「kが正整数で2^k - 1が素数であるとする。a=2^k-1(2^k - 1)のすべての約数(1とaを含む)をa[1]a[2]・・・・・a[n]とするとき、Σ(from i to n)1/a[i] を求めよ。」

という問題なのですが、2^k - 1が素数だから、kは任意の正の整数ではないですよね。例えばk=4のときは、2^k - 1=15となってしまって素数ではなくなりますよね。そう考えていくと、問題自体が成立しないように思えてくるのですが、どう考えればよいのでしょうか。よろしくお願いします。

A 回答 (3件)

2^k-1が素数になるような正の整数kについて次の値を求めよという意味です。

また、このkはΣの記号の中でよく用いるkとは異なります。
この問題では、Σの記号ではiを用いiは1からnまでの自然数列です。
具体的に考えるとk=5のとき約数は、1,2,...,16,31,31*2,...,31*16となり
逆数の和を考えるとき31を含まない数と含む数に分けて計算
(1+1/2+...+1/16)(1+1/31)=2(31/32)(32/31)=2
一般の時にも同様に計算すればできます。
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この回答へのお礼

>具体的に考えるとk=5のとき約数は、1,2,...,16,31,31*2,...,31*16となり
逆数の和を考えるとき31を含まない数と含む数に分けて計算
(1+1/2+...+1/16)(1+1/31)=2(31/32)(32/31)=2
一般の時にも同様に計算すればできます。

tiezo-さんお返事どうもありがとうございます。具体例で示していただいたおかげで自分のどこが間違っているのかはっきりと理解できました。そういうことだったんですね。仰るとおり、Σの記号iと、問題文中で出てくるkを混同いたしまして、パニックに陥っていました。kはあくまでもkのままで計算すれば良かったんですね。お返事どうもありがとうございました。

お礼日時:2002/03/07 06:57

>上の式から見ると、初項1,公比1/2の等比数列の和の公式を使っていますよね。

でもk=4の時やk=8の時は2^k - 1が素数にならないので不適だということを考えあわせれば、kは自然数列ではないので、等比数列の和の公式は使えないと思うのですが。どうかんがえればよいのでしょうか。よろしくお願いします。

式の変形で数列の和の公式を使っているだけです。数列の和の公式自体は、任意の自然数について成立します。
「k=4の時やk=8の時は2^k - 1が素数にならないので不適」というのは、和の公式の変形には無関係です。
例えば、1 + 1/2 +・・・+1/(2^(k-1)) の部分は初項1、公比1/2の等比数列の第k-1項までの和です。それを和の公式に当てはめて変形しているだけです。
つまり、公式による変形自体はkの値は考えなくていいんです。
約数の和を求めるときには、kの値は一つの値に決まっている(変化しない)と考えると理解しやすいでしょうか。

(ちゃんと説明できているのかな。ちょっと不安ですが)
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この回答へのお礼

>つまり、公式による変形自体はkの値は考えなくていいんです。約数の和を求めるときには、kの値は一つの値に決まっている(変化しない)と考えると理解しやすいでしょうか。

hinebotさんお返事どうもありがとうございます。なるほど、公式による変形自体はkの値は考えなくて良かったんですね。シグマの記号を取り間違えていて、iの自然数列なのに、kの自然数列だと勘違いしておりました。初めは混乱しましたが、おかげさまでもう大丈夫です。良かった。相もありがとうございました!

お礼日時:2002/03/07 07:03

まず確認ですが、a=2^k-1(2^k - 1)の部分は、


a=2^(k-1)(2^k - 1)つまり2の(k-1)乗かける(2のk乗-1)でいいのでしょうか?
また、Σ(from i to n)1/a[i] の部分は、1/a[1]+1/a[2]+・・・1/a[n]でしょうか?

