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赤道上で振り子を地軸方向に動かすと、振り子の軌道は8の字を描くのでしょうか?

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A 回答 (4件)

今晩は。


N(北極点)S(南極点)を結んだ線、すなわちNSを地軸とし、P,Qを北緯の同一緯度上の2点とします。地軸NSをN方向に延長した先に北極星(これをAとします)があるとします。

初めに振り子がP点で南北に、すなわちPA直線上で振れていたとし、t時間後にP点はα(ラジアン)だけ回転してQ点まで移動したとします。
このとき、地上のわれわれには南北の方向は、APからAQ方向にとなるので、振り子の振動の方向は変わったように見えます。

その角度は時間tの間に ∠PAQ=∠θ です。tを小さいとすると、
 弧PQ=AP・θ, 弧PQ=PO・α,  OはPQ点において赤道と平行に地球を輪切りにしたときの地軸との交点です。∠αは∠POQです。

そこで、Rを地球半径、φをP点の緯度とすると、
 PO=Rcosφ,  AP=Rcotφ,
∴θ=PQ/AP=(Rcosφ/Rcotφ)・α=αsinφ,
よって、振り子の振動の北端が東へずれて行く角度θは、次式から求まります。
 θ/t=(α/t)・sinφ=ω・sinφ, ωは地球自転の角速度です。

赤道上では、sinφ=0 ですので、θ=0 つまり振り子は一定面上を振動するのみで8の字は描かないのではないでしょうか?
そうは言っても全く自信はありません。是非経験者に実際のところはどうなのか知りたいですね。
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この回答へのお礼

torahuzukuさん御回答どうも有り難うございます。
たしかに式で説明されると、torahuzukuさんのおっしゃるとおりになってしまいますね。

しかし僕が思ったのは、赤道上から北極点に向かって振り子が振れたとき、t秒後の振り子の位置をp´とした場合、その地点での緯度φ´からωsinφ´という角度で軌道がずれていくんじゃないかと思うんです。
なので、北半球で右向きに力を受けつつ赤道に戻ってきて、南半球に入ると左に力を受けて赤道へ、ということになるのではないかと。

考え方が間違っているんでしょうか?

お礼日時:2006/07/21 19:13

fisiaさん今日は。

No3です。
2次元の回転座標系でのみの浅い知識でだけで今までお答えしてきた事に反省し、3次元回転座標系について少しだけ勉強してみました。ここら辺が私の能力の限界ですので間違っているかもしれませんが…。

3次元における振り子の張力を表わす式において、振り子の高さの変位を表わすzの項(振り子の糸の長さをLとし振り子の糸が鉛直下方となす角をθとすると、z=-Lcosθですが)もコリオリの力と関係する式(この式は自分自身完全に理解した訳ではないので省略させて下さい)に入ってくるようですが、θが十分小さいときはこの項は無視できるようです。ですから振り子は、接線上を往復しているとして考えても良いようです。

仮にこの項を無視せずとも、赤道上では振り子の錘が赤道上より北に振れたとき、進行方向に対して直角右向きに働くコリオリの力は、錘の位置が最下端から最上端の各位置で働き方や大きさは違うでしょうが、振り子が赤道上より南に振れた時点でコリオリの力は進行方向に対して直角左向きに働きますので、結局北向きの時に働いたコリオリの力は相殺され、地軸と平行状態のままである。と考えてもよいのではないでしょうか?
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この回答へのお礼

torahuzukuさん、度々お答えくださってありがとうございます。

僕もそうなるんじゃないかと思います。
北半球で右向きに回転して、南半球で左向きに回って赤道に帰って来ると、向きと位置は振り出しに戻っている。
なので8の字を描くのではなかろうかと。非常に細長い8の字を。

身近で詳しい人がいれば楽なんですが、いかんせんそのような者がいず、ご迷惑かけているしだいです。

お礼日時:2006/07/26 22:29

お早うございます。

No1,2です。たびたびすみません。

どうも気になりますのでもう少し考えて赤道上では回転しない訳についての自分なりの推論です。

地球上のある地点で振り子の錘が描く軌跡は地球面に対してその地点での接線になると考えることが出来ます。すると赤道上では接線は地軸と平行になり、無限遠点(先の点Aです)から見ると地軸と同一とも考えられます。また地球の回転も無限遠点から見ると回転せず一点と考えても良いのではないでしょうか?つまり赤道上では地軸上を錘が往復運動をしているだけだと考えても良いのではないでしょうか?

そのように錘の描く接線に視点を移して考えると北極点では錘の軌跡は地軸に対して90度傾いているから一日で360度回転し、緯度が南に下がって来るに連れて傾きが少なくなるので時間当たりの回転する角度が減って来て、赤道上では回転しないという事になるという次第です。

fisicaさんも直感的に納得せざるを得ないとのことですので、蛇足であったかも知れませんが…。
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この回答へのお礼

そうです!なんか今チラッと確信に触れた気がします。
物体の運動面が、回転軸に対しどのくらいの角度があるかによって、運動の軌道の回転が決定するのですね。
それならωsinφの式が成立することが理解できます。赤道上の接線面は地軸に平行ですから、φ=0の答えで回転しないことは納得できます。

しかしそうすると新たな疑問が出てくるのですが。

振り子は横からみれば円運動をします。位置エネルギーが最小の地点では、錘は接線面にたいし平行に動きますが、そこ以外は地軸に対しある程度角度を持って運動します。そうなると、やはり赤道から少しずれた時点でコリオリの影響を受けてしまうと思うのです。

この考え方は非常にミクロなことであるとは思うんです。
もしかして「フーコーの振り子」の考え方そのものが、横から見た錘の軌道を地面に対し平行とみなしているのでしょうか。

お礼日時:2006/07/24 19:52

fisicaさん今晩は。

No1です。実は最後の式
 θ/t=(α/t)・sinφ=ω・sinφ 迄は、教科書のほぼ記載の通りに回答しました。

仮に北極点でこの実験をすると、一日で1回転するであろうことは私も容易に想像ができますし、式にφ=90度を入れても実際そのような結果になります。

教科書では東京(北緯35度43分)では、1時間で8,8度位づつの割合で振動の北端が東へずれて行くことになり、実際にもほぼその通りであるとなっています。

北半球ではfisicaさんもご指摘のようにt秒後の振り子の位置は右向きに力を受け教科書の記述通り東へずれて行くのは理解できますが、しかし振り子の振動面が赤道と平行になってからもそのまま回転を続け何時間後には本当に1回転するのだろうか?と私も実は半信半疑でいたのです。気になってこちらのカテで過去の質問を検索してみました。

過去の質問やGoogleでの検索記事をよく読んだ訳ではない(難しすぎて(^_^))のですが、やはり北半球では何時間後には1回転するようです。しかし赤道上では回転するのかしないのかはっきりしませんでした。私も赤道上で回転しないのはいまいち納得できないのです…。fisicaさんの疑問の解消の回答になってなくて申し訳ないです。
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この回答へのお礼

わざわざ有り難うございます。

僕もグーグルなどあちこち回った末、こちらで質問したしだいです。
おっしゃるとおり赤道で平行になた時点で回転は止まってしまいそうですね。この点に関しては直感的にも納得せざるえない感じがします。

高校時代、物理の先生に質問してたら答えてくれたんでしょうか。

お礼日時:2006/07/22 00:01

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