n^2のシグマ公式についてお聞きしたいのですが、Σn^2=n(n+1)(2n+1) / 6 だとおもうのですが、Σn^2=Σ(n・n)と考えて、nのシグマ公式の2乗と考えて、{n(n+1) / 2}^2 だと公式の結果と違ってくるのはなぜなのでしょうか。

A 回答 (4件)

Σ(n^2)と(Σn)^2は等しいですか?



Σ(n^2)=(1^2)+(2^2)+(3^2)+…
(Σn)^2=(1+2+3+…)^2
ぜんぜん違うと思うのですが…
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この回答へのお礼

>Σ(n^2)と(Σn)^2は等しいですか?
Σ(n^2)=(1^2)+(2^2)+(3^2)+…
(Σn)^2=(1+2+3+…)^2
ぜんぜん違うと思うのですが…

はい、ごもっともです。言われてみると、ああそうか!という感じがします。なるほど、そういうことだったんですね。C_ranさんどうもありがとうございました!

お礼日時:2002/03/05 09:22

まったくの蛇足ですが。

。。
(Σn)^2 = Σn^3 がいえます。
んーっと、これは、たとえば、
{Σ(n+1)}^2 - (Σn)^2 = {Σ(n+1) + Σn} * {Σ(n+1) - Σn}
= {2*Σn + (n+1)} * (n+1)
= {n(n+1) + (n+1)} * (n+1) = (n+1)^3
という式を用いて、数学的帰納法で示せます。

s-wordさんの要求している回答とはまったく違った方向の話なので、回答に対する自信はなしとします。お茶濁しですみません。(^^;)
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この回答へのお礼

kony0さんこんにちは。Σn^3 =(Σn)^2 のおかげで、覚える公式が一つ減るのでうれしいです(^^)。Σn^2 の公式は覚えるのにだいぶ苦労しました。Σn^3 =(Σn)^2 の公式は前に帰納法のセクションでやった覚えがあるので、比較的すっきりと頭に入ってきました。どうもお返事ありがとうございました。

お礼日時:2002/03/05 09:24

 既に回答がある様に,『Σ(n^2) = (Σn)^2』とはなりません。



 具体的に簡単な例を見てみましょう。n = 2 までの和を考えてみると,

 Σ(n^2) = 1・1 + 2・2
 (Σn)^2 = (1 + 2)・(1 + 2) = 1・1 + 2・2 + 1・2 + 2・1

 いかがですか,(Σn)^2 には Σ(n^2) の項以外に 1・2 や 2・1 の項が出てきます。これはどんなnに対してもそうなります。したがって,Σ(n^2) ≠ (Σn)^2 です。
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この回答へのお礼

>Σ(n^2) = 1・1 + 2・2
 (Σn)^2 = (1 + 2)・(1 + 2) = 1・1 + 2・2 + 1・2 + 2・1

rei00さんこんにちは。具体的に値を代入してみると、両者の式の違いが鮮明になりますね。とてもわかりやすかったです。これからこういうところで間違えないように特に気をつけをようと思います。

お礼日時:2002/03/05 09:23

Σn^2=Σ(n・n)


これに対して
Σn^2=Σ(n・n)=(Σn)・(Σn)
とできれば、あなたのおっしゃる通りになりますが、
上の式は成立しません。

積ではなく、和ならば
Σ2n=Σ(n+n)=(Σn)+(Σn)
となるのですが。
 
残念ですね。
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この回答へのお礼

>Σn^2=Σ(n・n)=(Σn)・(Σn)
とできれば、あなたのおっしゃる通りになりますが、
上の式は成立しません。

uyama33さんこんにちは。お返事どうもありがとうございます。Σ2n=Σ(n+n)=(Σn)+(Σn) の計算のように分割できるんじゃないかと思ったのですが、できないんですね。残念です。どうもありがとうございました。

お礼日時:2002/03/05 09:23

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nikon F80SにシグマレンズASPHERICAL IF28-300D(F3.5-5.6)を取り付けるとF80SがFエラーになり使用できません。なにか特別な設定が必要なんでしょうか?教えてください。
ちなみにシグマレンズASPHERICAL IF18-35(F3.5-5.6)はエラー表示はでません。
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Aベストアンサー

レンズに内蔵された CPU チップがカメラ本体に対応していないための不具合だと思いますよ。

あまり古いと対応できないときもあるそうですが、1000円程度でチップ交換に応じてくれるはずです。

価格COMのシグマの板で検索すれば似たような記事がたくさんヒットするはずです。

私も1回お願いしたことあります。ヨドバシ経由でお願いしました。

QF_n=(a+b+c)^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)} の因数分解

F_n=(a+b+c)^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)} 
(n=1,2,3,4,5)
を因数分解せよ、という問題なのですが、どすればよいのでしょうか?

