∫[|z|=3] dz/(z^2 -3z+2)
∫[|z|=2] z/(z+1)(z^2 +1)
という2つの問題を留数定理を使って自分なりにチャレンジしてみたのですが、よく理解できないところがあるので質問させていただきます。
まず特異点(?)を求めるのに2問とも分母=0としました。
そして留数を出すのにlim(z→a) f(z)(z-a) としました。
最後に留数定理で2πiをかけて、それぞれ答えが0、πiとなりました。
参考書の見よう見まねでやったので、ほとんどチンプンカンプンな状態なんですが答えとしては合っていますでしょうか。
また、留数を求める際に「○位の極」っていうのを意識しないといけないようなのですが、ここではどうなのでしょうか。
最後に、問題に「反時計回り一周の積分である」とありますが、特に意識しないといけませんか?
よろしくお願いします。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
No.1です。
最初の問題の分母は(z^2 -3z+2)ですからこれを因数分解して(z-2)(z-1)
(z-2)と(z-1)はどちらも2乗や3乗されていないく1乗されています。だからz=2とz=1どちらとも1位の極ですね。
たとえば(z-2)(z-1)^2となっていればz=2は1位の極z=1は2位の極です。
この場合はz=1の留点を求める場合1回微分する必要があります。
次の問題の分母は(z+1)(z^2 +1)ですから因数分解して(z+1)(z+i)(z-i)
これはどうでしょうか?
(z+1)と(z+i)と(z-i)はすべて1乗されています。だからz=-1,z=i,z=-iはすべて1位の極ですね。
たとえば(z+1)(z+i)^2(z-i)となっていればz=-1は1位の極、z=-iは2位の極、z=iは1位の極です。
z=-iの留点を求める場合1回微分する必要があります。
No.1
- 回答日時:
∫[|z|=2] z/(z+1)(z^2 +1)という問題は
∫[|z|=2] zdz/(z+1)(z^2 +1)ですよね?
僕が計算する限りでは0とπiで合っているかと思います。
「○位の極」っていうのは留点がいくつ重なっているかというようなイメージでいいんじゃないでしょうか?
たとえば
(z+1)は 1位の極
(z+1)^2 は 2位の極
(z+1)^3 は 3位の極
です。
2位の極以上の場合は計算方法が若干違います。
lim(z→a) f(z)(z-a)は1位の極のときは使えますが2位の極のときは
f(z)(z-a)^2を1回微分してlim(z→a)としなければなりません。
同じように3位の極は2回微分、4位の極は3回微分しなければなりません。
このへんは参考書で確認してみてください。
今回は全部1位の極なので特に問題はないと思います。
「反時計回り一周の積分である」というのは特に意識しないでいいと思います。あと留点を求めるときは[|z|=3]や[|z|=2]などの範囲内にあるものだけを計算するように注意しましょう!
回答ありがとうございます!
そうですか、答えはこれでよかったんですね。
>「○位の極」っていうのは留点がいくつ重なっているかというようなイメージでいいんじゃないでしょうか?
ということですが、この2問の場合どのようにして一位と判断したらよいのでしょうか。
時間に余裕があれば回答お願いしますm(__)m
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