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図が悪いのですが、長方形の中に縦4本横3本の線が引いてあります。(網目状になっています。)
長方形の右下をA左上をBとします
AB間を最短距離で進む時、道順は何通りあるか?

本日の数学の問題です。いったい何通りあるのですか?気になって仕方ありません。

ぼくは40本だと思うのですが。

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A 回答 (6件)

hikaru_macさん、stomachmanさんのおっしゃる通りで、


厳密な議論に基づいた回答だと思います。
私は別の考え方をしてみます。

B━┳━┳━┳━┓
┃ ┃ ┃ ┃ ┃
┣━╋━g━e━c
┃ ┃ ┃ ┃ ┃
┣━╋━f━d━b
┃ ┃ ┃ ┃ ┃
┗━┻━┻━a━A

上の図で説明します。
A点からa点までは明らかに1通り、A点からb点へも1通りです。
ではd点は?
--これはa点を通るコースとb点を通るコースがあるので2通りです。
c点は?
--これは明らかに1通りです。
e点は?
--これはc点を通るコースとd点を通るコースなので、1+2=3通り。
f点は?
--これはA-d-gを結ぶ線に対してe点と対称なので、e点と同じく3通り。
g点は?
--e点を通るコースとf点を通るコースがあるので、3+3=6通り。
つまり
B━┳━┳━┳━┓
┃ ┃ ┃ ┃ ┃
┣━╋━6━3━1
┃ ┃ ┃ ┃ ┃
┣━╋━3━2━1
┃ ┃ ┃ ┃ ┃
┗━┻━┻━1━A
となります。この議論をB点まで進めていくと、
35━20━10━4━1
┃ ┃ ┃ ┃ ┃
15━10━6━3━1
┃ ┃ ┃ ┃ ┃
5━4━3━2━1
┃ ┃ ┃ ┃ ┃
1━1━1━1━A
となり、35通りと答えが出ます。

ここまで進めていくと、鋭い方は気がつくと思いますが、
数学で習ったパスカルの三角形と同じです。つまり
      1   1
     1  2  1
    1 3   3 1
   1 4  6  4 1
  1 5 10   10 5 1
 1 6 15  20  15 6 1
1 7 21 35   35 21 7 1

がパスカルの三角形ですが、逆三角形
  a b
   c
の部分は、c=a+bになっているというものです。
このパスカルの三角形の各行は、二項定理つまり(x+y)^nを展開した時の
係数の並びということも高校数学で習いました。
そしてこの係数はnCrで表されることもご存知でしょう。
問題のB点は7C3(7と3は下に小さく書いたものとします)=35です。

これでなぜコンビネーションが出てくるのかもおわかりかと思います。

社内で情報処理試験対策講座の講師をしていた時、この説明をして
わかりやすいと好評でした。オンラインではなかなか説明しにくいですが。
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この回答へのお礼

ほほぉ。
かなりわかりやすかったです。
とても参考になりました。

ありがとうございました

お礼日時:2002/02/27 22:02

No.1の回答者のhikaru_macです。


図は

┏┳┳┳┓
┣╋╋╋┫
┣╋╋╋┫
┗┻┻┻┛

でいいのですか?
実は私はMacを使っているのでもしかしたらアスキーアート(文字の絵)はうまく見えていないかも知れません。(等幅フォントにすればいいのか、はてな)

ちなみにもちろん、線の部分を通るんですよね?
まさかマスの中を進むんじゃないですよね?

えーと、そのようにすると、、、、
左4回上3回。
コマンドの入力は例えば
・左左左左上上上
ほかにも
・左左左上左上上
などなど。
これらを全部書き出してみると、

(7*6*5*4*3*2*1)÷{(4*3*2*1)*(3*2*1)}
=(7*6*5)/(3*2*1)
=35
35通りとなります
----
ちなみにコンビネーションとは高校数学の教科書の「場合の数、組み合わせ」という項目で勉強します。
あなたの学年とかが分からないので説明は今回もいたしません。
この程度の問題ならしらみつぶしでもいいと思います
(200*300のマス目になると、さすがにしらみつぶしは出来ない)
(もししりたければ、あなたの学年にもよりますが一応勉強してからもう一度御質問ください。もちろん、あなたの現在の状況によってはわたしが説明する事もあり得ますが。)