なお、答えは、

F_1=3(b+c)(c+a)(a+b)
F_2=5(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^2+Σab)
F_3=7(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^4+2Σa^3 b+3Σa^2 b^2+5Σa^2 bc)
F_4=3(b+c)(c+a)(a+b)(3Σa^6+9Σa^5 b+19Σa^4 b^2+35Σa^4 bc+23Σa^3 b^3+63Σa^3 b^2 c)
F_5=11(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^8+4Σa^7 b+11Σa^6 b^2+21Σa^6 bc+9Σa^5 b^3+54Σa^5 b^2 c+23Σa^4 b^4+84Σa^4 b^3 c+123Σa^4 b^2 c^2+159Σa^3 b^3 c^2)

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(n=1,2,3,4,5)
を因数分解せよ、という問題なのですが、どすればよいのでしょうか?

なお、答えは、

F_1=3(b+c)(c+a)(a+b)
F_2=5(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^2+Σab)
F_3=7(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^4+2Σa^3 b+3Σa^2 b^2+5Σa^2 bc)
F_4=3(b+c)(c+a)(a+b)(3Σa^6+9Σa^5 b+19Σa^4 b^2+35Σa^4 bc+23Σa^3 b^3+63Σa^3 b^2 c)
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最後までは計算していませんが、次の方法でできそうです。
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(ここで、A+B+C = 2n+1 です。)
展開すると、F_n = (a^2 b + 略 + 2abc)(Σ[ABC] k_ABC a^A b^B c^C) です。
そして、F_n を例えば、a で A+2 回偏微分、a で B+1 回偏微分、
a で C 回偏微分、した後、a,b,c に 0 を代入します。
F_n=(a+b+c)^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)} に対しても同じようにします。
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最初は、訳も分からず、シグマの方が安いので、それで良かろうと言う事で、数本シグマ製のレンズも購入しました。

結果、カメラを最新機種に入れ替えるとAFが作動しなかったり、AFやAEの精度がおかしくなったりと、ROMの交換や精度調整を要しました。
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では
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デジタル一眼をそろそろ購入しようと考えているのですが、現在まで使用しているミノルタαSweetで使用しているレンズが使えるデジタル一眼を探しています。
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Aベストアンサー

ソニーの一眼でもNEXシリーズとαシリーズがあるのは先の回答者のお答え通りです。
その中でαシリーズなら、「ソニー」「コニカミノルタ」「ミノルタ」のAFレンズは互換性があり、それぞれの純正ブランドのレンズなら機構的には問題なく作動するとメーカーが発表しています。
ただ、シグマ等のサードパティ製レンズの場合はレンズ内蔵のROMの問題で、デジタルなどそのレンズの製造時点より後に発売されたカメラボディに対し問題が発生する場合もあるようなので、この場合はシグマに問い合わせた方が良いでしょう。
TEL、メール等での問い合わせが可能なのでHPで確認してみてください。
問い合わせの際にはレンズ名と製造番号があった方が話が早いです。

28-80mmと言うと42-120mm相等となり、広角側が不足しますので、18-55mmなどのデジタル専用の標準ズームを購入されることをお勧めします。

また、光学的にデジタルカメラはレンズの性能に対しシビアに描写に現れますので、この際キットレンズでも良いので、買い替えられる事を併せてお勧めします。

Q数列{a_n}、{b_n}が、a_n=s^n, b_n=r^n(n=1

数列{a_n}、{b_n}が、a_n=s^n, b_n=r^n(n=1,2,3,,) 0<s<r<1 で与えられている時、
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Aベストアンサー

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より、
  a[n]*b[n] = (s*r)^n
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もまた等比数列となる。

等比数列の和の極限は公式により求められるから、
  Σ[n=1~∞]{a[n]*b[n]} = 1/3
より
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が分かり、
同様に
  Σ[n=1~∞]{a[n]/b[n]} = 3
より
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  s*r = 1/2
  s/r = 3/4
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Aベストアンサー

MFカメラに、使われるのですよね!

シグマ以外でもよければ、タムロンのMFレンズが、マウント交換できます

タムロンの写真レンズのURLです
http://www.tamron.co.jp/data/lenses/index.html

参考URL:http://www.tamron.co.jp/data/lenses/index.html

Q{√(1)+√(1+2)+√(1+2+3)+…+√(1+2+…+n)}/n^2 → √2/4

n → ∞のとき、
{√(1)+√(1+2)+√(1+2+3)+…+√(1+2+…+n)}/n^2 → √2/4

また、n → ∞のとき、
{√(1+2+…+n)+√(2+3+…+n)+…+√(n-1+n)+√(n)}/n^2 → π√2/8

らしいのですが、証明がかいてありませんでした。
どうか証明を教えていただけないでしょうか。

Aベストアンサー

#3、#5です。

>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)[Σ[k=1,n]{k/n} - 1/n + (n+1)/n]
>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)Σ[k=1,n]{k/n}

1/nが消えるのはわかるのですが、n/n(=1)が消えるのはなぜでしょう?


