大学の相対論の過去問なのですが
「ある慣性系Sの原点Oから時刻t=0 においてx軸と角度θをなす方向に光を発射し、距離l先の点Pでこれを吸収した。
これを、S系に対して一様な速度Vでx軸正方向に運動しているS'系から眺める。
(t=0で二つの系は重なっているものとする。)ただしβ= V/c
(1)光の発射と吸収の間のS'系での時間間隔T'はいくらか。
(2)S'系から見たときの発射点と吸収点の空間的距離l'はいくらか。
(3)S'系から見たとき、光はx軸方向から角度θ'の方向に進むように見えた。tanθ'はいくらか。」

という問題の(2)で,私はS'系での同時刻で測ればx方向にローレンツ収縮がおこって l* √(1-β^2) になり、y方向との三平方の定理により答えはl*√(1-(βsinθ)^2)と考えたのですが、
他の学生が作成した模範解答(参照URLの別解)によるとS'系から見ても光速はcで変わらないから答えは cT'で、(1)の答えT'=l*(1-βcosθ)/(c√(1-β^2))を用いて、l*(1-βcosθ)/√(1-β^2)になるとのことでした。
どちらが間違っているのでしょうか?
過去問から同じ問題を出すタイプの教官なので聞きに行くわけにも行かず困っています。
初等的な特殊相対論しか学んでいませんのでなるべく単純な説明をよろしくお願いします。使用している教科書は「相対性理論入門講義
」です。
参照URL; http://www.bf-web.net/~2005s117/shikepuri/archiv …

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A 回答 (8件)

原問題の(2)は、発射点と吸収点の空間的距離lを問うているわけですが、S'系で見ると発射点(=原点)も吸収点Pも空間座標が一定の固定点です。



もちろん発射の瞬間という事象の点や吸収の瞬間という事象の点は特定の時刻におけるそれらの点を指しているのですが、それ以外の時刻でも点の空間位置は固定なのですから二点間の空間距離は一定です。

したがって
>両点の時間差を無視してx座標同士の差を取る → ×
 両点の時間差を無視してx'座標同士の差を取る
で、まったく差し支えありません。

この場合は、それが「S'系の同時刻で測る」になっています。
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#1です。


判り難かったようなので、もう少し付け加えます。

S系に静止した長さlcosθの棒を仮定し、この棒をS'系で観測するとローレンツ収縮によって√(1-β^2)倍に縮むので棒の長さはlcosθ√(1-β^2)になります・・というのは質問者さんのおっしゃるとおりです。
(正しい式は↑ですよね)

しかし、その考え方をすると、棒の後端はS系の原点に常に存在することになります。

三平方を使うという方針の時に私たちがまず知りたいのはS'系の原点とP'のx'座標点とのあいだの距離です。
S'系の原点はS系で見れば V の速度で運動しているので、S系の原点に仮定した棒の後端とは一致しません。 

簡単な例として、仮に、S'系の運動速度が大きく、β>cosθ となる場合を考えてみてください。
S'系の原点は光のx成分より早く、先に進みます。従ってP'はS'系で見れば x'が負となる領域に存在することになります。
これでは質問者さんのおっしゃる「ローレンツ収縮した棒の長さ」では具合悪いですね。

x'が負となる場合も含めて、S'系で観測してP'と同時刻のS'原点とx'の関係を見なければなりません。

なお、No.6さんのご指摘は的を得ていると思います。

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#1で、静止系から運動系に変換するときにはローレンツ収縮が適用できないかのように受け止められたとすれば、表現力不足でごめんなさい。

静止系から運動系に変換するときにもローレンツ収縮するのですが、それは運動系の同時刻で解釈した結果です。従って静止系の同時刻ではありません。

私たちは身の回りの長さを判断するときに静止系の同時刻で判断するという思考パターンに慣れきっているので、解釈のときに落とし穴にはまりやすくなってしまうと思うのです。
静止系から運動系に変換するときには注意が必要という程度の意味です。

この回答への補足

返事が遅れてしまい、大変申し訳ありません。
二日間ほど試行錯誤しながらいろいろ考えてみたのですが、皆さんご指摘のようにどうやらいろいろと勘違いをしてしまっていたようです。
まず、S系での光の放出点(0,0,0)と、光が点P(l/c,lcosθ,lsinθ)で吸収されたときの放出点の座標(l/c,0,0)を同じ物だと見なしてしまっていました。
また、ローレンツ収縮に関しても、いままで「T系に対してx軸方向にVで運動しているT'系において静止している長さlの棒の両端の座標の差を、T系で同時刻という条件で測るとき、棒の左端と右端のT'系での時刻は違う。」という意識が完全に欠如していました。

ところで、そこまで考えて思ったのですが(#6,7さんと整合しないようなことを言いますが)
ひょっとしてS'系の同時刻で測る、というのはそもそもナンセンスなのでしょうか?
(つまり、この問題を考えるのにS'系での時間を同時刻にするようなことを考えず、両点の時間差を無視してx座標同士の差を取る?)
この問題の(1)でS'系で観測したときの時間間隔が0ではないことが既に示されていて、この時間間隔を0にするようなことを考えるとVが光速を超えてしまうので・・・
もしそうなら#2の方がおっしゃっていた距離(長さ)と空間座標(値)が違う、というのも理解できる気がします。

