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下記のベクトル恒等式がありますが、
-------------------------------
[nabla] dot (a V) = a [nabla] dot V + V dot [nabla] a

a : scalar
V : vector
-------------------------------

第一項目は
[nabla] dot Vにて 発散の計算をした上でaをかける。
と理解できますが、

第二項目の V dot [nabla] aの計算は

1) [nabla] a -> gradの計算により求まるベクトル
2) V と 1)のベクトルとの 内積 (dot)

でいいのでしょうか?

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A 回答 (2件)

>混乱していますのが、「スカラー」「スカラー場」ですが、



今の場合、
「スカラー」=「実数」
「スカラー場」=「(3変数の)実数値関数」
のように考えて差し支えないでしょう。

とはいっても、混乱しているのは、「実数」と「定数関数」の違いでしょうかね。
「実数a」と「任意の(x,y,z)に実数aを対応させる関数」を同一視する事はできます。でも、「数」と「関数」なので、概念としては違うものです。

>「スカラー」の場合は第二項目は消えてしまうのでしょうか?
a(x,y,z)=const.
つまり、定数関数であれば、第二項は消えます。仰るように定数関数の微分がゼロだからです。

{fg}'=f'g+fg'
という1変数関数の「積の微分」において、gが定数関数だったら、第二項がゼロになる、と言っているのと同じ事です。
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この回答へのお礼

詳しい説明ありがとうございました。

実数と定数関数の点も混乱をしていましたが、理解いたしました。

お礼日時:2006/07/02 14:13

それでいいですよ。



実際、そのように解釈して、成分計算すれば、両辺が一致しますよね。

この回答への補足

回答ありがとうございます。

スカラー場で考えて成分計算をしますと確かに一致しました。

混乱していますのが、「スカラー」「スカラー場」ですが、
「スカラー」の場合は第二項目は消えてしまうのでしょうか?
(定数の微分となるため)

補足日時:2006/07/01 17:03
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(2,2|2,5)(1,1)=(2*1+2*1|2*1+5*1)=(4,7)

となります。もとの(1,1)と出てきた(4,7)は長さも違いますが方向も違います。このように、一般に行列にベクトルを作用させると長さと方向が異なるベクトルになります。

ここまでよろしいでしょうか?このように、行列は一般にベクトルを回転させるものであることを抑えて置いてください。

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Q3Dベクトルを3Dの軸ベクトルに沿って回転させる方法

3Dベクトルを3Dの軸ベクトルに沿って回転させる方法

ベクトルA(1, 1, 1)をベクトルB(1, 0, 0)を軸に
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Aベストアンサー

参考URL
http://ft-lab.ne.jp/cgi-bin/wiki.cgi?page=%A5%A2%A5%D5%A5%A3%A5%F3%CA%D1%B4%B9_3DCG

のアフィン変換で、X軸中心に「-90°」回転する回転行列Mを使えばいいでしょう。平行移動を伴わなければ(4列目と4行目を除いた)3行*3列の行列でもいいですね。
A:(1,1,1)
θ=-90°、sin(-90°)=-1,cos(-90°)=0なので
M:
(1,0,0)
(0,0,1)
(0,-1,0)
従って、
回転後のベクトルC:(x,y,z)は
C=A*M
で計算できます。

C:(x,y,z)=
(1,1,1)*
(1,0,0)
(0,0,-1)
(0,1,0)
=(1,1,-1)
と得られます。

参考URL
http://ft-lab.ne.jp/cgi-bin/wiki.cgi?page=%A5%A2%A5%D5%A5%A3%A5%F3%CA%D1%B4%B9_3DCG
http://ft-lab.ne.jp/cgi-bin/wiki.cgi?page=%A5%A2%A5%D5%A5%A3%A5%F3%CA%D1%B4%B9_3DCG

参考URL
http://ft-lab.ne.jp/cgi-bin/wiki.cgi?page=%A5%A2%A5%D5%A5%A3%A5%F3%CA%D1%B4%B9_3DCG

のアフィン変換で、X軸中心に「-90°」回転する回転行列Mを使えばいいでしょう。平行移動を伴わなければ(4列目と4行目を除いた)3行*3列の行列でもいいですね。
A:(1,1,1)
θ=-90°、sin(-90°)=-1,cos(-90°)=0なので
M:
(1,0,0)
(0,0,1)
(0,-1,0)
従って、
回転後のベクトルC:(x,y,z)は
C=A*M
で計算できます。

C:(x,y,z)=
(1,1,1)*
(1,0,0)
(0,0,-1)
(0,1,0)
=(1,1,-1)
と得られます。

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Q等式?恒等式?

x+y/2=y+z/3=z+x/4で、x:y:zを求めなさいという問題ですが、分母をそろえてみたのですけど、解き方が分かりません。
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こんばんわ。
同じ質問を複数にわたり投稿するのはNGなので、こちらに回答しておきます。

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※分母・分子がわかるように、きちんと括弧をつけてください。

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Qベクトル、内積、外積など

ベクトル、内積、外積など

はじめまして、私は情報系の分野を専門的に学習している学生です。
情報分野ではそれなりの知識を持っているので、あえて数学的な
質問をさせていただきます。

  ・三次元平面上に点ABCがあります。

  ・点ABCを含む平面上に点Pがあります。

三角形ABC内に点Pが存在することを確かめるには、
どのようにすればよいでしょうか?

