知人から「頭の体操」と題して出題されましたが、チンぷんカンぷん。解き方と答えをぜひ教えてください!

「二等辺三角形ABCがあります。(Aが頂点)点Bから辺ACに向かって角Bを二等分する直線BDが引かれています。(DはAC上の点)BD+AD=BCのとき、角Aは何度ですか?」

よろしくお願いします。

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A 回答 (7件)

すみません、更に補足です。



「辺BC上に点Fを頂点とする二等辺三角形となるように点Fを取ると、」というのは、
「△FDCが点Fを頂点とする二等辺三角形となるように辺BC上に点Fを取ると、」
という意味です。

なんとなく解けて舞い上がってしまって、よく見ないで回答してしまいました。
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すみません、先ほどの回答の訂正です。



BD+AD=BF+FC=BF+AD よってBD=BF
「△BDFは点Fを頂点とする二等辺三角形になります。 」ではなく、
「△BDFは点「B」を頂点とする二等辺三角形になります。」です。
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私の少ない数学の知識をフルに使ったら、こんな回答になりました。


どうでしょうか?

∠A=a度、∠B=∠C=2b度とします。a+4b=180°
問題のとおりに点Dをとると、∠ADB=3b
ここで、∠DEB=3bとなるように、辺BC上に点Eを取る*と、
∠ABD=∠EBD、∠ADE=∠EDB、辺BD共通で△ABD≡△EBD、
よってAD=DE、∠DEC=4b
(*三角形の2辺の和は他辺より長いことより、△EBDにおいて、BD+DE>BE、
仮定よりBD+AD=BD+DE=BC>BE、
よって点Eは必ず点Bと点Cの間にあります。)

更に、辺BC上に点Fを頂点とする二等辺三角形となるように点Fを取ると、∠DFB=4b
∠DEC=4b、∠DFA=4bより、△DEFは点Dを頂点とする二等辺三角形となり、FC=DF=DE=AD
ここで、BD+AD=BCより、
BD+AD=BF+FC=BF+AD よってBD=BF
△BDFは点Fを頂点とする二等辺三角形になります。
∠DBC=b、∠DFB=∠FDB=4bより、
b+4b×2=180° よってb=20°、a=100°

わかりにくい説明ですみません。
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うさんくさい解法ですが、中学生レベルの解法を示します。


まず△ABCで∠Bの2等分線と比の関係より、BA:BC=AD:CD...(1)
ここで、辺BC上にBD=BD'となる点D'をとると、仮定よりD'C=AD...(2)となる。
(2)とAB=ACを(1)に代入してAC:BC=D'C:CD...(3)
△CABと△CD'Dにおいて、
角C共通, CA:CD'=CB:CD((3)で比の内項を入れ替えたもの)
より△CAB∽△CD'Dとなり、即ち△CD'DはD'C=D'Dの2等辺三角形である。

ここで、∠ABD=∠DBC=aとおくと、∠C=2a(△ABC2等辺)
∠BDA=∠BCD+∠CBD(△BCDの内角と外角の関係)=3a
また、∠D'DC=∠C(△CD'D2等辺)=2a, ∠DD'B=∠DCD'+∠CDD'=4a
あと、点D'の取り方から△BDD'も2等辺△で、∠BDD'=∠BD'D=4a
よって、∠ADB+∠BDD'+∠D'BC=3a+4a+2a=9a=180度よりa=20度

ということで角度が求められます。

私ははじめBDをDの方向にAD分だけ延長した点Pをとって、△BCP, △DAPの2等辺を用いることを考えていたのですが、#3のb_blackさんのヒントを見てから、結局D'D=D'Cを言うことがこの問題の本質であると考え、試行錯誤ののち相似の解法にたどりつきました。(このあたりで答えがある程度わかっていての「決め打ち」解法なのですが)
ちなみに、このD'D=D'Cを言うのは、たぶんそんなに簡単ではないような気がします。

さらにいい解法があるのかもしれませんが、三角定規の角度じゃないだけに、なんらかの形で合同や相似とかを用いて解いていく必要があるのは間違いないと思っています。
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辺BC上に次の条件を満たす2点 A' と D'を求める。


