分母に有理数と無理数があるときの有利化の方法 -分母がたとえば、１＋- 数学

Q統計学における無作為抽出に関する質問です．

統計学における無作為抽出に関する質問です．

有限母集団から全ての個体を抽出すること，すなわち全数調査は，無作為抽出の一種と見なして良いのでしょうか？私は，良いと考えます．

無作為抽出が満たすべき条件は，全ての個体に抽出される機会を均等に与え，母集団の性質を標本にできるだけ反映させることだと思います．全数調査は，この条件を満たしています．標本が母集団そのものになりますから，標本は「できるだけ」どころか「完全に」母集団の性質を反映しています．

例えば，「日本中から無作為に1000...続きを読む

Aベストアンサー

全数調査が無作為なのか否かという問題にマジメに取り組むと、数学の問題ではなくなってしまうので、ここでは違う角度からこの問題を考えてみることにします。

おそらくですが、質問の意図は、ランダムでないものに無作為という言葉を使ってよいのか、ということなのだと思います。この回答は私はyesだと思います。質問者様が例に挙げているように、9999万9999個の無作為抽出があったとして、1億個の無作為抽出もあって然るべきと私も思います。

で、例えばの話ですが、2本のアタリくじと8本のハズレくじ合わせて10本のくじがあり、10人の人が順にこのくじを引いていくとします。最初の9人の引いたくじのアタリくじの合計は？という問いと、最初の10人の引いたくじのアタリくじの合計は？という問いを考えてみます。最初の答えは1か2、後者の答えは2ですね。そして後者はランダム性を失い、いつでも2という答えが出ます。後者はランダムでないので、確率変数ではないとみなされるかも知れませんが、これを確率変数ではないと除外する人はないでしょう。何となれば、i番目がアタリのとき1、はずれのとき0を取る確率変数X_iを用いて、X_1+X_2+…+X_{10}とかける分けですから、たまたま定数となった分散0の確率変数とみればよいわけです。それにそもそも、X_1からX_{10}の結合分布はノンランダムではありません。標本和が一定なだけであって、つまり誰がアタリくじを引いたか、ということはランダムなはずです。

抽出の問題も同じです。サンプルが引かれる順番は、たとえば母集団1億個からの全数抽出(この言葉がゆるされるなら)には1億！(階乗)という膨大な可能性があるわけです。実現された抽出がそのうちの一通りな分けだから、これは一つのランダムなサンプリングとみなしてもよさそうでしょう(解釈の問題でもあるから、私がそう思うだけですけれどね)。得られた標本の平均とか分散とか、これらは全数調査の場合はサンプル抽出の順序にはよりません。しかし、たとえば次のような特殊な平均を考えてみたらどうでしょう？母集団サイズをNとし、1番目に得られた値をN倍、2番目をN-1倍、…、最後を1倍して、N(N-1)/2で割ります。これだってひとつの標本統計量であって、母集団平均の不偏推定量です。しかも明らかに、全数調査してもノンランダムになりませんね。いわゆる単純平均や単純標本和だけを見るならば、全数調査というのはランダムサンプリングとしての意味を失いますが、標本をどのようにみるかということまで考えれば、全数調査といえど、サンプリング(=抽出)という意味は依然として残ると考えられます。

まあこの辺り、どう理解するかは難しいところなのですけれど、確率1で起こる事象を、「確率1で起きるランダムなイベント」ということそのものは、数学的には正しいと理解する方が自然だ、ということでしょうね。日常用語と結びつけるといろいろヤヤコシイですけれども。それはランダムじゃないよ、という意見もあるでしょう。正三角形みて、二等辺三角形と言ったら、それは間違いだ！と言われるのと似ているような気もします。要は定義ありきの話で、定義をどうするか、という議論になるとそれはもはや数学の範疇ではありません。でもまあ個人的には、より普遍的に、よりシンプルに、定義はそうあるべきだと思いますけれどね。

全数調査が無作為なのか否かという問題にマジメに取り組むと、数学の問題ではなくなってしまうので、ここでは違う角度からこの問題を考えてみることにします。

おそらくですが、質問の意図は、ランダムでないものに無作為という言葉を使ってよいのか、ということなのだと思います。この回答は私はyesだと思います。質問者様が例に挙げているように、9999万9999個の無作為抽出があったとして、1億個の無作為抽出もあって然るべきと私も思います。