----
No.2の回答ですが
「その後は最短距離ですから1通りしか選択できません。 」
と言っているけど、はしっこを選んでいけばは、確かに1通りしかないけれど
上に行ったり左に行ったりした場合は、最短経路が1通りではないと思います。それで、どの私の答えとも違った回答が出てしまったのだと思われます。
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この回答へのお礼

図はその通りです。(当方WINですが、図はちゃんと分かりました。)
道は、線を通ります。

ぼくは中三です。調べたら、コンビネーションとか何となく分かった気がしました。

ありがとうございました

お礼日時:2002/02/27 21:58

 長方形の「中」に縦4本横3本ですよね。

図では全然そうは見えないが…
と思ったら、「長方形の中に、縦3本 横2本の線が引いてあります。」という訂正ですか。なるほど。
 ということは、長方形の角から出発したくても、長方形の角に道が来てないから動けません。答は0通り。

 あ、いやいや、だとすると、きっと「長方形の辺そのものも道」ってことでしょうね。そうするとですよ。
 隣り合う角または交差点の間を移動するのを1回の動き、と数えます。横に動くのを「横」縦に動くのを「縦」と書きます。最短距離、ってのはつまり横4回、縦3回動くってこと。都合7回動く訳です。7つの動きの中に、縦が3つ。残りが横。7つの中から3つ選んで、それを縦ということにすれば、残りは横。てことは、
「7つの中から3つ選ぶやり方は何通りあるでしょうかっ。」という組み合わせ(combination)の数を求めればよい。
7C3 = 7! /(3! 4!) = (7×6×5)/(3×2) = 7×5 = 35 通り。

combination(コンビネーション、組み合わせ)については、「順列 組み合わせ」で過去の質問を検索すれば解説が見つかります。例えば↓

参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=159077
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この回答へのお礼

ちょっと難しくてよく分かんないんですけど、35通りみたいですね。
ありがとうございました

お礼日時:2002/02/27 21:55

式は分からないですが、数えてみたら20本でした。

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この回答へのお礼

ぼくも数えてみたんですよ。
デモ、断念しました。。。。

ありがとうございました

お礼日時:2002/02/27 21:51

図のままですと、右下Aからの道筋は2通り、2通りいった次は、また2通り、その次も2通り、その後は最短距離ですから1通りしか選択できません。



従って、
2×2×2×1=8通り

説明文の通りですと、
2×2×2×2×1=16通り

で、どうでしょう?
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この回答へのお礼

済みません。図、分ともに間違いです。
何を錯乱していたのやら(笑

ありがとうございました

お礼日時:2002/02/27 21:50

マス目は3×3でいいんですよね?


質問の文と図がかみあってないような、、、?

AからBに進むのに、左のキーを3回、上のキーを3回たたけばよい。
左3回上3回。
たたく順番がいろいろあって、それぞれが異なる道順になっている。
たたく順番(コマンド入力手順)は全部で何通りか を考えれば良い。

「左」という文字と「上」という文字の並び替えの問題と同じで
その総数は
6C3となる。(CはコンビネーションのC。両端の数字はは下に小さくかいたつもり。)
6C3=(6*5*4)/(3*2*1)=20

こたえは20通りではないでしょうか?

コンビネーションとか、気になったらまた質問して下さい。

この回答への補足

あ、すみません。
勘違いで、図が、おかしいですね。
正確には、マス目は3×4です。
長方形の中に、縦3本 横2本の線が引いてあります。

でも、ありがとうございました。

コンビネーションとは何ですか?

補足日時:2002/02/26 23:48
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3×mの長方形に2×1の長方形を敷き詰める方法は何通りか分かるかたいらっしゃいますか?