またこれには以下のような制約があります。

  ・パソコン上で計算するので、なるべく計算回数
   (特に乗算、除算)を抑えたい。

  ・パソコン上では三角関数などは級数なので精度、
   処理速度、共に両立できない。

なので、なるべく少ない計算量で、四則演算のみを用いた
解法が必要です。

以下は私の考えた手順ですが、

  (1)ベクトルBcとBa(もしくはBp)との外積によりベクトルNを得ます。

  (2)ベクトルNとBcとの外積によりBcに直行するベクトルBc´を得ます。

  (3)ベクトルBc´とBpとの内積が負ならば、点Pは線分B-Cの外に位置します。

  これをB-C、C-A、A-Bと行うことで判定します。

これでは外積を2回、内積を1回計算する必要があり、計算量が多いので
より簡潔な手法が必要です。




(本当に数学って大切ですね、もっと勉強しておけばよかった(^^;)

ベクトル、内積、外積など

はじめまして、私は情報系の分野を専門的に学習している学生です。
情報分野ではそれなりの知識を持っているので、あえて数学的な
質問をさせていただきます。

  ・三次元平面上に点ABCがあります。

  ・点ABCを含む平面上に点Pがあります。

三角形ABC内に点Pが存在することを確かめるには、
どのようにすればよいでしょうか?

またこれには以下のような制約があります。

  ・パソコン上で計算するので、なるべく計算回数
   (特に乗算、除算)を抑えたい。

  ・パソ...続きを読む

Aベストアンサー

点Pが点ABCを含む平面上にあるなら、
ベクトルAbとApとの外積、ベクトルBcとBpとの外積、ベクトルCaとCpとの外積
この3つのベクトルは平面の法線ベクトルなので、同じ方向か逆方向のベクトルになります。

3つとも同方向なら点Pは三角形ABC内です。

2つのベクトルが同方向か逆方向かは内積の正負で判断できます。

Q「整式f(x)がxについての恒等式f(x^2)を満たしている。」という問題文の問題で質問があります。

整式f(x)がxについての恒等式
f(x^2)=x^2*f(x-1)+3x^3-3x^2・・・(1)
を満たすとする。
まず自分がこの問題文について解釈していることが
正しいのかどうか教えてください。

・整式f(x)のxにx^2を代入したのが(1)である。
・(1)は恒等式よりどんなxを代入しても一緒。

そして問題なのですが、
「f(0),f(1)の値を求めよ。」
これはつまり、f(0),f(1)は整式f(x)のxにx=0,1を
代入することをさしているんですよね?

本来代入x=0,1を代入すべきなのは整式f(x)だと思うのですが、
解答では(1)に普通にx=0,1を代入しています。
整式f(x)が具体的に分かっていないから代入のしようがないのは
分かりますが、整式f(x)のxにx^2を代入したのが(1)であるのに
そこにx=0,1を代入して答えを導いているのは何故でしょうか?
うまく納得できません。

それと(1)の右辺にあるf(x-1)ですが、
例えば、 y = f(x) 、f(x) = x^2、f(2) = 4
とったものなら理解できるのですが、
この場合、整式f(x)のxにx^2を代入して出来上がった式の
右辺に対して存在していますよね。その結果両辺にf()の形が
存在している。これがどういうことなのか理解に苦しみます。



長文となってしまいましたが、解説お願い致します。

整式f(x)がxについての恒等式
f(x^2)=x^2*f(x-1)+3x^3-3x^2・・・(1)
を満たすとする。
まず自分がこの問題文について解釈していることが
正しいのかどうか教えてください。

・整式f(x)のxにx^2を代入したのが(1)である。
・(1)は恒等式よりどんなxを代入しても一緒。

そして問題なのですが、
「f(0),f(1)の値を求めよ。」
これはつまり、f(0),f(1)は整式f(x)のxにx=0,1を
代入することをさしているんですよね?

本来代入x=0,1を代入すべきなのは整式f(x)だと思うのですが、
解答では(1)に普通...続きを読む

Aベストアンサー

問題の解釈は正しいかと思います。

> その結果両辺にf()の形が存在している。これがどういうことなのか理解に苦しみます。

簡単な例を一つ見てみましょう。
f(x)=x^2とします。
このとき、f(a+b)=f(a)+2ab+f(b)ですよね?
両辺にf()の形が存在していますが、何か不自然なことがあるでしょうか?
どのf()も二乗することを表しているだけで、別段不思議なことはないはずです。

さて、fとして別の多項式を考えましょう。
とりあえずf(x)=(x+1)^2としてみます。
このとき、f(x^2)=(x^2+1)^2ですね。
無理やりこの右辺にf(x)の形を作り出して問題と同じような状況にしてみます。
f(x)=x^2+2x+1なので、f(x^2)=(f(x)-2x)^2 …☆です。
☆は等価変形して得られた恒等式です。

☆にx=1を代入することを考えます。
☆左辺は、f(1^2)=f(1)=(1^2+1)^2=4
☆右辺は、(f(1)-2*1)^2=((1+1)^2-2)^2=4
で、当然ですが等しいという結果が出ました。
f(x^2)のxに1を代入したとき、1^2をfに与えたことに注意してください。

f(x^2)という見た目に騙されるかもしれませんが、結局xに何かを代入するということは、
結局(1)式や☆式のxをその数字で置き換えるという操作をするだけです。
x=1のときはf(x^2)=f(x)=f(1)となり、都合が良いので問題として出題されているのでしょう。

問題の解釈は正しいかと思います。

> その結果両辺にf()の形が存在している。これがどういうことなのか理解に苦しみます。

簡単な例を一つ見てみましょう。
f(x)=x^2とします。
このとき、f(a+b)=f(a)+2ab+f(b)ですよね?
両辺にf()の形が存在していますが、何か不自然なことがあるでしょうか?
どのf()も二乗することを表しているだけで、別段不思議なことはないはずです。

さて、fとして別の多項式を考えましょう。
とりあえずf(x)=(x+1)^2としてみます。
このとき、f(x^2)=(x^2+1)^2ですね。
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