重積分

この問題の解き方が分かりません。助けてください。

不等式 x^2+y^2<=4a^2, x^2+y^2>=2ax, x>=0 の表す領域をDとしたとき、極座標に変換して次の2重積分を求めよ。
ただし、aは正の定数とする。

∫∫ √(x^2+y^2) dxdy

パイ/96

No.1 回答者： nuubou 回答日時： 2002/03/01 08:58

「パイ/96」

は何ですか？
明らかに答えではないですね？
ａが含まれていないから
間違った答えを出されると回答者は大変ですよ
正しい答えを出してもおかしいなとおもって何度も検算するのですから
答えはあったほうが大いにいいのですが
正しい答えを出せないなら答えは最初から出さない方がいいですね

No.2 回答者： hikaru_mac 回答日時： 2002/03/01 12:19

困り度1ということですが、あなたはいったいどの程度、重積分の勉強をしたのですか？

一通りは勉強したのですか？

この問題は、重積分とはどんなものなのか？ってことと、
重積分での座標変換（ヤコビ行列とかのこと）が分かれば
割合簡単に解けるはずです。

もういちどじっくり教科書を眺めてみましょう。

もしあなたが大学生以上ではなくて、ちょうどよい、教科書、テキスト、参考書がないのなら、ここで、質問するより先に本屋で参考書を買う事を考えた方がいいかも知れません。
しかし、もしあなたが、そのような努力をすでにしたのであれば
ここで質問をするのも一つの手段なのかも知れません。

ということで、一応解答例を、、、。
答えは　(8π/3-32/9)a^3 となりました。

∫∫ √(x^2+y^2) dxdy
=∫∫ r*(r drdθ)
で、範囲は
-π/2～θ～π/2
2a*cosθ～r～2a
です。

(cosθ)^3の積分が
sinθ-{（sinθ）^3}/3 であることを使えば、簡単に解けて

(8π/3-32/9)a^3
になります。
もしかしたら、座標変換後のDの範囲が難しかったのかもしれませんね。
どうでしょうか？