なんか支離滅裂なことを言っているような気がしてきましたが・・・申し訳ないです。

補足日時:2006/07/03 21:33
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問題で聞かれているのは、


「系S'の観測者が見た光の発射点O'」
「系S'の観測者が見た光の吸収点P'」
の2点を、S'系の同時刻に見た時の(空間的な)距離。

Haruhi_Sさんの解き方で求めたのは、
「系Sの観測者が見た光の発射点O」
「系Sの観測者が見た光の吸収点P」
の2点を、S'系の同時刻に見た時の(空間的な)距離。

求めているものが違います。
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#3です。


たびたびすみませんが#3は撤回させて下さい。混乱してしまったようです。
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すみません、#1の文は少し表現不足でした。



>ローレンツ収縮というのは、運動系での同時刻の二つの事象のあいだの距離が、静止系で観測すると収縮して観測される、というものです。



ローレンツ収縮というのは、運動系での同時刻に測られた二つの地点のあいだの距離が、静止系で観測すると収縮して観測される、というものです。その理由は、静止系での同時刻が運動系での同時刻と異なるからです。

に変更してください。
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>空間的距離というのは空間座標の差のことを指すのでしょうか


失礼しました。言い方が誤っていたというか不明確でした。

ローレンツ変換から収縮の計算をみるとわかるのですが短縮(座標差)を現しているのは静止?座標の差です。
ここの問題で言うとS’系での座標差になるのですが問題が問うているのはS’系から見たS系の座票差になります。

混乱の原因はS系の座標差を現すのにl’と記述しなければならない設問の組立方にもあると思われます。

昔、ローレンツ変換をそのままに計算してl’=l/√(1-β^2)、短縮にならん?と悩んだものでした。

計算は#1の方ので良いと思いますが、こんな説明で良かったでしょうか。
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距離(長さ)と空間座標(値)が混乱しています。


問いの空間的距離とは空間座標のことを言っているようです。質問者さんは前者を想定しています。

なお、質問者さんの回答は l*√(1-(βcosθ)^2)の誤りと思います。θ=0とすればすぐ変なことがわかります。ローレンツ変換の時間はy座標が関係しないので3平方の定理が利用できると思います。

この回答への補足

>なお、質問者さんの回答は l*√(1-(βcosθ)^2)の誤りと思います。
失礼しました。その通りです。写し間違えました。
>距離(長さ)と空間座標(値)が混乱しています。
その二つの違いがどうにもよく分からないです。空間的距離というのは空間座標の差のことを指すのでしょうか?ローレンツ収縮で収縮するのは空間的距離のことではないのですか?もう少し詳しく教えていただけると助かります。
どうにも頭が整理できていない状態で質問してしまってすいません。

補足日時:2006/07/01 22:09
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事象 P は時刻 t=l/c にx=lcosθ の位置で起こります。


これを静止座標系で(x,t)と表すとします。
それを運動しているS'系で観測される座標(x', t')に変換するには、ローレンツ変換式を用います。

ローレンツ変換式は
x' = (1/√(1-β^2)) (x - vt)
t' = (1/√(1-β^2))(t - βx/c)
ですので、

x' = (1/√(1-β^2)) (lcosθ - lβ)
です。

y'=lsinθ は運動方向ではないので変わりません。

従って

l'= √(((1/(1-β^2)) (lcosθ - lβ)^2 + (lsinθ)^2)
= (l/√(1-β^2))(1-βcosθ)
となります。

========
ローレンツ収縮というのは、運動系での同時刻の二つの事象のあいだの距離が、静止系で観測すると収縮して観測される、というものです。

ローレンツ収縮をこの問題に適用するのは、二点、問題があります。
まず、元の事象の原点Oと光の到達した点Pとは同時刻ではありません。
次に、静止系での事象を運動系に変換するときに適用しようとしていることです。静止系と運動系の関係が逆です。

この回答への補足

>静止系での事象を運動系に変換するときに適用しようとしていることです。静止系と運動系の関係が逆です。
S'系に対してx軸方向に-Vで移動するS''系を考えればS系と一致するのでローレンツ収縮の考え方がそのまま使えるのではないかと考えたのですが・・・やっぱり錯覚なのでしょうか?
>まず、元の事象の原点Oと光の到達した点Pとは同時刻ではありません。
S系で同時刻という条件で測って原点と点Pとの距離はlなんですよね?
原点とPの間に長さlの棒が存在して、その棒がS'系から見たときにどんな長さになるかという問題だと解釈して、そのつもりでこの問題を考えていたのですが・・・
やはりNo.2さんがおっしゃっているように距離と空間座標の違いがよくわかっていないみたいです。

補足日時:2006/07/01 21:44
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