題意では聞かれてるのですが、まずAIとBIを求めると、過去の問題で理由はわかりませんけど、順序良く求めていくものなのでBIの式をつくりました。
BI=K{1/c(-c) +1/a(-c)+1/a(b)} *(-c)とかは分子に掛かってます。
ただ、是は教科書のを見て書いたのですけど、
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BC=1/a・(a)ではダメで、きちんとBC=1/a(-c+b)としなくてはダメなのでしょうか?(質問1)

そのまま続たら、
BI=K{(-1/c-1/a)c + 1/a・b} とbとcで分けて
BI=BA+AIより、 K{(-1/c-1/a)c + 1/a・b}=-c+l/c・c+l/b・b 
この式を教科書見るとcとbで式を抜き出してました。
K{(-1/c-1/a)}=-1+l/c ...A
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これはどうしてこのように出来るのですか?(質問2)
ベクトルcとbは平行ではない理由から、一つの式から抜き出して、分ける事の可能な理由を教えてください。
..bの式をK=に変形して...a二代入すると。
l=bc/a+b+cとなり、 AI=bc/a+b+C ×(1/c・c→+1/b・b→)....C ⇔OI =OA+AI の式をつくる。
OI=OA+AI=l+b/a+b+c×(m-l)+c/a+b+c(n-l) (質問3)OI=OA+AIの式を作るので、AIを求めたのですけど、どこから、(m-l)と(n-l)が生まれたのかわかりませんでした。>_<最後この部分をとけて答えがでるのですけど、AI=bc/a+b+c(1/c・c+1/b・b)の筈なんですけど。。。>_< 

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Aベストアンサー

「ベクトルAB」を (AB)↑ と書きます 「ベクトルm」は m↑ です。
ご質問に直接答えてないですが、まず、以下はOKですか?
(OA)↑= l↑
(OB)↑= m↑
(OC)↑= n↑
(AB)↑= m↑ - l↑ よって (BA)↑= l↑ - m↑
(AC)↑= n↑ - l↑
(BC)↑= n↑ - m↑
次に
(AB)↑の大きさを1にすると  (m↑ - l↑)/c よって (BA)↑の大きさを1にすると ( l↑ - m↑)/c
(AC)↑の大きさを1にすると  ( n↑ - l↑)/b
(BC)↑の大きさを1にすると  ( n↑ - m↑)/a
(AI)↑=h{(m↑ - l↑)/c + ( n↑ - l↑)/b} とかける
(BI)↑=k{( l↑ - m↑)/c + ( n↑ - m↑)/a} とかける
ここで
(AI)↑+(IB)↑= (AB)↑ より
(AI)↑-(BI)↑= (AB)↑すなわち
h{(m↑ - l↑)/c + ( n↑ - l↑)/b} - k{( l↑ - m↑)/c + ( n↑ - m↑)/a} = m↑ - l↑
n↑の係数を比較すると、h/b - k/a = 0 すなわち h = kb/a
m↑の係数を比較すると、h/c + k/c + k/a = 1 すなわち h/c + k(a+c)/ac = 1
第一式を第二式に代入してhを消去すると kb/ac + k(a+c)/ac = 1 すなわち k(a+b+c)/ac = 1
すなわち k = ac/(a+b+c) よって
(BI)↑=k{( l↑ - m↑)/c + ( n↑ - m↑)/a} ={ac/(a+b+c)}{( l↑ - m↑)/c + ( n↑ - m↑)/a}
={a/(a+b+c)}( l↑ - m↑) + {c/(a+b+c)}( n↑ - m↑)
={a/(a+b+c)}l↑ - {(a+c)/(a+b+c)}m↑ + {c/(a+b+c)}n↑
ここで(OI)↑=(OB)↑+(BI)↑ より
(OI)↑=(OB)↑+(BI)↑= m↑+ {a/(a+b+c)}l↑ - {(a+c)/(a+b+c)}m↑ + {c/(a+b+c)}n↑
= {a/(a+b+c)}l↑ + {b/(a+b+c)}m↑ + {c/(a+b+c)}n↑
= (a*l↑ + b*m↑ + c*n↑)/(a+b+c)

「ベクトルAB」を (AB)↑ と書きます 「ベクトルm」は m↑ です。
ご質問に直接答えてないですが、まず、以下はOKですか?
(OA)↑= l↑
(OB)↑= m↑
(OC)↑= n↑
(AB)↑= m↑ - l↑ よって (BA)↑= l↑ - m↑
(AC)↑= n↑ - l↑
(BC)↑= n↑ - m↑
次に
(AB)↑の大きさを1にすると  (m↑ - l↑)/c よって (BA)↑の大きさを1にすると ( l↑ - m↑)/c
(AC)↑の大きさを1にすると  ( n↑ - l↑)/b
(BC)↑の大きさを1にすると  ( n↑ - m↑)/a
(AI)↑=h{(m↑ - l↑)/c + ( n↑ - l↑)/b} とかける
(BI)↑=k{( l↑ - m↑)/c...続きを読む

Q角度の時・分・秒への換算について

角度の表示方法で、時・分・秒で表示する方法があるのですが(60進法だと思ったのですが)換算する時の計算方法を教えて下さい。

Aベストアンサー

例えば、
5.625度を
時(度)分秒に直すとすると。
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5.625の整数部分で

分の部分は
0.625×60して
37.5になりますが、この整数部分で
37
秒の部分は同様に
0.5×60して
30
5°37’30”
ということになります。
逆に換算する場合は、
5+37/60+30/3600
という感じになります。

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Aベストアンサー

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同じように、bとcなら1/15、cとaなら1/10。

ところで、aとb、bとc、cとaの3組が同時に仕事をしたら何日で終わるでしょう?
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1/12+1/15+1/10=5/60+4/60+6/60=15/60=1/4
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「aとb、bとc、cとa」とはa、b、cがそれぞれ2人ずついる状態です。
2人ずついれば4日で終わるのですから、a、b、cが1人ずつの3人で仕事をする場合には8日かかります。


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