で、例えばの話ですが、2本のアタリくじと8本のハズレくじ合わせ...続きを読む

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Q√２、√３は無理数であるとことを使って、√２＋√３も無理数であることを

√２、√３は無理数であるとことを使って、√２＋√３も無理数であることを背理法を用いて証明せよ。

どうしても解けません。
宜しければお力を貸してください。

Aベストアンサー

前のお二方が書いておられるように、
√2 + √3 が有理数だと仮定すると
√6 = ((√2 + √3)~2 - 5)/2 も有理数
ということになってしまうことから、
背理法で示すことができます。

では、√6 が無理数であることは
どうやれば示せるかというと…
「√2, √3 が無理数であることを使って」
示すことは、できません。

√2 や √3 が無理数であることを示すのと
同様の手法で証明することになるでしょう。
↓
√6 が有理数だとすれば、
互いに素な自然数 p, q によって
√6 = p/q と表すことができる。
式を変形して、6qq = pp。
左辺が 2 で割りきれることから、
右辺も 2 で割りきれなくてはならず、
p は 2 で割りきれる。
よって、右辺が 4 で割りきれることから、
左辺も 4 で割りきれなくてはならず、
q も 2 で割りきれる。
これは、p, q が互いに素であることに矛盾する。
したがって、背理法により、√6 は無理数。

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Q有理数体Qに√2を加えた集合{Q, √2}

有理数体Qに√2を加えた集合{Q, √2}の元αはp,q∈Qとすると
α=p+(√2)q
と表せるというのがしっくりきません。
このばあいp=0、q=2という有理数を考えると
α=2√2で無理数ですよね？
無理数は√2しか加えてないのに2√2という無理数まで入ってきてるんですけど、どういうことなんでしょうか？

Aベストアンサー

たとえば以下のような記述でしょうか。
「有理数体 Q に、無理数 √2 を加えた集合 {Q, √2} を考えて見ましょう。この集合は、a, b ∈ Q として、
a ＋ b √2
と表すことができ、……」
http://ufcpp.net/study/group/extensionfield.html#example

この記述の理解として、
「2√2という無理数まで入ってきてる」というのは妥当だと思います。
普通、こう書かれれば、上記のa、b(質問文ではp、q)はQの任意の元を取りうると考えていいはずです。

「集合」として考えると成り立ちませんが、
「体」として考え...続きを読む

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Q√2、√3は無理数であることを使って、√2＋√3も無理数であることを背

√2、√3は無理数であることを使って、√2＋√3も無理数であることを背理法を用いて証明せよ。

が分かりません(ToT)

助けてください。
お願いします。

Aベストアンサー

＃１さんの解答はうますぎて自分にはとても・・・と思う場合には次をどうぞ（ヒントだけ）。

背理法を用いるのですから、まず √2+√3 が無理数でない（つまり有理数である）と仮定します。すると
√2+√3 = ・・・
と書けます。
これから
√2 = ・・・
両辺を・・・して
・・・
以下略。

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Q有理数÷無理数＝？？

ただ今高一数学を勉強しているのですが（有理数÷無理数＝　）
をふと考えたのですが有理数が0の時答えは0で有理数。
有理数が0以外の場合無理数になるであっているでしょうか？？

Aベストアンサー

正しいです．

p を非零の有理数，r を無理数とし，
q = p/r
が有理数であると仮定します．q≠0だから，
r = p/q
であり，r は有理数となって矛盾します．

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Q{√(1)+√(1+2)+√(1+2+3)+…+√(1+2+…+n)}/n^2 → √2/4

n → ∞のとき、
{√(1)+√(1+2)+√(1+2+3)+…+√(1+2+…+n)}/n^2 → √2/4

また、n → ∞のとき、
{√(1+2+…+n)+√(2+3+…+n)+…+√(n-1+n)+√(n)}/n^2 → π√2/8

らしいのですが、証明がかいてありませんでした。
どうか証明を教えていただけないでしょうか。

Aベストアンサー

#3、#5です。

＞=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)[Σ[k=1,n]{k/n} - 1/n + (n+1)/n]
＞=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)Σ[k=1,n]{k/n}

