自然数の4乗の和(Σk^4)の公式を自分で出してみようと思ったのですが、因数分解したら無理数が出てきました。これは僕の計算間違いなのですか?それとも出せないんですか?また5乗以上は出せるのですか?

A 回答 (2件)

Σ{k=1~n} k^4


ということですか?

S(α,n) = Σ{k=1~n} k^4
と書くことにして
(1)  S(1,n) = (1/2)n(n+1)
(2)  S(2,n) = (1/6)n(n+1)(2n+1)
(3)  S(3,n) = (1/4)n^2 (n+1)^2
(4)  S(4,n) = (1/30)n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)
(5)  S(5,n) = (1/12)n^2 (n+1)^2 (2n^2+2n-1)
.....
です.
(4)を1次式まで因数分解すると無理数が出てきちゃいますね.
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2002/02/27 08:47

Σ(k^4) = (1/30)n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)


となりましたが、
因数分解して無理数が出たというのは
1次式まで分解したという事でしょうか?
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この回答へのお礼

はいそうです。やっぱり2次式までしか分解できないんですね。ありがとうございました。

お礼日時:2002/02/27 08:47

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って問題なんですが、とりあえず数学的帰納法で解くんだろうけど全然解けそうにないです。
月曜日までにやってこないとやばいので、だれか助けてください!!

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n=3k+1のときで(kは整数)
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3n(n+1)-1=15k(5k+2m+1)+3m^2+3m-1
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n=5k
m=1のとき
3n(n+1)-1=15k(5k+3)+5
m=2のとき
2n+1=10n+4+1=5(2n+2)
m=3のとき
3n(n+1)-1=15k(5k+7)+35
m=4のとき
n+1=5k+4+1=5(k+1)
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したがって、
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この問題の解法と答えを教えて下さい。

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で条件に合いますの
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=(x-y)^2-12(x-y)+27+x^2+y^2
=(x-y-3)(x-y-9)+x^2+y^2

(式の中の「^」はべき数です)

ここまでは自分で解けたのですが、最後のx^2+y^2を
どうしてもなかに入れることができません。
私の解法が間違えているのだと思うのですが、どこがいけないのでしょうか?

ヒントだけでも構いません。
解法を詳しく式で解説していただけるとより助かります。
この手の因数分解の解法のポイントがあればそちらも教えて下さい。

※ 解答は手元にありません。

Aベストアンサー

2次の項を見ると 2x^2-2xy+2y^2 で判別式 2^2-4×2×2<0 ですから因数分解できません。
整数の範囲で因数分解できる ⇔ 判別式が平方数
実数の範囲で因数分解できる ⇔ 判別式≧0

2x^2-2xy+2y^2-12x+12y+27=0 は楕円です。
45゜回転するとわかりやすくなります。
x=(X+Y)/√2,y=(X-Y)/√2 を代入して整理してみてください。


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