n^2のシグマ公式についてお聞きしたいのですが、Σn^2=n(n+1)(2n+1) / 6 だとおもうのですが、Σn^2=Σ(n・n)と考えて、nのシグマ公式の2乗と考えて、{n(n+1) / 2}^2 だと公式の結果と違ってくるのはなぜなのでしょうか。

A 回答 (4件)

Σ(n^2)と(Σn)^2は等しいですか?



Σ(n^2)=(1^2)+(2^2)+(3^2)+…
(Σn)^2=(1+2+3+…)^2
ぜんぜん違うと思うのですが…
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この回答へのお礼

>Σ(n^2)と(Σn)^2は等しいですか?
Σ(n^2)=(1^2)+(2^2)+(3^2)+…
(Σn)^2=(1+2+3+…)^2
ぜんぜん違うと思うのですが…

はい、ごもっともです。言われてみると、ああそうか!という感じがします。なるほど、そういうことだったんですね。C_ranさんどうもありがとうございました!

お礼日時:2002/03/05 09:22

まったくの蛇足ですが。

。。
(Σn)^2 = Σn^3 がいえます。
んーっと、これは、たとえば、
{Σ(n+1)}^2 - (Σn)^2 = {Σ(n+1) + Σn} * {Σ(n+1) - Σn}
= {2*Σn + (n+1)} * (n+1)
= {n(n+1) + (n+1)} * (n+1) = (n+1)^3
という式を用いて、数学的帰納法で示せます。

s-wordさんの要求している回答とはまったく違った方向の話なので、回答に対する自信はなしとします。お茶濁しですみません。(^^;)
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この回答へのお礼

kony0さんこんにちは。Σn^3 =(Σn)^2 のおかげで、覚える公式が一つ減るのでうれしいです(^^)。Σn^2 の公式は覚えるのにだいぶ苦労しました。Σn^3 =(Σn)^2 の公式は前に帰納法のセクションでやった覚えがあるので、比較的すっきりと頭に入ってきました。どうもお返事ありがとうございました。

お礼日時:2002/03/05 09:24

 既に回答がある様に,『Σ(n^2) = (Σn)^2』とはなりません。



 具体的に簡単な例を見てみましょう。n = 2 までの和を考えてみると,

 Σ(n^2) = 1・1 + 2・2
 (Σn)^2 = (1 + 2)・(1 + 2) = 1・1 + 2・2 + 1・2 + 2・1

 いかがですか,(Σn)^2 には Σ(n^2) の項以外に 1・2 や 2・1 の項が出てきます。これはどんなnに対してもそうなります。したがって,Σ(n^2) ≠ (Σn)^2 です。
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この回答へのお礼

>Σ(n^2) = 1・1 + 2・2
 (Σn)^2 = (1 + 2)・(1 + 2) = 1・1 + 2・2 + 1・2 + 2・1

rei00さんこんにちは。具体的に値を代入してみると、両者の式の違いが鮮明になりますね。とてもわかりやすかったです。これからこういうところで間違えないように特に気をつけをようと思います。

お礼日時:2002/03/05 09:23

Σn^2=Σ(n・n)


これに対して
Σn^2=Σ(n・n)=(Σn)・(Σn)
とできれば、あなたのおっしゃる通りになりますが、
上の式は成立しません。

積ではなく、和ならば
Σ2n=Σ(n+n)=(Σn)+(Σn)
となるのですが。
 
残念ですね。
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この回答へのお礼

>Σn^2=Σ(n・n)=(Σn)・(Σn)
とできれば、あなたのおっしゃる通りになりますが、
上の式は成立しません。

uyama33さんこんにちは。お返事どうもありがとうございます。Σ2n=Σ(n+n)=(Σn)+(Σn) の計算のように分割できるんじゃないかと思ったのですが、できないんですね。残念です。どうもありがとうございました。

お礼日時:2002/03/05 09:23

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(n=1,2,3,4,5)
を因数分解せよ、という問題なのですが、どすればよいのでしょうか?

なお、答えは、

F_1=3(b+c)(c+a)(a+b)
F_2=5(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^2+Σab)
F_3=7(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^4+2Σa^3 b+3Σa^2 b^2+5Σa^2 bc)
F_4=3(b+c)(c+a)(a+b)(3Σa^6+9Σa^5 b+19Σa^4 b^2+35Σa^4 bc+23Σa^3 b^3+63Σa^3 b^2 c)
F_5=11(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^8+4Σa^7 b+11Σa^6 b^2+21Σa^6 bc+9Σa^5 b^3+54Σa^5 b^2 c+23Σa^4 b^4+84Σa^4 b^3 c+123Σa^4 b^2 c^2+159Σa^3 b^3 c^2)

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Aベストアンサー

最後までは計算していませんが、次の方法でできそうです。
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(ここで、A+B+C = 2n+1 です。)
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Aベストアンサー

では
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  a[n]/b[n] = (s/r)^n
もまた等比数列となる。

等比数列の和の極限は公式により求められるから、
  Σ[n=1~∞]{a[n]*b[n]} = 1/3
より
  s*r = 1/2
が分かり、
同様に
  Σ[n=1~∞]{a[n]/b[n]} = 3
より
  s/r = 3/4
が分かる。

二つの未知数s,rに対して、二式
  s*r = 1/2
  s/r = 3/4
が得られたから、あとはs<rという条件を加え、連立方程式を解くことでs,rの値が求まる。

Q{√(1)+√(1+2)+√(1+2+3)+…+√(1+2+…+n)}/n^2 → √2/4

n → ∞のとき、
{√(1)+√(1+2)+√(1+2+3)+…+√(1+2+…+n)}/n^2 → √2/4

また、n → ∞のとき、
{√(1+2+…+n)+√(2+3+…+n)+…+√(n-1+n)+√(n)}/n^2 → π√2/8

らしいのですが、証明がかいてありませんでした。
どうか証明を教えていただけないでしょうか。

Aベストアンサー

#3、#5です。

>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)[Σ[k=1,n]{k/n} - 1/n + (n+1)/n]
>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)Σ[k=1,n]{k/n}

1/nが消えるのはわかるのですが、n/n(=1)が消えるのはなぜでしょう?