1/nが消えるのはわかるのですが、n/n(=1)が消えるのはなぜでしょう？

＞でもそのはさみこむ方法は、後半ではうまくいきにくいし、…

後半もうまくいきましたので、以下に説明します。
n=7の場合のグラフを添付します。
区分求積法により、{√(1+2+…+n)+√(2+3+…+n)+…+√(n-1+n)+√(n)}/n^2 は幅(1/n)，高さ{√{(k+1)+(k+2)+…+n}}/nの階段状の図形の面積になります。k=0～n-1です。
下限関数 f(x)=√{(1-x^2)/2}
上限関数 g(x,Δ)=√[{(1+Δ)^2-x^2}/2] （但しΔ=1/n）
階段関数 {√{(k+1)+(k+2)+…+n}}/n=√[{n(n+1)-k(k+1)}/(2n^2)]

(1)x=k/nのところで、階段の高い方より上限関数 g(x,Δ)が大きい事を示します。但しk=1～nです。
x=k/nの階段の高い方は√[{n(n+1)-(k-1)k}/(2n^2)]です。
x=k/nの上限関数 g(x,Δ)=g(k/n,1/n)=√[{(1+(1/n))^2-(k/n)^2}/2]=√[{(n+1)^2-k^2}/(2n^2)]
(上限関数) ≧ (階段関数の高い方) を示すには、ルートと分母の(2n^2)が共通なので、
(n+1)^2-k^2 ≧ n(n+1)-(k-1)k を示せば十分です。
{(n+1)^2-k^2}-{n(n+1)-(k-1)k}=n-k+1≧0 より明らかです。

(2)x=k/nのところで、階段の低い方より下限関数 f(x)が小さい事を示します。但しk=0～nです。
x=k/nの階段の低い方は√[{n(n+1)-k(k+1)}/(2n^2)]です。
x=k/nの下限関数 f(x)=f(k/n)=√[{(1-(k/n)^2}/2]=√[(n^2-k^2)/(2n^2)]
(階段関数の低い方) ≧ (下限関数) を示すには、ルートと分母の(2n^2)が共通なので、
n(n+1)-k(k+1) ≧ n^2-k^2 を示せば十分です。
{n(n+1)-k(k+1)}-(n^2-k^2)=n-k≧0 より明らかです。

以上の事から階段関数は下限関数 f(x)と上限関数 g(x,Δ)の間に入る事がわかりました。
下限関数の面積をF，上限関数の面積をG(n)，階段関数の面積をA(n)とすると、
F ≦ A(n) ≦ G(n) となります。
F=∫[0→1]f(x)dx=(1/√2)(単位円の面積÷4)=π(√2)/8
G(n)=∫[0→(1+Δ)]g(x,Δ)dx=(1/√2)(半径(1+Δ)の円の面積÷4)={π(√2)(1+Δ)^2}/8 （但し Δ=1/n）
つまり階段関数の面積はπ(√2)/8以上{π(√2)(1+1/n)^2}/8以下になります。
n→∞で階段関数の面積はπ(√2)/8に収束します。

#3、#5です。

＞=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)[Σ[k=1,n]{k/n} - 1/n + (n+1)/n]
＞=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)Σ[k=1,n]{k/n}

1/nが消えるのはわかるのですが、n/n(=1)が消えるのはなぜでしょう？

＞でもそのはさみこむ方法は、後半ではうまくいきにくいし、…

後半もうまくいきましたので、以下に説明します。
n=7の場合のグラフを添付します。
区分求積法により、{√(1+2+…+n)+√(2+3+…+n)+…+√(n-1+n)+√(n)}/n^2 は幅(1/n)，高さ{√{(k+1)+(k+2)+…+n}}/nの階段状の図形の面積になります。k=0～n-1です。
下限関...続きを読む

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Q加減乗除（2桁程度）の問題と説き方をお願いします！

明日、とある試験と面接があるのですが、筆記試験というのは聞かされていたのですが、数学があるという事をつい先ほど知らされました。

どの程度のものが出題されるのかを調べるのにも時間がかかったのですが、どうやら、加減乗除（2桁程度）ということが過去では出題された模様です。

数学（というか算数レベルすら危うい）の加減乗除と言われても、まっっったく思い出せません！とても焦っています。

どなたか親切な方がいらっしゃいましたら、加減乗除というものの問題と、簡単な解き方をご教授下さると大変助かります。

Aベストアンサー

http://www.rakugakukobo.com/sansuu/sandojyo/sando_1/sd1_04.htm

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Q教えてください！お願いします！↓ Ｘの係数が無理数であるＸ²+(√2+√5)Ｘ+√10の因数分解を

