知人からの代理で質問です。

「1+1=2」というのは、数学的に証明されているのでしょうか?
「1+1は2である」というお約束だけで、数学理論(?)は構築されているのでしょうか?
それとも「1+1=2」というのは公理なのでしょうか?

A 回答 (1件)

同じ質問がありました。


回答は少々高度ですが。

参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=217225
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この回答へのお礼

知人に伝えておきます。
ワタシも見てみましたが、脳味噌から煙吹いてしまいました。

お礼日時:2002/03/07 13:04

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Q1+1=2を証明する。

高校の時に授業で先生が証明してくれたのですが、忘れてしまったのでどなたか1+1=2になることを証明して頂けないでしょうか?

Aベストアンサー

これを証明するのは、そんなに簡単なことではないのでは。
ラッセルによる大書 Principia Mathematica (「数学原理」)の
第一巻379頁でやっとその証明が完結します。
つまり、証明に379頁要したということです。
この話題は前にも出ましたが、数学科にいたかたの話で
半年かかったと書いていました。さもありなん。
数学基礎論という分野に属します。

Q(a+1)(a+2)の計算方法は、 (a+1)(a+2)=a+a+1+2 =2a+3 であっています

(a+1)(a+2)の計算方法は、

(a+1)(a+2)=a+a+1+2
     =2a+3

であっていますか?

Aベストアンサー

式が(a+1)+(a+2)なら、
=a+a+1+2=2a+3で合ってるが、

(a+1)(a+2)なら、(a+1)×(a+2)です。従って
=a*a+1a+2a+1*2
=a二乗+3a+2となります。

Qアンサイクロペディアに載っている 1=2の証明について

http://ansaikuropedia.org/wiki/1%3D2
私は理系の大学一年生です。
アンサイクロペディアの1=2の証明を見たのですが、それらのうちのいくつかについてどう間違っているかわかりません。
ご教授願います。

・背理法による証明
・複素数を使った証明
・Eulerの公式による証明
・√2を√2乗しつづけたものを用いる証明

この4つのうちのどれでもいいので解説お願いします。
特に上の二つが気になるのでよろしくお願いします。

Aベストアンサー

 おもしろいページですね。ちょっと考えてみました。

・背理法による証明
これは、1×0と2×0の結果が等しいので、1=2である、といっているだけ。

・複素数を使った証明
√(-1/1)=√(-1)/√1 としているところ。
√(a/b)=√a/√b とできるのは、a、b ともに実数で正の場合のみ。

・Eulerの公式による証明
exp(2iπ) の対数を取る、というところ。
複素数の対数は、多価になるので、 exp(2iπ) = exp(4iπ) であっても 2iπ = 4iπ とはならない。
sin(2π)=sin(4π) であっても 2π=4π でないことと同じ?
http://www.ee.t-kougei.ac.jp/tuushin/lecture/math1/htdocs/complex/log/index.html

・√2を√2乗しつづけたものを用いる証明
これは、A は A=√2^A を満たすが、これを満たす数が全て A ではない、ということではないかと思うのですが、ちょっとすっきりとはわかりませんでした。

 おもしろいページですね。ちょっと考えてみました。

・背理法による証明
これは、1×0と2×0の結果が等しいので、1=2である、といっているだけ。

・複素数を使った証明
√(-1/1)=√(-1)/√1 としているところ。
√(a/b)=√a/√b とできるのは、a、b ともに実数で正の場合のみ。

・Eulerの公式による証明
exp(2iπ) の対数を取る、というところ。
複素数の対数は、多価になるので、 exp(2iπ) = exp(4iπ) であっても 2iπ = 4iπ とはならない。
sin(2π)=sin(4π) であっても 2π=4π でないことと同...続きを読む

QF_n=(a+b+c)^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)} の因数分解

F_n=(a+b+c)^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)} 
(n=1,2,3,4,5)
を因数分解せよ、という問題なのですが、どすればよいのでしょうか?

