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円に内接するn角形の内で面積が最大となるものは
正n角形であることを証明しなさい。

図を書いて考えたり、背理法を使うのかなどいろいろ考えてみたのですが、そもそも何角形で考えたらよいのでしょう。極限を使うのでしょうか。

A 回答 (5件)

図形で考えてみたいと思います。



まず、n角形として、頂点にA1~Anまで順番に名前をつけます。円の中心はCとします。いま、A1,A2,A3,Cに着目します。このとき、A2を動かして最大になる点を考えてみますと、△A1-A3-Cの部分は変化せず、△A1-A2-A3の部分が点A2が動くことで変わります。辺A1-A3を底面とすれば、A2がちょうど弧A1-A3の真ん中にきたときが最大の3角形となります。つまり、線分C-A2が∠A1-C-A3を二等分するときに最大となります。

ここで、論理的に考えます。
全体として面積が最大であるときは、先ほどの議論を他の頂点の組Ak-1,Ak,Ak+1,Cにも適用して、線分C-Akは∠Ak-1-C-Ak+1を必ず二等分していなくてはならない(でなければ、Akを動かして、より面積を大きくすることができてしまう)ので、結局、全ての角Ak-C-Ak+1は同じ大きさでなくてはならないので、正n角形でなくてはならないということがわかります。
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この回答へのお礼

納得出来ました。助かりました。どうもありがとうございました。
機会がありましたら、またよろしくお願い致します。

お礼日時:2006/07/02 22:59

毎度の事ながら、書き込みミスです。



>sin(θ_1)+…+sin(θ_n)≦sin{θ_1+‥‥+θ_n}/nが成立する。‥‥‥(※)

        ↓

sin(θ_1)+…+sin(θ_n)≦(n)*{sin{θ_1+‥‥+θ_n}/n}が成立する。‥‥‥(※)
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高校レベルでの質問でしょうか?


書き込みに手間がかかりますので、方針だけ書いときますので、実際の計算は自分でやってください。

考えられる方法は2つです。
(1)数学的帰納法を使う
(2)sinθは 0<θ<πの区間では上に凸である事を使う。

ここでは、(2)の方針だけ書いときます。
単位円に内接するn角形の面積は (1/2){sin(θ_1)+…+sin(θ_n)}ですから、sin(θ_1)+…+sin(θ_n)が最大になればいいわけです。
sinθは 0<θ<πの区間では上に凸であるから、sin(θ_1)+…+sin(θ_n)≦sin{θ_1+‥‥+θ_n}/nが成立する。‥‥‥(※)
但し、等号はθ_1=‥‥=θ_nのとき、即ち、正n角形の時。

(※)が成立することの証明は、高校生にはちょっと難しいのですが、証明抜きで結果だけを使っても構わないと思います。


例えば、
円に内接する3角形の内で面積が最大となるものは
正3角形であることを証明しなさい。

という問題を考えて見てください。

この回答への補足

解答ありがとうございます。
sin(θ_1)+…+sin(θ_n)が最大になればいい
というところまでは納得しました。

しかし、

sinθは 0<θ<πの区間では上に凸であるから、sin(θ_1)+…+sin(θ_n)≦(n)*sin{θ_1+‥‥+θ_n}/nが成立する。‥‥‥(※)
但し、等号はθ_1=‥‥=θ_nのとき、即ち、正n角形の時。

の部分が考えたのですが理解出来ません。この不等式は、どこから導けるのでしょか。

3角形の問題でも考えてみたのですが、結局θ1+θ2+θ3の和が最大のところで止まってしまいました。
申し訳ありませんが、ヒントを頂ければ幸いです。

補足日時:2006/07/02 23:03
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円の半径をrとして、各頂点と円の中心を結ぶ線分を引くと、円の中心はn分されます。