もしそうなら、これは完全数の問題ですね。
k=2の時、a=6 k=3の時、a=28で、
それぞれ6=1+2+3、28=1+2+4+7+14のように、
約数の総和が自分自身になるのです。
そのようになる整数を完全数といいます。

>問題自体が成立しないように思えてくるのですが、

これは、2^k - 1が素数になるような正の整数kを考えてくださいという意味で、
おっしゃるようにk=4の時やk=8の時などは2^k - 1が素数にならないので、
考えなくていいということです。

そしてこの問題の解法は下記の参考URLの最後のあたりに出ています。
答えは2。

参考URL:http://www2.ocn.ne.jp/~mizuryu/jyugyo/sosuu2.html

この回答への補足

>まず確認ですが、a=2^k-1(2^k - 1)の部分は、a=2^(k-1)(2^k - 1)つまり2の(k-1)乗かける(2のk乗-1)でいいのでしょうか? また、Σ(from i to n)1/a[i] の部分は、1/a[1]+1/a[2]+・・・1/a[n]でしょうか?

はい、その通りです。すいません、ちょっとわかりにくかったですね。

>これは、2^k - 1が素数になるような正の整数kを考えてくださいという意味で、おっしゃるようにk=4の時やk=8の時などは2^k - 1が素数にならないので、考えなくていいということです。

ご紹介してくださった、ページに言ってみたのですが、文字化けしていてよく見えないので、いちおう私の本に載っている解答を書いておきます。

「2^k-1が素数だから、aの約数は、1,2,2^2,・・・・,2^(k-1) , 2^k - 1 , 2(2^k - 1)・・・・,2^(k-1)(2^k - 1)
Σ(from i to n)1/a[i] = {(1 + 1/2 +・・・+1/(2^(k-1))}{1 + 1/(2^k - 1)}
= {1 - (1/2)^k}/{1 - 1/2} × 2^k/(2^k - 1)
={2(2^k - 1)}/{2^k - 1}
=2

となっているのですが、上の式から見ると、初項1,公比1/2の等比数列の和の公式を使っていますよね。でもk=4の時やk=8の時は2^k - 1が素数にならないので不適だということを考えあわせれば、kは自然数列ではないので、等比数列の和の公式は使えないと思うのですが。どうかんがえればよいのでしょうか。よろしくお願いします。

補足日時:2002/03/05 23:21
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C言語で、「自然数nを入力し、nの約数をすべて求めて出力後、その個数と合計を出力をする。尚、nとして0(ゼロ)以下が入力されるまで、何度も繰り返す」という問題をやっています。
出力例は、(3を入力したとして)
「3の約数は 1  3
約数の個数は2個
約数の和は4」というものです。

そこで、コーディングをしたのですが、先生が開発したコンパイラで運用したところ、フリーズが起きて強制終了してしまいました。先生は、「そんなことはない。フリーズが起きるときはそのプログラムにバグがあるときだ」と言ってました。

そこでコーディングしたプログラムは以下の通りです。

#include <stdio.h>
main()
{int i,j,n,cnt,sum;
printf("自然数=");scanf("%d",&n);
while(n>=0){
printf("%dの約数は",n);
for(i=1;i<=n;i++){
if(n/i>=0){
j=n/i;
printf(" %d",j);
sum=sum+j;
cnt++;
j=0;}
}
printf("\n");
printf("約数の個数は%d個",cnt);
printf("約数の和は%d",sum);
}}

どこかに間違いがありますか?
IF文の中でいちいちめんどくさいことをしていますが、気にしないでください。

C言語で、「自然数nを入力し、nの約数をすべて求めて出力後、その個数と合計を出力をする。尚、nとして0(ゼロ)以下が入力されるまで、何度も繰り返す」という問題をやっています。
出力例は、(3を入力したとして)
「3の約数は 1  3
約数の個数は2個
約数の和は4」というものです。

そこで、コーディングをしたのですが、先生が開発したコンパイラで運用したところ、フリーズが起きて強制終了してしまいました。先生は、「そんなことはない。フリーズが起きるときはそのプログラムにバグがあるときだ」...続きを読む

Aベストアンサー

少なくともif(n/i>=0)のところはif(n%i==0)の間違いでないかと思います.
しかしそう考えるとjに関する処理は不要なはず.
jに関する処理は約数を逆順にしているだけということになり,質問の
意味と矛盾しますね.
あとj=0;は無駄な処理のように見えます.

QR^n∋A_1,A_2,…はΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たす.∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kはLebesgue外測度0?

