アインシュタインの場の方程式を、作用の変分から求めようとする時、ラグランジアン密度がR+2Λという形だったときの変分なのですが、δR(:スカラー曲率)の項を消去する
部分が理解できません。変形の終わりにくるガウスの法則を使っての積分限界でゼロになるというというのがイメージできずよく分からないです。電磁気のガウスの法則のような感じなのでしょうがちょっと理解できず苦しんでいます。
アドバイスをお願いします。
あるいは、何かその部分に詳しい本などはないでしょうか?

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A 回答 (2件)

こちらも、ご質問を誤解しているかもしれませんが、アドバイスを申し上げます。



変形の終りのほうで多分やることは、ガウスの法則というよりは、数学の
「ガウスの定理」といわれる、体積積分を表面積分に変換する、
(今の場合は、4次元体積の超曲面上の積分に変換する、)
のではないでしょうか?
そして、変分をとるときには、「最小作用の原理」をもちいて、
積分領域の限界における、場の成分がゼロになるから、消える、
とするのではないでしょうか?

私の記述では不完全かもしれないので、その部分に詳しい本も
紹介してよいということなので、ご紹介します。

ランダウ・リフシッツ著
場の古典論(原書第6版)
東京図書
§93.重力場に対する作用関数

「最小作用の原理」については、
同じく
ランダウ・リフシッツ著
力学(増訂第3版)
東京図書
§2.最小作用の原理

がよいです。

こちらも、質問の意図を勘違いしているかもしれませんので、
そのときは、また改めてご質問下さい。よろしくお願いします。

この回答への補足

説明が足りずに申し訳ありません。おっしゃるとおり体積積分を表面積分に変えるというガウスの定理です。
力学における「最小作用の原理」ならイメージできるのですが、四次元体積において

>そして、変分をとるときには、「最小作用の原理」をもちいて、
>積分領域の限界における、場の成分がゼロになるから、消える、
>とするのではないでしょうか

の部分がイメージできず、うまく自分で説明できないのです。ランダウの本は両方とも持っているので、もう一度読み直してみます。

補足日時:2002/03/04 02:12
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この回答へのお礼

度々ありがとうございます。

お礼日時:2002/03/04 01:16

「最小作用の原理」を一粒子系で考えるか、場で考えるかの違いでしょう。



「力学」のq(t)は、一粒子なので、変数のパラメーターは時間tだけですが、
場の量になると、たとえば、R(t,x,y,z)とパラメーターの数が増えます。
形式上はそれだけのことです。
空間時間について、場の量が表面で固定されているイメージなので、
表面(積分領域の境界)でδR(微小変化分)はゼロになりますよね。

物理的なイメージが湧かないとおっしゃるのは、なかなかこちらも
説明しにくいので、ご自分でじっくりお考えになってください。
たまに考えにふけるのもよいものです(笑)。
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この回答へのお礼

どうもすいません。自分で考えてみます。
ありがとうございました。

お礼日時:2002/03/05 00:47

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どなたか教えて下さい。よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

#1です.

補足をします.

式をどのように導くのか,という追加のご質問ですが,まずは,ウェーバーの法則は,数学の公式というか,計算のように,式を展開していった結果,前回お示しした式が得られるということではありません.
フェヒナーの法則は,ウェーバーの法則を前提に,ある程度数学的に展開して得られています.

ウェーバーの法則は,概念的なものを式の形で現せば,前回の式になる,とご理解下さい.
つまり,ウェーバーの法則は,経験法則を式の形で表したものということなのです.
ただし,ウェーバーの法則中のk(定数)は,感覚の種類(モダリティ)に固有の値で,これは少し詳しい心理学の教科書や,感覚心理学,知覚心理学などの文献を調べていただくと,それぞれのモダリティでいくつになるかという一覧表があると思います(たとえば,東大出版会の心理学<改訂版>など).
また,ウェーバーの法則が成り立つ範囲も,どのような刺激の強さでも成り立つのではなことが分かっています.
ウェーバーの法則の意義は,精神物理学の発展のきっかけになったということです.
具体的にいえば,フェヒナーに大きく影響し,フェヒナーの法則は,ウェーバーの法則を前提として,成立しています.

これに対して,フェヒナーの法則は,刺激の物理量と,それに対応する感覚量との関係を数量的に表したものです.
まず,フェヒナーは,感覚量は直接測定できないと考え,弁別閾(丁度可知差異)を感覚の基本単位として,間接的に感覚量を尺度化しようとしたのです(フェヒナーの仮説).
つまり,強度の異なる2つの刺激があるときに,その2つの刺激の差を,いくつの弁別閾を積算することで等しくできるかということで間接的に尺度化しようとしたのです.

数学的には,ウェーバーの法則が,感覚の大きさの非常に微少な増分dEと,同じく微少な刺激増分dIとの間にも成立すると仮定すれば,
 dE=kdI/I(k:定数)
と表せます.この両辺を積分すると,
 E=SkdI/I=k logI+C(Sは,積分記号,C:積分定数)
となります(上に補足したように,Sは積分の記号と読んで下さい).
この式は,感覚の大きさEは,刺激強度の対数に比例することを意味することになります.
これがフェヒナーの法則です.
グラフ化したものは,上述の東大出版会の「心理学<改訂版>」など,詳しい教科書に掲載されています.

なお,上述のように,ウェーバー法則が,一定の刺激強度の範囲でしか成り立たないことが,今日では分かっていますので,したがって,フェヒナー法則も,同様であることが分かっています.

以上で,いかがでしょうか?

#1です.

補足をします.

式をどのように導くのか,という追加のご質問ですが,まずは,ウェーバーの法則は,数学の公式というか,計算のように,式を展開していった結果,前回お示しした式が得られるということではありません.
フェヒナーの法則は,ウェーバーの法則を前提に,ある程度数学的に展開して得られています.

ウェーバーの法則は,概念的なものを式の形で現せば,前回の式になる,とご理解下さい.
つまり,ウェーバーの法則は,経験法則を式の形で表したものということなのです.
ただ...続きを読む

Qガウスの法則とクーロンの法則の関係

お世話になります。

基本的な質問で恐縮です。

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div E = ρ/ ε
より、電荷のない場所ではdiv E がゼロだと理解しています。

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E(x) = k * Q / r^2 (k = 1 / 4πε) ・・・式(1)
と書けますよね。
しかし、式(1)のdivを計算すると、divE = - k Q / r^3 となって、
電荷のある原点以外でもdiv E がゼロ以外の値を持つことに
なってしまいます。
しかも Q>0 なのに、divがマイナス、つまり吸い込みです。

矛盾しているように見えるのですが、どう考えればよいのでしょうか。

お手数をお掛け致しますが、よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

>そうだとすると、1次元版や2次元版のクーロンの法則のようなものはないのでしょうか?

ガウスの法則の積分形から計算すれば、すぐに出てきます。
Eの積分を極座標で行ったときのヤコビアンの形がそのままr依存性になります。


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