なお、答えは、

F_1=3(b+c)(c+a)(a+b)
F_2=5(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^2+Σab)
F_3=7(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^4+2Σa^3 b+3Σa^2 b^2+5Σa^2 bc)
F_4=3(b+c)(c+a)(a+b)(3Σa^6+9Σa^5 b+19Σa^4 b^2+35Σa^4 bc+23Σa^3 b^3+63Σa^3 b^2 c)
F_5=11(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^8+4Σa^7 b+11Σa^6 b^2+21Σa^6 bc+9Σa^5 b^3+54Σa^5 b^2 c+23Σa^4 b^4+84Σa^4 b^3 c+123Σa^4 b^2 c^2+159Σa^3 b^3 c^2)

のようなのですが、(b+c)(c+a)(a+b)を因数に持つことは分かりますが、残りの因数はどうやってもとめるのでしょうか?

一文字を変数と見て、地道に割り算するしかないのでしょうか?
効率的な計算方法はありますでしょうか?

F_n=(a+b+c)^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)} 
(n=1,2,3,4,5)
を因数分解せよ、という問題なのですが、どすればよいのでしょうか?

なお、答えは、

F_1=3(b+c)(c+a)(a+b)
F_2=5(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^2+Σab)
F_3=7(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^4+2Σa^3 b+3Σa^2 b^2+5Σa^2 bc)
F_4=3(b+c)(c+a)(a+b)(3Σa^6+9Σa^5 b+19Σa^4 b^2+35Σa^4 bc+23Σa^3 b^3+63Σa^3 b^2 c)
F_5=11(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^8+4Σa^7 b+11Σa^6 b^2+21Σa^6 bc+9Σa^5 b^3+54Σa^5 b^2 c+23Σa^4 b^4+84Σa^4 b^3 c+123Σa^4 b^2 c^2+159Σa^3 b^3 c^...続きを読む

Aベストアンサー

最後までは計算していませんが、次の方法でできそうです。
F_n = (b+c)(c+a)(a+b)(Σ[ABC] k_ABC a^A b^B c^C) とおきます。
(ここで、A+B+C = 2n+1 です。)
展開すると、F_n = (a^2 b + 略 + 2abc)(Σ[ABC] k_ABC a^A b^B c^C) です。
そして、F_n を例えば、a で A+2 回偏微分、a で B+1 回偏微分、
a で C 回偏微分、した後、a,b,c に 0 を代入します。
F_n=(a+b+c)^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)} に対しても同じようにします。
このようにすると、例えば C > 0 であれば、
k_ABC (A+2)!(B+1)!(C)! = (2n+1)! となり、係数が得られます。

Q中学生に1+1=2の証明の本

中学生でも理解できる
1+1=2の証明の本・サイトはありませんか?
大体大雑把・簡単に証明されてる感じの
数学ガールみたいな感じなら理解できるっぽいです
難しいのは分かりますけどありませんか?

Aベストアンサー

大学で数学を専攻していた者である。

それは、数学の基礎論の立場から・・・ということだろうか。
それなら、「数学ガール」が読めるなら、私が眼を通したことのある限りでは

「数の論理」(保江邦夫・講談社ブルーバックス、ISBN 978-4062573979)
http://www.amazon.co.jp/%E6%95%B0%E3%81%AE%E8%AB%96%E7%90%86-%E3%83%96%E3%83%AB%E3%83%BC%E3%83%90%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9-%E4%BF%9D%E6%B1%9F-%E9%82%A6%E5%A4%AB/dp/4062573970/ref=sr_1_11?s=books&ie=UTF8&qid=1316439984&sr=1-11

が読み易かった気がする。
9年前の出版なので、書店よりも図書館で探すほうが良いだろうか・・・。

Q線形です (1)を x+3y-2z=0 x-2y+4z=0 x^2+y^2+z^2=1をもちいて 答

線形です
(1)を
x+3y-2z=0
x-2y+4z=0
x^2+y^2+z^2=1をもちいて
答えが+-の答えになりました
(2)では外せきが8,-6,-5となり
おおきさの5ルート5で割ると
+-の答えにはなりませんでした
どちらが正しいのでしょうか?