よろしくお願い致します。

A_1,A_2,…をΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たすR^nの部分集合とせよ。
(ア) ∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kがLebesgue外測度0を持つ事を示せ。
(イ) これはLebesgue測度0を持つか? 持つなら理由を述べよ。

という問題です。

(ア)について
Lebesgue外測度の定義からλ^*(A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}…(1)
(但しI_iはn次元区間塊[a_1,b_1]×[a_2,b_2]×…×[a_n,b_n])と書け,
題意よりΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞なのでλ^*(A_k)<∞と分かる。
それでλ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}
から先に進めません。
λ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=Σ[n=1..∞]λ(∪[k=n..∞]A_k)なんて変形もできませんよね。
どのすれば=0にたどり着けますでしょうか?

(イ)について
答えは多分Yesだと思います。
Lebesgue可測集合はL:={E∈R^n;E⊂Uでinf{λ^*(U\E);Uは開集合}=0}の元の事ですよね。
なのでLebesgue測度は制限写像λ^*|L:=μと書けますよね。
それで∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k∈Lを示せば(ア)からLebesgue測度0が言えると思います。
今,(ア)より
inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}=0
と分かったので
0=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}
=inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
(但しBd(I_i)は境界点)
=inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|+|Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
(∵||の定義)
からinf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)}
となればI_i\Bd(I_i)は開集合になので
inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)}=0が言え,
∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k∈Lも言え,
μ(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=λ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=0(∵(ア))
となりおしまいなのですが

inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|+|Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
から
inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)}
となる事がどうしても言えません。どうすれば言えますでしょうか?

よろしくお願い致します。

A_1,A_2,…をΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たすR^nの部分集合とせよ。
(ア) ∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kがLebesgue外測度0を持つ事を示せ。
(イ) これはLebesgue測度0を持つか? 持つなら理由を述べよ。

という問題です。

(ア)について
Lebesgue外測度の定義からλ^*(A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}…(1)
(但しI_iはn次元区間塊[a_1,b_1]×[a_2,b_2]×…×[a_n,b_n])と書け,
題意よりΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞なのでλ^*(A_k)<∞と分かる。
それでλ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=inf{Σ[i=...続きを読む

Aベストアンサー

数列の部分和の定義と∩∪の定義からすぐだと思いますよ。
面倒なので外測度を単にλで表します。
仮定はΣλ(A_k)<∞です。これは級数の収束の定義から部分和
S_N=Σ[k=1,..,N] λ(A_k)
がコーシー列、よって
任意のε>0に対してNが存在し、n≧Nならば
Σ[k=n,...,∞] λ(A_k)<ε
ということを言っているわけです。
問題は、∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] A_kの外測度を求めることですが上の事実を利用できることが分かると思います。上で示したNをとってきます。このとき
λ(∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] A_k)≦Σ[k=N,..,∞] λ(A_k)<ε
となるのはほとんど明らかですね。任意のεに対してもっと大きい番号N'をとっても問題の集合はN'から先の和集合に含まれるわけですからこれは結局λ(∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] A_k)=0でなければならないことを示しています。

Q高校数学I、約数の個数についてです

お世話になります
M=2^a×3^b
N=2^c×3^d
Mの約数の個数が80、Nの約数の個数が72
M、Nの約数の個数が45です
a>=c
の条件の中で
a , b , c , d をもとんめる問題です
よろしくお願いします

Aベストアンサー

Mの約数は
2^x×3^y (x,yは整数で0≦x≦a,0≦y≦b)
とあらわせます。
xは0,1,...,aのa+1通り、yは0,1,...,bのb+1通りありますのでその組み合わせは
(a+1)(b+1)通り
あります。

同様にNの約数の個数は
(c+1)(d+1)通り
あります。

M.Nの両方の約数(公約数)は全てM.Nの最大公約数の約数になります。
二つの数x,yのうち、大きくないほうの数をmin(x,y)とするとN,Mの最大公約数は
2~min(a,c)×3^min(b,d)
となります。a≧cであることからmin(a,c)=c、上記と同様に最大公約数の約数の個数は
(c+1)(min(b,d)+1)通り
となります。