回答お願いします。

漸化式なども分かるとありがたいです。

Aベストアンサー

漸化式だけ

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A(1)=3
A(2)は、
3×4の敷き詰めかたが3×2と3×2に分けられる場合は、A(1)*A(1)通り、
3×2と3×2に分けられない場合は、2通りなので、
A(2)=A(1)*A(1)+2=11
A(3)は、
3×6の敷き詰めかたが3×2と3×4に分けられる場合は、A(1)*A(2)通り、
3×2と3×4に分けられないが、3×4と3×2に分けられる場合は、2*A(1)通り、
3×2と3×4にも3×4と3×2にも分けられない場合は、2通りなので、
A(3)=A(1)*A(2)+2*A(1)+2=41
というように考えると、漸化式は、
A(0)=1
A(n)=A(n-1)+2*Σ[i=0・・・n-1]A(i) (n>0)

Q左上図、左下図、右上図、右下図。って

数学用語はありますか?また読みはなんでしょうか?

ご回答よろしくお願いします。

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例:左上図よりf(x)とg(x)はx=2で交わる
のように使います。

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例えば、とある長方形の面積60%の値を求めて、さらにその60%の面積になる長方形の、
縦と横の辺の長さを求めたいです。
数学が苦手で、どの様に計算したら良いか、わかりません。。どなたか教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

「2.9x1.7」の長方形の免責は 2.9×1.7=4.93 になります。
この長方形の面積の60%の60%は 4.93×0.6×0.6=1.7748 です。
長方形の縦横の比を同じにすると云う事は、同じ数で割ればよいのですから、
縦は 2.9×0.6=1.74 、横は 1.7×0.6=1.02 になります。
(確かめ算 1.74×1.02=1.7748 で、正しい事が解ります。)

>例えば、「2.9x1.7」の長方形の60%時の縦と横の辺を求めるには、

縦と横を掛けた値が元の60%ですから、一つ一つは0.6の平方根を掛けた物になります。
(2.9×√0.6)×(1.7×√0.6)=2.9×1.7×0.6 になり、実際に√0.6を計算する必要が無くなります。
(実際は0.6の平方根は無理数になり、約0.7746 です。)

エクセルで記入するには、それぞれのセルに計算式を入れるだけです。
セルA1の数字の平方根をA2に入れたい場合は、
A2のセルに関数SQRT(A1)と入力します。

Q--- カイ二乗検定 ---

ある学校のA組・B組・C組で、インフルエンザの罹患者数について有意な差があるのか、また有意差があるのであれば、どの組とどの組に有意差があるのかを確認したいとします。

検定方法は次の通りで合っているでしょうか。
まず3群全体でPearsonのカイ二乗検定を行う(p<0.05で有意)。有意差があれば、A-B、B-C、A-Cで同様にカイ二乗検定を繰り返す。
このとき有意とするのは Bonferroni の補正により p<0.0166…(=0.05/3)の場合とする。

   (例)ABC組におけるインフルエンザ罹患有りと無しの人数
              有  無
          A組  9   21 
          B組  5    25
          C組  14   16

Aベストアンサー

こんにちは。大学で心理統計法などを教えていますが,質問者様のように自分で適切な分析法を提案されているのを見ると,「教師の方は素晴らしいなぁ」「しっかりと勉強されているなぁ」と感心いたします。

結論から言えば,提案されている方法は「適切な方法」です。

間隔・比率尺度における分散分析,順序尺度におけるクラスカル・ウォリス検定やフリードマン検定,そして名義尺度におけるχ2検定やコクンランQ検定などの「複数条件の一度に比較を行う要因分析法」においては,有意であれば,多重比較を行う必要があります。

つまり,多重比較は尺度に関係なく要因分析法が有意であれば,詳細に調べる方法として使わなければなりません。SPSSでは順序尺度や名義尺度の要因分析法にオプションとして多重比較が行えないため,「なんだ,分散分析以外は使わなくていいんだ」と勘違いされるか違いますが,どの尺度でも必要な分析法です。