教えてください！
お願いします！↓

Ｘの係数が無理数であるＸ²+(√2+√5)Ｘ+√10の因数分解を考える。
√10＝√2×√5なので
Ｘ²+(a－b)Ｘ+ab＝(Ｘ+ａ)(Ｘ+b)を利用し
Ｘ²+(√2+√5)Ｘ+√10＝(Ｘ+√2)(Ｘ+√5)と因数分解できる。
このように無理数を用いると因数分解できる式の範囲が広がる。
では次の因数分解はどうなりますか。

(a)Ｘ²－5
(b)5Ｘ²+4√5Ｘ+4

Aベストアンサー

(a)Ｘ²－5
=(x-√5)(x+√5)
a^2-b^2=(a-b)(a+b)

(b)5Ｘ²+4√5Ｘ+4
=(√5x+2)^2
a^2+2ab+b^2=(a+b)^2

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Q層化比例無作為抽出時の検定などの方法

とある書籍にて以下のことを学習しました。

・層化比例無作為抽出法を用いて標本抽出をおこなった場合、標準誤差の算出には標本全体の分散ではなく、各層内分散の加重平均値を用いる。

・よって、単純無作為抽出時に比較して標本誤差を低く抑えることができる（ことが多い）。

ここで質問なのですが・・・、

・層化比例無作為抽出をおこなう場合、すべてのな区間推定や検定，果ては分析仮定で標準誤差を用いるすべての多変量解析において、一般的な統計ソフトを用いることは『正しくない』のでしょうか（大抵の統計ソフトは単純無作為抽出を仮定していると考えています）？

・『正しくない』とすれば、皆さんはどのように対処されてらっさるのでしょうか？ご自身でスクリプトを書いたりされているのでしょうか？それとも、「分析結果にさほど影響を与えるものでもないから統計ソフトで済ましている」といった感じなのでしょうか？

以上、どなたかおわかりの方がいらっしゃいましたら、ご教授いただけませんでしょうか？
宜しくお願いいたします。

Aベストアンサー

理論的には分かっていても、時間、金、精神エネルギーなどのコストの関係で、現実に使える手段は限られるということでしょうか。

層化比例無作為抽出（したがって復元倍率を使わないか、またはすべての客体に同一の復元倍率を乗じる）に限れば、単純無作為抽出より必ず達成精度が高くなります。したがって、これをあたかも単純無作為抽出のようにみなして誤差を計算すると、必ず過大推計になります。誤差を安全弁としてみると、過少推計すれば差し障りが大きいけど、過大推計する分には差し障りが少ない、という意味で、単純無作為抽出のようにみなして計算することを正当化できるかもしれません。ただ、レポートにまとめるときは、そういう方法をとったことを明記するのが良心的でしょう。

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Q△ABCにおいて, (a+b):(b+c):(c+a)＝(１+√３):(√２+√３－1):(2+√２

△ABCにおいて,
(a+b):(b+c):(c+a)＝(１+√３):(√２+√３－1):(2+√２)が成り立つ時,この三角形の最も大きい角θの大きさを求めよ。
この問題のやり方を教えて下さい。

Aベストアンサー

角度θを求めるだけなので、k=1倍として考えてもよいと思います。

(a+b)=1+√3
(b+c)=√2+√3 -1
(c+a)=2+√2
とします。すると、

a+b+c=(2a+2b+2c)/2
={(a+b)+(b+c)+(c+a)}/2
=(1+√3 +√2+√3 -1 +2+√2)/2
=(2 +2√3 +2√2)/2
=1 +√3 +√2
であることがわかります。

したがって、
a=(a+b+c)-(b+c)
=1 +√3 +√2 -(√2+√3 -1)
=2
b=(a+b+c)-(c+a)
=1 +√3 +√2 -(2+√2)
=√3 -1
c=(a+b+c)-(a+b)
=1 +√3 +√2 -(1+√3)
=√2

辺の長さは 2>√2>√3 -1 より a>c>b
よって、aの対角を求めればよいことがわかります。

aの対角をθと置く...続きを読む