>でもそのはさみこむ方法は、後半ではうまくいきにくいし、…

後半もうまくいきましたので、以下に説明します。
n=7の場合のグラフを添付します。
区分求積法により、{√(1+2+…+n)+√(2+3+…+n)+…+√(n-1+n)+√(n)}/n^2 は幅(1/n),高さ{√{(k+1)+(k+2)+…+n}}/nの階段状の図形の面積になります。k=0~n-1です。
下限関数 f(x)=√{(1-x^2)/2}
上限関数 g(x,Δ)=√[{(1+Δ)^2-x^2}/2] (但しΔ=1/n)
階段関数 {√{(k+1)+(k+2)+…+n}}/n=√[{n(n+1)-k(k+1)}/(2n^2)]

(1)x=k/nのところで、階段の高い方より上限関数 g(x,Δ)が大きい事を示します。但しk=1~nです。
x=k/nの階段の高い方は√[{n(n+1)-(k-1)k}/(2n^2)]です。
x=k/nの上限関数 g(x,Δ)=g(k/n,1/n)=√[{(1+(1/n))^2-(k/n)^2}/2]=√[{(n+1)^2-k^2}/(2n^2)]
(上限関数) ≧ (階段関数の高い方) を示すには、ルートと分母の(2n^2)が共通なので、
(n+1)^2-k^2 ≧ n(n+1)-(k-1)k を示せば十分です。
{(n+1)^2-k^2}-{n(n+1)-(k-1)k}=n-k+1≧0 より明らかです。

(2)x=k/nのところで、階段の低い方より下限関数 f(x)が小さい事を示します。但しk=0~nです。
x=k/nの階段の低い方は√[{n(n+1)-k(k+1)}/(2n^2)]です。
x=k/nの下限関数 f(x)=f(k/n)=√[{(1-(k/n)^2}/2]=√[(n^2-k^2)/(2n^2)]
(階段関数の低い方) ≧ (下限関数) を示すには、ルートと分母の(2n^2)が共通なので、
n(n+1)-k(k+1) ≧ n^2-k^2 を示せば十分です。
{n(n+1)-k(k+1)}-(n^2-k^2)=n-k≧0 より明らかです。

以上の事から階段関数は下限関数 f(x)と上限関数 g(x,Δ)の間に入る事がわかりました。
下限関数の面積をF,上限関数の面積をG(n),階段関数の面積をA(n)とすると、
F ≦ A(n) ≦ G(n) となります。
F=∫[0→1]f(x)dx=(1/√2)(単位円の面積÷4)=π(√2)/8
G(n)=∫[0→(1+Δ)]g(x,Δ)dx=(1/√2)(半径(1+Δ)の円の面積÷4)={π(√2)(1+Δ)^2}/8 (但し Δ=1/n)
つまり階段関数の面積はπ(√2)/8以上{π(√2)(1+1/n)^2}/8以下になります。
n→∞で階段関数の面積はπ(√2)/8に収束します。

#3、#5です。

>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)[Σ[k=1,n]{k/n} - 1/n + (n+1)/n]
>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)Σ[k=1,n]{k/n}

1/nが消えるのはわかるのですが、n/n(=1)が消えるのはなぜでしょう?


>でもそのはさみこむ方法は、後半ではうまくいきにくいし、…

後半もうまくいきましたので、以下に説明します。
n=7の場合のグラフを添付します。
区分求積法により、{√(1+2+…+n)+√(2+3+…+n)+…+√(n-1+n)+√(n)}/n^2 は幅(1/n),高さ{√{(k+1)+(k+2)+…+n}}/nの階段状の図形の面積になります。k=0~n-1です。
下限関...続きを読む

Qexp{L[1]x+L[2]x^2/2+L[3]x^3/3+…}=F[1]+F[2]x+F[3]x^2+…

フィボナッチ数列F[n]は、
F[1]=1,F[2]=1,F[n+2]=F[n+1]+F[n]
で定義され、リュカ数列L[n]は、
L[1]=1,L[2]=3,L[n+2]=L[n+1]+L[n]
で定義されます。このとき、

exp{L[1]x+L[2]x^2/2+L[3]x^3/3+…}=F[1]+F[2]x+F[3]x^2+…

が成り立つそうなのですが、どうしてなのですか?

右辺は、フィボナッチ数列の母関数と似ていてなんとか求められるのですが、左辺をどうして求めていいかわかりません。

なお、式は
http://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html
の(68)を参照しました。

Aベストアンサー

↓ここに証明がありますね。
http://maths.dur.ac.uk/~dma0rcj/PED/fib.pdf
(2.7 A surprising sum を見てください。)

参考URL:http://maths.dur.ac.uk/~dma0rcj/PED/fib.pdf


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