>でもそのはさみこむ方法は、後半ではうまくいきにくいし、…

後半もうまくいきましたので、以下に説明します。
n=7の場合のグラフを添付します。
区分求積法により、{√(1+2+…+n)+√(2+3+…+n)+…+√(n-1+n)+√(n)}/n^2 は幅(1/n),高さ{√{(k+1)+(k+2)+…+n}}/nの階段状の図形の面積になります。k=0~n-1です。
下限関数 f(x)=√{(1-x^2)/2}
上限関数 g(x,Δ)=√[{(1+Δ)^2-x^2}/2] (但しΔ=1/n)
階段関数 {√{(k+1)+(k+2)+…+n}}/n=√[{n(n+1)-k(k+1)}/(2n^2)]

(1)x=k/nのところで、階段の高い方より上限関数 g(x,Δ)が大きい事を示します。但しk=1~nです。
x=k/nの階段の高い方は√[{n(n+1)-(k-1)k}/(2n^2)]です。
x=k/nの上限関数 g(x,Δ)=g(k/n,1/n)=√[{(1+(1/n))^2-(k/n)^2}/2]=√[{(n+1)^2-k^2}/(2n^2)]
(上限関数) ≧ (階段関数の高い方) を示すには、ルートと分母の(2n^2)が共通なので、
(n+1)^2-k^2 ≧ n(n+1)-(k-1)k を示せば十分です。
{(n+1)^2-k^2}-{n(n+1)-(k-1)k}=n-k+1≧0 より明らかです。

(2)x=k/nのところで、階段の低い方より下限関数 f(x)が小さい事を示します。但しk=0~nです。
x=k/nの階段の低い方は√[{n(n+1)-k(k+1)}/(2n^2)]です。
x=k/nの下限関数 f(x)=f(k/n)=√[{(1-(k/n)^2}/2]=√[(n^2-k^2)/(2n^2)]
(階段関数の低い方) ≧ (下限関数) を示すには、ルートと分母の(2n^2)が共通なので、
n(n+1)-k(k+1) ≧ n^2-k^2 を示せば十分です。
{n(n+1)-k(k+1)}-(n^2-k^2)=n-k≧0 より明らかです。

以上の事から階段関数は下限関数 f(x)と上限関数 g(x,Δ)の間に入る事がわかりました。
下限関数の面積をF,上限関数の面積をG(n),階段関数の面積をA(n)とすると、
F ≦ A(n) ≦ G(n) となります。
F=∫[0→1]f(x)dx=(1/√2)(単位円の面積÷4)=π(√2)/8
G(n)=∫[0→(1+Δ)]g(x,Δ)dx=(1/√2)(半径(1+Δ)の円の面積÷4)={π(√2)(1+Δ)^2}/8 (但し Δ=1/n)
つまり階段関数の面積はπ(√2)/8以上{π(√2)(1+1/n)^2}/8以下になります。
n→∞で階段関数の面積はπ(√2)/8に収束します。

#3、#5です。

>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)[Σ[k=1,n]{k/n} - 1/n + (n+1)/n]
>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)Σ[k=1,n]{k/n}

1/nが消えるのはわかるのですが、n/n(=1)が消えるのはなぜでしょう?


>でもそのはさみこむ方法は、後半ではうまくいきにくいし、…

後半もうまくいきましたので、以下に説明します。
n=7の場合のグラフを添付します。
区分求積法により、{√(1+2+…+n)+√(2+3+…+n)+…+√(n-1+n)+√(n)}/n^2 は幅(1/n),高さ{√{(k+1)+(k+2)+…+n}}/nの階段状の図形の面積になります。k=0~n-1です。
下限関...続きを読む

Qシグマとタムロンの一眼レンズ/どちらを買うべきか?

