次の問題と答えについて教えてください。

球座標の原点に、点電荷Q=2000pCがある。r=1mの球表面に電荷密度p=40paipC/m2で電荷が分布している。r>2mにおける電束密度D=0となるとき、r=2mの球面の電荷密度が何か。答え -71.2pC

原点に集中したとする電荷が0になるようにしたら良いのでしょうか、良く分かりません。

A 回答 (1件)

大学の教養課程もしくは専門課程の初歩の方でしょうか。

電磁気学の教科書はお持ちで、ベクトル演算についても聞いたことくらいはある、という前提でお話をします。
結論から言えば原点に集中させた時の電荷が0になるように電荷密度を決めればよいのですが、どうしてそのような解き方で良いのか以下を読んで理解してください。

静電場を計算するにはGaussの法則から出発します。Gaussの法則は
∫En dS=Q/ε   (1)
と表現されます。積分(∫dS)は任意の閉曲面について行われます。Enはその面上で、面に垂直な電場成分の大きさです(一般には場所の関数となる)。Qはその閉曲面で囲まれる空間内ににある電荷の合計です。εは誘電率です。
厄介に見える式ですが、この式の教えるところは「ある閉曲面について∫En dSを計算すると、その値は閉曲面で囲まれる空間内の電荷の総量だけで決まる」ということです。「電荷の総量が同じならその分布が変わっても、∫En dSの値は同じ」ということでもあります。(Enの値そのものが不変なわけではないので注意)

着目している閉曲面が不規則な形状だとこの式を使う価値はあまりないのですが、球面のように対称性のよい形状だと俄然役に立ってきます。例として、点電荷Qがありこの点電荷が半径rだけ離れた(仮想的な)球面上で作る電場Eを計算してみることにします。
電場Eは対称性から考えて球面に垂直で、かつ球面上ではその値は一定です。すると積分
∫En dS   (2)
は単純なかけ算
E×4πr^2   (3)
に置き換えられますので(^はべき乗を表す)、
E×4πr^2=Q/ε   (4)
から
E=Q/4πεr^2   (5)
となって、Coulombの法則と一致します。

お尋ねの問題もこの方法で解くことができます。半径r2(=2[m])の仮想的な球面を考え、その内部の電荷の総量をQ0とします。電荷が内側の球面、外側の球面に分布しているのが気になりますが、いずれも球対称であるので
・球面上の電場は、常に球面と垂直
・球面上での電場の大きさはどこでも同じ
であることが分かり、従ってこの場合でも(2)の積分を(3)のかけ算に置き換えて良いことになります(*)。
内側の球面の半径をr1(=1[m])、その表面電荷密度をρ1(=40π[pC/m^2])、外側の球面の表面電荷密度をρ2とすれば
Q0=Q+ρ1×4πr1^2+ρ2×4πr2^2   (6)
であり、このQ0が0であれば半径r2の球面上での電場は0(すなわち電束密度も0)になるわけです。数字を代入してρ2を計算すれば-71.2[pC/m^2]と求まるはずです。(電荷密度ですから単位は[C/m^2]でないとおかしいです。[pC]は誤り)

半径がさらに大きな球面上での電場の大きさを考える場合も同じやり方でできます。すなわちその球面内の電荷の合計は相変わらず0ですから、その球面上の電場も0です。従ってr>2[m]である空間の電場はどこでも0です。

*閉曲面内の電荷が偏って分布していたり、取り囲む閉曲面が対称性のよくない形状だったりすると、(2)→(3)のところで積分を単純にかけ算に置き換えることができなくなりますので、(3)以下の簡単な方法で解くことはできなくなります。ご注意。
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この回答へのお礼

詳しい解説とご回答ありがとうございました。

お礼日時:2002/03/02 18:45

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 どういう状況下にいらっしゃるのか、わかりませんが、以下のような説明は、省略されたのかな?、という気がしました。

(1)表面電荷
 自由電子を持ち、(導体内では)自由電子が、かけられた電場に沿って自由に動ける。これが導体の定義だったと思います。ここで自由電子は、もともと導体内の原子に含まれていたものであり、導体全体としては電荷量ゼロですが、この理由から、導体に電場をかければ電流が流れます。

 導体に外から電荷を与えた場合、導体の先の性質から、これは余剰な自由電子とみなせます。要するにいつでも電流として移動できます。
 無限に広い導体を考え、その一部に集中して電荷を与えたとします。電荷は電場を作るので、電荷どうしは電場によって反発します。電場に沿って自由に動けるのが自由電子です。集中して与えた電荷は拡散して行くはずです。この過程を、

  (a)電荷保存則
  (b)ガウスの法則
  (c)一般化されたオームの法則

を組み合わせて計算すると、電荷はその反発力のために無限の彼方へ逃走し、導体内の電荷はゼロになる、という結果になります。もちろん抵抗(電気伝導率)があるので、ゼロになるまでの時間はゼロではありませんが、電場と抵抗の比から、実際上はほぼ一瞬で、そうなると言えます。

 もちろん無限に広い導体が現実にない以上、これは仮想の計算です。しかし有限の表面を持つ導体でも、上の理由から電荷は拡散するはずなので、現実の導体では、与えた電荷は一瞬で、表面のみに貯まるようになり、導体内部の電荷はゼロになるだろうと予想できます。これが表面電荷です。
 表面電荷はある厚みを持つはずですが、非常に薄いと考えられるので、ふつうは電荷の面密度(C/m^2)で近似します。


(2)経緯
 電気の開発者たちは、(a)(b)(c)を知っていた訳ではないです。しかし当時は頻繁に帯電した導体球などを用いて、クーロンの実験などを行い、最終的にはガウスの法則を導いたりしています。その過程で表面電荷に気づき、後に計算で確認されたのが実情と思えます。


(3)という訳で
 という訳で、与えた電荷が表面電荷になる事さえ経験事実として認めれば、別に途中経過を計算しないでも、球は一様な形状と材質なので、一様な表面電荷になるはずだ、という事になります。
 電気の最初に出される問題は、機構さえ理解していれば、常識的考えで解けるものが、けっこうあります。この問題で言えば、表面電荷に納得しているか?、を問うているようにも深読みできます。表面電荷の説明があったとすればですが・・・。

 どういう状況下にいらっしゃるのか、わかりませんが、以下のような説明は、省略されたのかな?、という気がしました。

(1)表面電荷
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