題意より
(a+1)(b+1)=80
(c+1)(d+1)=72
(c+1)(min(b,d)+1)=45
となります。
c+1は72と45の公約数ですので考えられる数としては
1,3,9
しかありえません。
また、min(b,d)=dとすると2番目の式と3番目の式で矛盾が生じますのでmin(b,d)=b
よって
(c+1)(b+1)=45
となります。
上と同様な議論でb+1は
1.5
しかありえません。

c+1=1or3or9,b+1=1or5
となりますが、このうち掛け合わせて45になるものは一組だけです。

以下略。

Mの約数は
2^x×3^y (x,yは整数で0≦x≦a,0≦y≦b)
とあらわせます。
xは0,1,...,aのa+1通り、yは0,1,...,bのb+1通りありますのでその組み合わせは
(a+1)(b+1)通り
あります。

同様にNの約数の個数は
(c+1)(d+1)通り
あります。

M.Nの両方の約数(公約数)は全てM.Nの最大公約数の約数になります。
二つの数x,yのうち、大きくないほうの数をmin(x,y)とするとN,Mの最大公約数は
2~min(a,c)×3^min(b,d)
となります。a≧cであることからmin(a,c)=c、上記と同様に最大公約数の約数の個数は
(c+1)(min(b,d)+1)通り
となりま...続きを読む

Q(再投稿)R^n∋A_1,A_2,…はΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たす.∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kはLebesgue外測度0?

すいません。
http://okwave.jp/qa4327195.html
について再投稿です。


A:=∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kと置いて
今,AがLegesgue可測集合である事を示したい訳ですよね。
Lebesgue可測集合とはλをLebesgue外測度とする時,
{E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。
そこで疑問なのですがλはn次元区間塊全体に対して定義された写像ですよね。なのでλ(S∩E)とλ(S∩E^c)はそれぞれλ(E)+λ(E^c)で(∵E⊂∀S⊂R^n),一応は定義されているのですがλ(S)はSの採りようによってはλ(S)自体が定義されないという状況に陥ってしまいます(∵必ずしもSはn次元区間塊とは限らない)。
するとλ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)という不等式は意味を成さなくなります。
従って,AがLebesgue可測集合である事が示せなくなってしまいます。
Lebesgue可測集合の定義を勘違いしてますでしょうか?

すいません。
http://okwave.jp/qa4327195.html
について再投稿です。


A:=∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kと置いて
今,AがLegesgue可測集合である事を示したい訳ですよね。
Lebesgue可測集合とはλをLebesgue外測度とする時,
{E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。
そこで疑問なのですがλはn次元区間塊全体に対して定義された写像ですよね。なのでλ(S∩E)とλ(S∩E^c)はそれぞれλ(E)+λ(E^c)で(∵E⊂∀S⊂R^n),一応は定義されているのですがλ(S)はSの採りようによってはλ(S)自体が定義され...続きを読む

Aベストアンサー

とりあえず教科書を読む.
定義が分かってなければ何もできない.

>Lebesgue可測集合とはλをLebesgue外測度とする時,
>{E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。

こんなこと本当に書いてある?なんか読み落としているとか
説明の途中の何かだとか,勝手に創作してるとか?

>Lebesgue可測集合の定義を勘違いしてますでしょうか?
してる.
だって,それだったら「円」ですらルベーク可測じゃなくなる.

Q約数の個数

私が今使っている参考書の数Aのテーマの一つで「約数の個数」というものがあり、解説として

 自然数Nの素因数分解が
  N=p^a*q^b*r^c(←pのa乗×qのb乗×rのc乗)
であれば、Nの正の約数の個数は
   (a+1)(b+1)(c+1)個である

この公式の補足説明の中に、
 ここでは、正の約数の個数だから上の数となったが、「Nの約数となる整数」というときには、負の約数も考える必要があるから、さらに上の数の2倍で、2(a+1)(b+1)(c+1)である

という解説がでていました。
 負の約数 という概念がわかりません。どういうもなのでしょうか。よろしくお願いします。

なお、この参考書は、受験用の公式集です。

Aベストアンサー

約数といった場合にはその文脈で
判断しなければいけないことがままあります.

>中学の参考書で調べてみると
> 約数とは、「ある整数aを割り切れることができる数bをaの約数という。」

これは正しいのですよ.別に「正の数」「自然数」だけに
限定してません.「整数」って書いてますよね.
この定義なら,例えば整数 10 の約数として,-2 は許容されます.
ただし「割り切れることができる数bを」というのが曖昧なので
そこは「割り切れることができる整数bを」とすべきでしょう.