その角をθ_1,…,θ_nとおきましょう。そうすると当然、
θ_1+…+θ_n=2π
となります。またこのとき角θ_iに対応する三角形の面積はr^2sin(θ_i)/2ですから、n角形の面積は
S=r^2/2*{sin(θ_1)+…+sin(θ_n)}
です。Sを最大にしたいのですから、結局この問題は、次のように言い換えられます。

Question:θ_1+…+θ_n=2πのときsin(θ_1)+…+sin(θ_n)が最大になるのは、θ_1=…=θ_nのときである。

では、これをどう解くのか、ということなのですが、このような多変数の条件付極値(あるいは最大・最小)問題は、ラグランジュの未定乗数法というのが大変便利です。ですが一応、大学レベルになるので、もし高校数学までの範囲で解こうとするなら、多少工夫するか、あるいは一変数の問題に帰着させることになります。二通り、略解を示しますから、参考にしてください。

【未定乗数法】
F(θ_1,…,θ_n,λ)=sin(θ_1)+…+sin(θ_n)-λ(θ_1+…+θ_n-2π)
とおきます。sin(θ_1)+…+sin(θ_n)が最大になるためには、Fの各変数に関する偏微分が0になることが必要です。したがって、各θ_iで偏微分することによって、
cos(θ_1)=…=cos(θ_n)=λ
なる条件を得ます。これから簡単な議論で、θ_1=…=θ_n=2π/nです。

【一変数に帰着させる方法(高校生向け)】
θ_3,…,θ_nをまず固定させて、θ_1とθ_2だけの関数とみます。もちろんθ_2=2π-(θ_1+θ_3+…+θ_n)ですから、θ_2はθ_1の関数です。したがってsin(θ_1)+…+sin(θ_n)をθ_1で微分すれば、
cos(θ_1)-cos(2π-(θ_1+θ_3+…+θ_n))
です。これはcos(θ_1)-cos(θ_2)のことですから、微分=0となるためには、cos(θ_1)=cos(θ_2)であればよい。次にθ_3を動かして(θ_4,…,θ_nは依然定数と思う)θ_1=θ_2としておけば、θ_3=2π-(2θ_1+θ_4+…+θ_n)ですから、sin(θ_1)+…+sin(θ_n)をθ_1で微分すれば、
cos(θ_1)+cos(θ_1)-2cos(2π-(2θ_1+θ_4+…+θ_n))=2cos(θ_1)-2cos(θ_3)
です。これが0になるためには、cos(θ_1)=cos(θ_3)でなければならない。これを繰り返せば、cos(θ_1)=…=cos(θ_n)です。

同じ論法ですが、背理法でも構わないです。もし、正n角形でないものが最大になれば、θ_1,…,θ_nの中で異なるものが存在します(全部等しければ正n角形)から、それをたとえばθ_1<θ_2とでもしましょう。上で述べたように、θ_3,…,θ_nは変えずに、θ_1だけ動かします(もちろんこのときθ_2も動く)。そうすると、sin(θ_1)+…+sin(θ_n)のθ_1微分は、cos(θ_1)-cos(θ_2)だったのだから、増減表を書いて、θ_1=θ_2のときが最大であることがわかります。これはθ_1<θ_2とした仮定に矛盾します。

いずれにせよ、この手の問題は、何かパラメータ(変数)を導入して、面積をそのパラメータで表示してみて、求めたい図形からちょっとずれてるとどうなるか(この場合は正n角形でないならθ_1<θ_2とできると仮定してみる)?と考えるのが基本です。変分原理と呼ばれる考え方で、大変重要なものです。

この回答への補足

とても丁寧な解答どうもありがとうございます。
この箇所がわかりません。

これはcos(θ_1)-cos(θ_2)のことですから、微分=0となるためには

微分=0になるためっていうのは、これが定数であるべきということでいいのでしょうか?

補足日時:2006/07/02 22:51
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弓の部分の面積を求める式を書けば、


証明できますよ。
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