Aベストアンサー

外積からでてきた単位べクトルは、外積の定義から、ベクトルa、bに垂直ですよね。
だからそれと正反対のベクトルも、ベクトルa、bに垂直な単位ベクトルだから、これも答えに入れれば
よいのです。つまり外積から出した単位ベクトルの各成分に(-1)をかけた成分のベクトルも答えに
なります。そしてこうして出した2つのベクトルは、先に内積で出した2つのベクトルと一致します。

Q1+1=2を証明できるなら、直線=実数も証明してください

1+1=2

ですが、素朴・直感的にはそれを定義としていいと思います。
しかし、公理・厳密的に考えると、それは証明できるものと思います。
(ここ教えてgooでは、その視聴率が高いですね)

同様に、

直線=実数
つまり、
直線上のそれぞれの点と、実数の要素が一対一に対応できる

も、素朴・直感的にはそれを定義としていいと思います。
しかし、公理・厳密的に考えると、それは証明できるものと思います。
その証明をどうか教えてください。

Aベストアンサー

直線を公理的に定義する方法はヒルベルトがやりましたが、視覚的な直線を定義することは難しいですね。ところで、視覚的な「直線」に定義はありましたっけ?
学校では、「直線と実数が1対1に対応する」というふうに教わってきました。そして、「直線と実数が1対1に対応する」ということを鵜呑みにしてきました。実際、日常生活で経験する「直線」は有理数の数直線でも不都合は感じませんし、古代の人たちは、そのように信じていました。だから、直線を有理数の数直線だと定義しても良いのです。しかし、これだと、直角二等辺三角形の斜辺の長さ、√2が表現できません。そこで、直線には無理数も入っているんだと、解釈され、実数の数直線によって、直線を定義するようになりました。実数には、隙間がないと言われていますので、直線の定義の変遷ははここでひとまず、落ち着いたということでしょう。しかし、近頃、無限小なる「超実数」なるものを持ち出した人もいます。超準解析ですね。そうなると、また、超実数直線を直線と定義し直しをする必要がでてきますね。
ともかく、視覚的な対象である直線を数学的に定義するには、数直線(整数直線、有理数直線、実数直線、超実数直線、・・・)で定義するするしかないのです。数直線で直線を定義しているのだから、「直線と実数が1対1に対応する」のは、当たり前ですよね。・・・というか、トートロジーですよね。

直線を公理的に定義する方法はヒルベルトがやりましたが、視覚的な直線を定義することは難しいですね。ところで、視覚的な「直線」に定義はありましたっけ?
学校では、「直線と実数が1対1に対応する」というふうに教わってきました。そして、「直線と実数が1対1に対応する」ということを鵜呑みにしてきました。実際、日常生活で経験する「直線」は有理数の数直線でも不都合は感じませんし、古代の人たちは、そのように信じていました。だから、直線を有理数の数直線だと定義しても良いのです。しかし、これ...続きを読む

Q{√(1)+√(1+2)+√(1+2+3)+…+√(1+2+…+n)}/n^2 → √2/4

n → ∞のとき、
{√(1)+√(1+2)+√(1+2+3)+…+√(1+2+…+n)}/n^2 → √2/4

また、n → ∞のとき、
{√(1+2+…+n)+√(2+3+…+n)+…+√(n-1+n)+√(n)}/n^2 → π√2/8

らしいのですが、証明がかいてありませんでした。
どうか証明を教えていただけないでしょうか。

Aベストアンサー

#3、#5です。

>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)[Σ[k=1,n]{k/n} - 1/n + (n+1)/n]
>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)Σ[k=1,n]{k/n}

1/nが消えるのはわかるのですが、n/n(=1)が消えるのはなぜでしょう?


>でもそのはさみこむ方法は、後半ではうまくいきにくいし、…

後半もうまくいきましたので、以下に説明します。
n=7の場合のグラフを添付します。
区分求積法により、{√(1+2+…+n)+√(2+3+…+n)+…+√(n-1+n)+√(n)}/n^2 は幅(1/n),高さ{√{(k+1)+(k+2)+…+n}}/nの階段状の図形の面積になります。k=0~n-1です。
下限関数 f(x)=√{(1-x^2)/2}
上限関数 g(x,Δ)=√[{(1+Δ)^2-x^2}/2] (但しΔ=1/n)
階段関数 {√{(k+1)+(k+2)+…+n}}/n=√[{n(n+1)-k(k+1)}/(2n^2)]