>約数の個数は(a+1)(b+1)(c+1)個であるという表示になっており

これは曖昧でまずいです.「約数の個数」ではなく,
「正の約数の個数」なんです.
ただし,中学校の最初の段階でそこまでいうのは酷なのと
学習順序の問題で・・・正の数・負の数の前に
約数・倍数があることがあります.
この場合,そもそも負の数への言及がその時点でできないのです.
#丁寧な本ではきちんと注釈があるものです.
#あなたが見ている「公式集」でも「補足」されてますよね

約数・倍数に負の数も入れるかどうかですが・・・
例えば,
(x-5)(y-6)=3を満たす自然数x,yをすべて求めよ
とかいわれたらどうしますか?
x-5,y-6は3の約数なので
(x-5,y-6)=(1,3),(-1,-3),(3,1),(-3,-1)
これを整理して
(x,y)=(6,9),(4,3),(8,7),(2,5)
となるので3の約数として負のものを考えないといけないわけです.

つまり・・・文脈を考慮する必要があります.

きちんと作成された問題であるならば,
このような誤解がないようにきちんと工夫されています.
単純に「約数の個数を求めよ」ではなく,
何らかの形で「自然数」だけに議論が限定されていたりします.
そういうのを読み取るのも出題者が要求している事項です.

数学としては負の約数の排除なんかはしてません.
条件によって考えないケースがあるだけです.
約数の個数については式が汚くなるので
自然数だけの限定してしまうことが多いんです.
「約数の総和」だと負の数をいれると意味がなくなる(常に0)ので
負の数は入れませんね.


ちなみに・・・
>数学としては、(1)としてあるようで、NET検索しても、(2)は出てこないように、思います。

ネットで検索できるか否はともかく,そんなことはないです.
素因数分解,一般には
素元分解とか素因子分解とかいいますが,
これの一意性には留保条件「単元を除いて」があります.
単元というのは
「考えている範囲で逆数の存在するもの」ということで
整数で考える場合は,
1(逆数1),-1(逆数-1)が単元になります.
この単元が掛かっているか否かは最初から同じものとみなして
議論しているだけなのです.
なお,細かい議論をするときにはきちんと,例えば
X=uabcdと分解する.ただしuは単元とする
というように記述しますよ.

約数といった場合にはその文脈で
判断しなければいけないことがままあります.

>中学の参考書で調べてみると
> 約数とは、「ある整数aを割り切れることができる数bをaの約数という。」

これは正しいのですよ.別に「正の数」「自然数」だけに
限定してません.「整数」って書いてますよね.
この定義なら,例えば整数 10 の約数として,-2 は許容されます.
ただし「割り切れることができる数bを」というのが曖昧なので
そこは「割り切れることができる整数bを」とすべきでしょう.

>約数の...続きを読む

Q数列a[n+1]=a[n]/(1+a[n])^2,a[1]=1/2

数列a[n+1]=a[n]/(1+a[n])^2,a[1]=1/2
のとき、
lim[n->∞](a[1]+・・・・+a[n])/n の値を求めよ。
(小問で、1/a[n]>2nは解決済み。)

はさみうちをするのだとは思うのであるが、その前のひと工夫がわからない。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>はさみうちをするのだとは思うのであるが、その前のひと工夫がわからない。

ひと工夫ってこんなこと?小問の利用?

0<(1/n)Σ[k=1,n]a[n]/n<(1/n)Σ(1/2k)=(1/2n)(∫[1,n]dx/x+1)
これで、n→∞ とすればよい。

Q5400の正の約数の個数15と、それらの約数の総和の問題

5400の個数を求める問題で
5400=2^3×3^3×5^2であるから、
約数の個数=(3+1)(3+1)(2+1)=48

また、約数の総和は
約数の総和=(2^0+2^1+2^2+2^3)(3^0+3^1+3^2+3^3)(5^0+5^1+5^2)
=15×40×31=18600

と解答されているのですが、約数の個数の求め方とその約数の総和がどうしてこのような式になるのかが分かりません。
出来るだけ、わかりやすく説明できる方いますか?ポイントが分かる人もお願いします。

