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a_1=3 、a_n+1=3a_n -4で定義される一般項a_nを求めよで、
辺辺引いたりしてa_n+1-a_n=3(a_n -a_n-1) (n≧2)
a_n+1 -a_n=b_nでb_n=3b_n-1 (n≧2)また、b_1=2よって
{b_n}は初項2 公比3の等比数列であるからb_n=2・3^n-1(n≧1)ここまではわかるのですが、ここ以降何をしてるのかよくわかりません。
先を見ると
ゆえに、n≧2のとき a_n=a_1+Σ(k=1~n-1)2・3^k-1=3^n-1 +2
となっています・・・・ここの詳しい解説をしてもらえないでしょうか

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A 回答 (4件)

b_n=a_n+1-a_n=2・3^n-1


ですから、
a_n+1=a_n+2・3^n-1
です。
これから、
a_n=a_n-1+2・3^n-2
ですから、代入すると
a_n+1=a_n-1+2・3^n-2+2・3^n-1
となります。これをa_n-1からa2まで繰り返して代入していくと
a_n+1=a_1+2・3^0+2・3^1+2・3^2+・・・+2・3^n-1
となります。a_1以外は等比数列の和です。
n≧2のときはa_n=a_1+Σ(k=1~n-1)2・3^k-1
になります。
階差数列の性質ですので覚えておいてもいいです。
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今回はa(n+1)+A=3{a(n)+A}と置いてAを求めた方が等比級数の積として簡単にとけると思います。

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b_nの式にn=1、2・・・n-1を代入してみましょう。



a_2-a_1=b_1
a_3-a_2=b_2
a_4-a_3=b_3
(中略)
a_n-a_n-1=b_n-1

となりますよね。
これを左辺、右辺同士加算すると左辺の途中は上手く相殺されて
a_n-a_1=Σ(b_n) (n≧2)となります。(右辺は1~n-1までの和)
よって、a_n=a_1+Σ(b_n)
=3 +2・3^(n-1)-1/(3-1)
=3 +3^(n-1) - 1
=3^(n-1) + 2
となります。
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a_n=a_1+Σ(k=1~n-1)2・3^k-1 というのは、


a_n=a_1+Σ(k=1~n-1)b_k ということです。
 階差数列は、『数列の「各項の差」からなる数列を元の数列の階差数列と言います。』ので、各項の差を足していくΣが必要になります。

参考URL:http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/kaisa.html
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