(1)x=k/nのところで、階段の高い方より上限関数 g(x,Δ)が大きい事を示します。但しk=1~nです。
x=k/nの階段の高い方は√[{n(n+1)-(k-1)k}/(2n^2)]です。
x=k/nの上限関数 g(x,Δ)=g(k/n,1/n)=√[{(1+(1/n))^2-(k/n)^2}/2]=√[{(n+1)^2-k^2}/(2n^2)]
(上限関数) ≧ (階段関数の高い方) を示すには、ルートと分母の(2n^2)が共通なので、
(n+1)^2-k^2 ≧ n(n+1)-(k-1)k を示せば十分です。
{(n+1)^2-k^2}-{n(n+1)-(k-1)k}=n-k+1≧0 より明らかです。

(2)x=k/nのところで、階段の低い方より下限関数 f(x)が小さい事を示します。但しk=0~nです。
x=k/nの階段の低い方は√[{n(n+1)-k(k+1)}/(2n^2)]です。
x=k/nの下限関数 f(x)=f(k/n)=√[{(1-(k/n)^2}/2]=√[(n^2-k^2)/(2n^2)]
(階段関数の低い方) ≧ (下限関数) を示すには、ルートと分母の(2n^2)が共通なので、
n(n+1)-k(k+1) ≧ n^2-k^2 を示せば十分です。
{n(n+1)-k(k+1)}-(n^2-k^2)=n-k≧0 より明らかです。

以上の事から階段関数は下限関数 f(x)と上限関数 g(x,Δ)の間に入る事がわかりました。
下限関数の面積をF,上限関数の面積をG(n),階段関数の面積をA(n)とすると、
F ≦ A(n) ≦ G(n) となります。
F=∫[0→1]f(x)dx=(1/√2)(単位円の面積÷4)=π(√2)/8
G(n)=∫[0→(1+Δ)]g(x,Δ)dx=(1/√2)(半径(1+Δ)の円の面積÷4)={π(√2)(1+Δ)^2}/8 (但し Δ=1/n)
つまり階段関数の面積はπ(√2)/8以上{π(√2)(1+1/n)^2}/8以下になります。
n→∞で階段関数の面積はπ(√2)/8に収束します。

#3、#5です。

>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)[Σ[k=1,n]{k/n} - 1/n + (n+1)/n]
>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)Σ[k=1,n]{k/n}

1/nが消えるのはわかるのですが、n/n(=1)が消えるのはなぜでしょう?


>でもそのはさみこむ方法は、後半ではうまくいきにくいし、…

後半もうまくいきましたので、以下に説明します。
n=7の場合のグラフを添付します。
区分求積法により、{√(1+2+…+n)+√(2+3+…+n)+…+√(n-1+n)+√(n)}/n^2 は幅(1/n),高さ{√{(k+1)+(k+2)+…+n}}/nの階段状の図形の面積になります。k=0~n-1です。
下限関...続きを読む

Q1=2

以前、1=2であることから、私は皇帝であることを証明した数学者の話を聞いたことがあるのですが、詳しい証明方法を忘れてしまいました。
どなたか、ご存知の方がいらっしゃいましたら、参考となる、書籍かURL、もしくは具体的な説明をよろしくお願いします。

Aベストアンサー

確か論理記号の説明の話だったような気がします.

論理学では
 A⇒B(AならばB)
の真偽について,Aが偽なら (A⇒B) はいつでも真.
となりますが,

ある数学者がそれを説明していたときに
納得がいかない観客が
「では,1=2 からあなたが皇帝である事を証明してください.」
といったのに対し,
「私と皇帝の集合をAとすると,Aには二つの要素があります.
 しかし,1=2 ならば集合Aの要素は一つだけだということになります.
 私も皇帝もAの要素なので,それは実は一つのものです.
 よって,私は皇帝です.」
と答えた.


といった感じだったかと思います.

Q放物線y=(1/2)x^2+xと円(x-1)^2+(y+1)^2=2の

放物線y=(1/2)x^2+xと円(x-1)^2+(y+1)^2=2の両方に接する直線の方程式を求めよ

という問題が解けません。

高2が分かるような解き方がありましたら教えてくださいませんか?;w;

Aベストアンサー

求める直線をy=ax+bとおいて、
(1)放物線とこの直線が接する→(1/2)x^2+x=ax+bとしてこの二次方程式が重解を持つ
(2)円と直線が接する→円の中心からy=ax+bまでの距離が円の半径に等しい

この二つを連立させればaとbが求められます。


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