1)BA=BA'
2)BD=BD'
よってD'D=D'C=A'Dを満たす様に各々の角度を計算できるはずです。
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幾何的な解法が思い浮かばないので


No.1の人の方針で解きます。
AB=a BD=x AD=y ∠ABC=2θ とします。
三角比より BC=2acos2θ
正弦定理より x=asin4θ/sin3θ y=asinθ/sin3θ
BD+AD=BC より x+y=BC
分母を払うと sinθ+sin4θ=2cos2θsin3θ
積和の公式より sinθ+sin4θ=sin5θ+sinθ
したがって sin4θ=sin5θ
0°<4θ<180°より 4θ+5θ=180°
よって 9θ=180° θ =20°
したがって 底辺の角度∠B=40°
      ∠A=100°
頭の体操の問題なのでこのような解法ではないと思いますが
公式を用いてきれいに解けたので投稿します。
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この回答へのお礼

鮮やかな回答ありがとうございます。そうなんです、きっとものすごく簡単な解き方があると思うんです。もし、よろしければ、簡単な解き方のほうも考えてください。よろしくお願いします。

お礼日時:2002/03/01 22:27

AD=x,BD=y,DC=zとして、


角Cの角度を2sとします(従って二等分された角Bはそれぞれs°)。

ここで、三角形ABD,BCD,ABCについて、それぞれ正弦定理を出しますと、
x,y,z,sについての式が4つできます。
コレを解いていくと答えが出ます。

ですけど、計算がめんどくさくて数学的にエレガントじゃない……。
まだ良答あると思い増すんで、アドバイスということで。

なお、この方法には高校2年程度の数学の知識がいります。
(正弦定理、加法定理)
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この回答へのお礼

ありがとうございます。大変申し訳ないのですが、私のような「アホ」にも分るように簡単に教えていただけないでしょうか?よろしくお願いします。

お礼日時:2002/02/28 07:20

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   180°= 1/2(∠B+∠C)+∠x
 2を掛ける
   360°= ∠B+∠C+2∠x
 整理して
    ∠B+∠C = 360°-2∠x
 (1)に代入
   180° = ∠A+( 360°-2∠x)
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   90°= 1/2∠A+180°-∠x
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 三角形の内角の和は180°
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   180°= { 1/2(180°-∠ABC)}+{ 1/2(180°-∠ACB)}+∠x
   180°= 180°-1/2(∠ABC+∠ACB)+∠x
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 三角形の内角の和は180°なので
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   ∠ABC+∠ACB = 180°-∠A
 (4)に代入して
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   ∠x = 90°-1/2∠A



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面積比4:3は全体の割合で言い換えると、4/7と3/7ですね。

次に、先ほどと同じ考え方で、ABEとEBD, ACEとCEDの面積比は3:2ですね。全体の割合で言い換えると、3/5と2/5です。

ABEとEBDはABDを分割していますから、ABD(4/7)にその割合をかけて出します.ABEは、4/7×3/5, EBDは、4/7×2/5となります。

同じように考えて、ACEとCEDは、3/7×3/5と3/7×2/5となります。

これで4つ全ての三角形の大きさがでました。
あとは、ABEとBCE(BED+CED)とCAEを比較するだけです。

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CAE = 3/7×3/5 = 9/35

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△ABE:△BCE:△CAE = 12:14:9 となります。

わかりましたか?

まず、ABDとADCの面積比は4:3ですね。三角形の面積は底辺×高さ÷2なので、2つの三角は高さは同じで底辺が4:3ですから。
面積比4:3は全体の割合で言い換えると、4/7と3/7ですね。

次に、先ほどと同じ考え方で、ABEとEBD, ACEとCEDの面積比は3:2ですね。全体の割合で言い換えると、3/5と2/5です。

ABEとEBDはABDを分割していますから、ABD(4/7)にその割合をかけて出します.ABEは、4/7×3/5, EBDは、4/7×2/5となります。

同じように考えて、ACEとCEDは、3/7×3/5と3/7×2/5となります。

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