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△ABCにおいて、AB=x、BC=2x、CA=9とする
(1)△ABCができるようなxの範囲を求めよ
(2)△ABCが直角三角形になるときのxの値を求めよ
(3)∠Cが最大になるときのxの値を求めよ

この問題を解いています
(1)は三角形の成立条件より3<x<9となって
(2)はBCが最大辺になるときx=3√3、ACが最大辺になるときx=9√5/5となったのですが、
(3)の条件がうまく言い換えられません。「∠Cが最大のときABが最大辺になる」ということを利用できるでしょうか?(2)のように三平方の定理が利用するわけにはいかないので困ってます。
何らかのアドバイスやヒント等いただければ幸いです。よろしくお願いします

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A 回答 (3件)

余弦定理より


cosC=(4x^2+81-x^2)/36x=(1/12){x+(27/x)}
cosCが最小の時Cが最大となるので、{x+(27/x)}が最小の時Cは最大
相加平均、相乗平均の関係から
{x+(27/x)}≧2√27
等号は x=27/x すなわち x=3√3 のとき
cosCの最小値は (1/12)*2√27=(√27)/6=(√3)/2
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図形で考えると(数IIレベル)


点Cを原点、点Aを(9,0)にとると、点Bは(2AB=BCより)
点D(12,0)を中心とする半径6の円周上にあります。
 点Bを円周上で動かして、∠ACBが最大になる時のBの位置を考えると、辺BCが円の接線になる時だとわかります。
 このとき、△CDBは∠B直角でCD=12、BD=6より、∠C=30度でBC=6√3になり、x=AB=(1/2)BC=3√3
(ちなみに、点Bは(9,±3√3)になる。)
この解き方は角Cが30度45度60度以外の時はややメンドウだが、たいていはそのどれかで問題が出ます(問題を作ります)。

「∠Cが最大のときABが最大辺になる」は解くときに使ってもよい知識ですが、この問題では使いません(できません)。

 数Iレベルでは、No1、No2さんのやり方が順当だと思います。
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この回答へのお礼

3人の方々回答いただきありがとうございました。
cosCが最小のときに∠Cが最大というのがみそだったのですね!本当にありがとうございました

お礼日時:2006/07/02 20:03

・・・一応、自分なりに解いてみたのですが、何かとてつもなくややこしくなった気がします・・・。


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私は、余弦定理で解いてみました。ABについて余弦定理を利用して、『x^2 = 4x^2 + 81 -36xCOS∠C』として、COS∠Cについて整理します。後は、その整理した式をxで微分して最大値を得ると、答えが出てきました。ちなみに、その値をxに代入すると、COS∠Cの値も得られました。
・・・・と、このような具合です。解答の参考にして下さいませ。
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