ガロア拡大体の要素

「ガロア体を拡大する際に、生成多項式を決める」と
あります。
ガロア拡大体の要素とは、その生成多項式で割ったときに、余りとなりうるもの全てのことでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： ojisan7 回答日時： 2006/07/27 22:57

丁寧に言えば、ｐを素数としたとき、ガロア体GF(p)の拡大体GF(p^n)の要素は、GF(p)を係数とする多項式を、その生成多項式で割ったときに、余りとなりうるもの全てのことです。

ふつう、拡大の次数ｎが決まれば、生成多項式が違っても、ガロア拡大体は同型の意味で一意に決定します。しかし、情報数学では、生成多項式が違えば、別の拡大体として区別します。「ガロア体を拡大する際に、生成多項式を決める」ということは、このことを言っているのだと思います。

たとえば、GF(2)の拡大体GF(2^3)の生成多項式（原始既約多項式）はx^3+x+1とx^3+x^2+1が考えられます。この２つの生成多項式からつくられる拡大体は同型ですが、情報数学では別の拡大体として区別するということです。この理由は、情報数学では多項式をビット表現するためだと思います。（例えば、多項式x^3+x+1は1011と表現します。）

この回答へのお礼

丁寧にありがとうございました。
さらに、少し勉強したいと思います。

お礼日時：2006/07/29 01:16

No.4 回答者： guuman 回答日時： 2006/07/29 09:22

０以上「要素数-１」未満の整数

No.3 回答者： guuman 回答日時： 2006/07/29 09:19

ガロア体は０を除いた要素の集合が巡回群になりますが

原始多項式とはｘがその群の生成元になるような既約多項式のことです

そうすると０を除く体の元は０以要素数-１以下の整数でナンバリングでき扱いが簡単になります

ちなみにCDに使われている体は
GF(2^8)
であり８次の原始多項式が使われています

No.1 回答者： guuman 回答日時： 2006/07/27 12:45

そうです

そのあまりの全体がその有限体の拡大体になります
たとえば
{0,1}
をもとの体とし
x^2+x+1
生成多項式とすれば
{0,1,x,x+1}
が拡大体となります
多項式としては既約多項式を選ばなければなりません
もっともいいのが原始多項式です

この回答へのお礼

早速ありがとうございます。

もうひとつ、教えてください。

原始多項式とは、どのように定義されるのでしょうか？

お礼日時：2006/07/29 01:14