いつもお世話になっております。
今月中に、デジタル一眼レフ用の交換レンズとして高倍率ズームレンズの購入を考えております。
その中で、以下に記載するシグマのレンズと、タムロンのレンズの2択まで絞りました。
 ・【シグマ】18-200mm F3.5-6.3 II DC OS HSM キャノン用
    (~6.3 DCではなく、今年10月に発売したばかりの~6.3 II DCの方)
 ・【タムロン】18-270mmF3.5-6.3 Di2 VC PZD キヤノン用 B008E
    (今キャンペーン中のやつ)

ネットで調べていると、『一般的にシグマのレンズはシャープに、タムロンのレンズはやわらかく写せる』との意見が多かった為、検討した結果、私はキレのあるシャープな写真が撮りたかったのでシグマのレンズ購入を考えました。
しかし本日、店頭で専門家のお話を伺うと、『シグマがシャープ・タムロンがやわらかくの定義が色濃く出るのは昔のフィルムの方であって、デジタルとなった今はそこまで気にする必要は無い。もちろんフィルム・デジタル兼用の商品はその特徴があるが、デジタル専用についてはあまり適用される概念ではない』と仰っていました。
となると、どちらを買えば良いのかわからなくなってしまいました。そこで皆様・有識者の方のご意見を頂きたくご質問させて頂きました。皆様でしたら、どちらのレンズをご購入されますでしょうか?
ちなみに、本日の店員さんのオススメはタムロンの方でした。しかし基はシグマの方で考えていた為、一旦持ち帰って検討すると言う事で本日は終了しております。

私の希望等、詳細については以下の通りです。
 ・使用カメラは、キャノン EOS60D
 ・旅行で広角/望遠レンズの付け替えなく、万能型一本として使用したい
 ・やわらかめ・ぼんやりと言うよりは、シャープでくっきりした色合いを好む
 ・両商品に大きさ、重量、そして値段等で開きがあるが、気にしない
 ・タムロンのはキャノン純正やシグマと比べてズームダイヤルの回転方向が逆だが、気にしない
 ・撮影用途は、主に風景(風景以外も撮る。とにかく基本的な希望は万能型である事)
 ・AFや手ぶれ補正など、両商品とも私の望む機能は備えており、その点は問題なしと判断している
 ・ほぼ同スペックのキャノン純正レンズは予算オーバーのため却下した


以上です。
ご回答頂ける方がいましたら、よろしくお願い致します。

いつもお世話になっております。
今月中に、デジタル一眼レフ用の交換レンズとして高倍率ズームレンズの購入を考えております。
その中で、以下に記載するシグマのレンズと、タムロンのレンズの2択まで絞りました。
 ・【シグマ】18-200mm F3.5-6.3 II DC OS HSM キャノン用
    (~6.3 DCではなく、今年10月に発売したばかりの~6.3 II DCの方)
 ・【タムロン】18-270mmF3.5-6.3 Di2 VC PZD キヤノン用 B008E
    (今キャンペーン中のやつ)

ネットで調べていると、『一般的にシグマのレンズはシ...続きを読む

Aベストアンサー

型番は違いますが、シグマ・タムロンの高倍率ズームレンズの使用経験から申し上げます。

はっきり言って、この手のレンズにシャープだの万能型は、過大要求です。
レンズ交換の手間が省ける利便性と引き換えに画質は容認すると言う姿勢でないと使えません。

しいて言えば、シグマの方がシャープではありますが、発色が寒色系で、絵に味がないと言うか無味乾燥。純正レンズとは違和感があります。
シグマは。AF精度でも悩まされます。
キヤノンがAFアルゴリズムを弄ると作動不良を起こします。つまり、ボディーを買い換えたら引き続き使える保障がありません。(ROMは無償交換ですがサポートには限りがあります)

当然ながら、社外品レンズでは、周辺光量補正や、DPP(Digital Photo Professional)のレンズ収差補正(RAWファイル限定)は利きません。

それでも、社外品レンズを使うか否か。それは貴方の自由です。

Qexp{L[1]x+L[2]x^2/2+L[3]x^3/3+…}=F[1]+F[2]x+F[3]x^2+…

フィボナッチ数列F[n]は、
F[1]=1,F[2]=1,F[n+2]=F[n+1]+F[n]
で定義され、リュカ数列L[n]は、
L[1]=1,L[2]=3,L[n+2]=L[n+1]+L[n]
で定義されます。このとき、

exp{L[1]x+L[2]x^2/2+L[3]x^3/3+…}=F[1]+F[2]x+F[3]x^2+…

が成り立つそうなのですが、どうしてなのですか?

右辺は、フィボナッチ数列の母関数と似ていてなんとか求められるのですが、左辺をどうして求めていいかわかりません。

なお、式は
http://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html
の(68)を参照しました。

Aベストアンサー

↓ここに証明がありますね。
http://maths.dur.ac.uk/~dma0rcj/PED/fib.pdf
(2.7 A surprising sum を見てください。)

参考URL:http://maths.dur.ac.uk/~dma0rcj/PED/fib.pdf


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