お気づきのように多重比較とは「補正をかける方法」であり,色々な補正法が提案されています。その中で一番簡単なボンフェローニ法(以下,B法)です。これは各尺度の要因分析の2条件検定法を繰り返す時に「有意水準をB法で厳しくする」というものです。
つまり,分散分析においては「(分散分析の2条件版である)t検定を複数使用する際にB法で有意水準を厳しくする」,クラスカル・ウォリス検定の場合は「(クラスカル・ウォリス検定の2条件版である)マン・ホイトニー検定を複数使用する際にB法で有意水準を厳しくする」となります。そしてχ2検定においても,「(2条件版でも仕える)χ2検定を複数使用する際にB法で有意水準を厳しくする」と言う方法が使えるわけです。

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結論から言えば,提案されている方法は「適切な方法」です。

間隔・比率尺度における分散分析,順序尺度におけるクラスカル・ウォリス検定やフリードマン検定,そして名義尺度におけるχ2検定やコクンランQ検定などの「複数条件の一度に比較を行う要因分析法」においては,有意であれば,多重比較を行う...続きを読む

Q回転する長方形に内接する長方形の最大サイズ

[問題]
144×96mmの長方形が30度回転しています。
1) これに内接する、比率4:3の長方形の最大サイズを求めなさい。
2) 同じく、内接する長方形(こちらは比率は問わない)の最大サイズを求めなさい。

仕事でこんな数値が必要となり、整理して問題形式にしてみました。
しょっぱなから見当がつかない状況です。

当方文系ですが、高校の時は数学が一番好きでした(ン十年前です <--参考)。
お知恵を貸していただけたら幸いです。

Aベストアンサー

1)
内接長方形の2辺と対角線の比は「4:3:5」なので
4:3の辺比の最大サイズの内接長方形の2辺と対角線の長さをを順に
Xcm,Y=(3/4)Xcm,(5/4)XcmとXだけで表せます。
Xと外の大きい長方形の96(mm)の辺の関係は次の関係があります。
ここで、30°は単位を弧度法のラジアン単位に変換して(π/6)(rad)とします。
 (5/4)Xsin((π/6)+arctan(3/4))=96(mm)
 X=96*(4/5)/sin((π/6)+arctan(3/4))
  =768/(4+3√3)≒83.51(mm)
 Y=(3/4)X=576/(4+3√3)≒62.63(mm)

2)
>最大サイズを求めなさい。
最大サイズとは何でしょうか?
・面積「XY」が最大ですか?
・周囲の長さ「2(X+Y)」が最大ですか?

内接長方形の4つの頂点がすべて、大きい方の長方形に接していると仮定するとして
面積S=XYが最大となる場合のXYを求めるのであれば

 Xsin(π/6)+Ysin(π/2-π/6)=96
つまり
 X/2+(√3)Y/2=96(X>0,Y>0)…(A)
の条件のもとで
 S=XY …(B)
を最大化すればいいですね。
(A)から
 X=192-(√3)Y …(C)
X≧0,Y≧0より
 0≦Y≦192/√3(≒110.85) …(D)
(B)に(C)を代入して
 S=Y(192-√3Y)=-√3(Y^2-(192/√3)Y)
=-√3{(Y-96/√3)^2-96^2/3}
=-√3(Y-32√3)^2+3072√3
Y=32√3(≒55.43)(cm)の時
 S(最大)=3072√3(≒5320.86(mm^2))
この時のXは(C)より X=96(mm)
と内接長方形の横X=96(mm),縦Y=32√3≒55.43(mm)が得られます。

1)
内接長方形の2辺と対角線の比は「4:3:5」なので
4:3の辺比の最大サイズの内接長方形の2辺と対角線の長さをを順に
Xcm,Y=(3/4)Xcm,(5/4)XcmとXだけで表せます。
Xと外の大きい長方形の96(mm)の辺の関係は次の関係があります。
ここで、30°は単位を弧度法のラジアン単位に変換して(π/6)(rad)とします。
 (5/4)Xsin((π/6)+arctan(3/4))=96(mm)
 X=96*(4/5)/sin((π/6)+arctan(3/4))
  =768/(4+3√3)≒83.51(mm)
 Y=(3/4)X=576/(4+3√3)≒62.63(mm)

2)
>最大サイズを求めなさい。
最大サイズとは何でしょうか?
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