Aベストアンサー

素因数分解をしたあとから説明します。

では樹形図を考えて見ましょう。

2、3、5の部分の3つのパーツに分かれます。

約数は、
2^0と3^0と5^0→約数1
        5^1→約数5
       5^2→約数25

3^1と5^0→約数3
        5^1→約数15
       5^2→約数75
・・・

2、3、5は素数なので、どの掛け算も同じ値にはなりません。

つまり掛け算の組を考えると全部で
   
(3+1)(3+1)(2+1)=48となります。

2の部分の数×3の部分の数×5の部分の数になってますね。


約数の総和は
 2^0×3^0×5^0
+2^0×3^0×5^1
+2^0×3^0×5^2
・・・・
=2^0×()+2^1()+2^2()+2^3()

( )の中身は同じものがきます。確かめてください。

よって

=(2^0+2^1+2^2+2^3)( )となります。

同じように( )の中を3でくくりまとめると、

総和は(2^0+2^1+2^2+2^3)(3^0+3^1+3^2+3^3)(5^0+5^1+5^2)
=15×40×31=18600

となるはずです。確かめてみてください。
感動できる式ですよ~。
公式と思って使うのも可能です

素因数分解をしたあとから説明します。

では樹形図を考えて見ましょう。

2、3、5の部分の3つのパーツに分かれます。

約数は、
2^0と3^0と5^0→約数1
        5^1→約数5
       5^2→約数25

3^1と5^0→約数3
        5^1→約数15
       5^2→約数75
・・・

2、3、5は素数なので、どの掛け算も同じ値にはなりません。

つまり掛け算の組を考えると全部で
   
(3+1)(3+1)(2+1)=48となります。

2の部分の数×3の...続きを読む

Q素因数分解と約数の個数

こんばんわ。早速ですが、質問に移らさせていただきます。

例えば、36=2の2乗×3の2乗、と素因数分解できます。このように、素数の積にする事により 約数の個数が解ります。この場合、
(指数+1)×(指数+1)が、約数の個数になります。

このような公式を学んだところなのですが、具体的な整数でいろいろと試してみましたが、なぜ、そのような公式になるのかが、検討もつきません。何か、手がかりがあれば、よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

これは組み合わせの問題にも関わってきます。
2を0乗する、2を1乗する…、また
3を0乗する、3を1乗する…、ということで、掛け算の式が
9つできますよね。
2^0×3^0=1
2^1×3^0=2
2^2×3^0=4
2^0×3^1=3
2^1×3^1=6
2^2×3^1=12
2^0×3^2=9
2^1×3^2=18
2^2×3^2=36
このように(指数+1)×(指数+1)が何通りの数ができるかということが、
約数の数になるわけです。

分かりにくい文章でごめんなさい

QΣ[n=1..∞]a_n (a_n>0)は収束する。Σ[n=1..∞]a_n/n^pが収束するようにpの全ての値を求めよ

[問]Σ[n=1..∞]a_n (a_n>0)は収束する。Σ[n=1..∞]a_n/n^pが収束するようにpの全ての値を求めよ。
[解]
(i) p>0の時,
1/1^p≧1/2^p≧…≧0且つlim[n→∞]1/n^p=0
よって定理「Σ[n=1..∞]a_n∈Rで{b_k}は単調且つlim[n→∞]b_n=0⇒Σ[n=1..∞]a_kb_kも収束」より
Σ[n=1..∞]a_n/n^p∈R
(ii) p=1の時
Σ[n=1..∞]a_n/n^p=Σ[n=1..∞]a_nで収束(∵仮定)
(iii) p<0の時
が分かりません。
どのようにして判定すればいいのでしょうか?

Aベストアンサー

簡単な判定方法はありません。
Σ[n=1..∞]a_n/n^p
のタイプの級数をディリクレ級数といいます。冪級数の収束半径のようなものがあり、pの実部がσより大きいと収束し、pの実部がσより小さいと発散するような実数σが存在します。pの実部がσのときは収束することもあれば発散することもあります。
この問題の場合σが負または0であること以上のことはわかりません。a_nによってσは異ります。


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