任意の三角形の各辺を順番に2:3に内分する点を各返上にとり、その3つの各点を対する、三角形の各頂点と結ぶと元の三角形の中に小さい三角形ができます。元の三角形と新しくできた小さい三角形の面積比を求めよ。
 前に一度やったことがあるのですが、解き方を忘れてしまいました。誰かヒントでもいいから、教えてください。

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A 回答 (3件)

この手の問題を幾何的に(比を使って)解くには「チェバの定理」や「メネラウスの定理」を使うと便利です。


(私は高校受験参考書で覚えたのですが、指導要項が当時と変わっているため、学校で習うのかどうかは不明です。しかし大変便利なので、ぜひ覚えておいたほうがよいでしょう。)

まずは定理の紹介から。(証明は省略)
三角形ABCの辺ABの内分点をD、辺BCの内分点をEとし、線分CDと線分AEの交点をGとする。
「メネラウスの定理」
(DB/AD)*(CE/BC)*(AG/GE)=1
同様に
(BE/EC)*(AD/AB)*(CG/GD)=1

「チェバの定理」
さらに直線BGと辺CAの交点をFとすると
(DB/AD)*(EC/BE)*(FA/CF)=1

#2のslackwareさんの方法をこの定理を使って考えると、どこに補助線を引いたらよいかを考えなくても解けてしまいます。
AX/XEが求めたければ、線分ADB、線分BEC、線分AXEに対してメネラウスの定理を使います。
(DB/AD)*(EC/BC)*(AX/XE)=1
今DB:AD=3:2、EC:BC=EC:(BE+EC)=3:5なので、
(3/2)*(3/5)*(AX/XE)=1
よって、AX/XE=10/9
ここから先の計算は同じで、
答えはΔABCΔXYZ=19:1となります。

別解としてベクトルを用いる場合。
ベクトル記号が書きにくいので、ここではAからBへのベクトルを「AB→」と書きます。
また、図形上の各点の名前は#2slackwareさんが定義されたものをそのまま使います。
[解答]
AB→とAC→を基準にして表すことにする。
AX→ = t*AD→ + (1-t)*AC→
   = (2t/5)*AB→ + (1-t)*AC→
一方、
AX→ = k*AE→
   = k*{(3/5)*AB→ + (2/5)*AC→}
よってk=10/19となり、
(ちなみにこれでAX:XE=10:9が示されたので、ここから幾何的に解いてもOKです。)
AX→ = (6/19)*AB→ + (4/19)*AC→
次に
AY→ = t*AB→ + (1-t)*AF→
   = t*AB→ + (3/5)*(1-t)*AC→
一方、
AY→ = k*AE→
   = k*{(3/5)*AB→ + (2/5)*AC→}
よってk=15/19となり、
AY→ = (9/19)*AB→ + (6/19)*AC→
次に
AZ→ = t*AD→ + (1-t)*AC→
   = (2t/5)*AB→ + (1-t)*AC→
一方、
AZ→ = s*AB→ + (1-s)*AF→
   = s*AB→ + (3/5)*(1-s)*AC→
よってt=10/19となり、
AZ→ = (4/19)*AB→ + (9/19)*AC→

さて、以上より
XY→ = AY→ - AX→
   = (3/19)*AB→ + (2/19)*AC→
XZ→ = AZ→ - AX→
   = (-2/19)*AB→ + (5/19)*AC→

さてΔXYZの面積を求めると、
ΔXYZ = (1/2)*|XY→ x XZ→|
= (1/2)*{(15+4)/19^2}*|AB→ x AC→|
= (1/19)*(1/2)*|AB→ x AC→|
= (1/19)*ΔABC
よって、ΔABC:ΔXYZ=19:1
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この回答へのお礼

2とおりの解き方を教えていただきありがとうございました。両方ともよくわかりました。またいろいろと教えてください。

お礼日時:2000/12/30 12:24

こんな感じになりました.


# 解答方針はあっていると思うのですが、
# あまり答えに自信はありません.

三角形ABC の各辺を 2:3 に内分する点を D、E、F
とします.
(AD:DB = BE:EC = CF:FC = 2:3)
線分CD と 線分AE の交わる点を X
線分BF と 線分AE の交わる点を Y
線分BF と 線分CD の交わる点を Z

==

点E より 線分CD に平行な線を引き、線分 AB と
交わる点を G とします.

AD:DB = 2:3 --- (1)
BE:EC = 2:3 より
BG:GD = 2:3 --- (2)
(1)、(2)より AD:DG = 10:9 となる.
また、AX:XE=10:9

三角形AECの面積は三角形ABCの3/5
三角形AXCの面積は三角形AECの10/19
よって、三角形AXCの面積は三角形ABCの6/19

同様に、三角形BZC、三角形AYBの面積もわかるので、
三角形ABCから、三角形XYZを除いた部分の
面積は、三角形ABCの面積の18/19 となる.

よって、三角形XYZは三角形ABCの 1/19 となる.

==

以上.
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この回答へのお礼

比を使ったときかたがよくわかりました。また何かわからないことがあったら教えてください。

お礼日時:2000/12/30 12:26

ベクトルを使って解いてよいのでしょうか。


それとも、昔ながらの幾何学での解法がほしいのでしょうか。

上の意味がわかりずらければ、対象学年(小6、中2、高3など)を書いて下さい。

補足をお願いします。
tukitosan でした。

この回答への補足

ベクトルを使ってもかまいません。あとは比を使うとできそうな気がしますが・・・もし解き方をいくつか知っていたら是非教えてください。

補足日時:2000/12/29 17:22
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ANo.2のコメントについてです。

 中学生向きだとすると微分法はあからさまには使えない。でも、三角関数や三角不等式などを使った不等式の話ならOKでしょう。
 一方、楽しい授業にしたい。直感的理解を助けるには、綱引きだと思ったらどうでしょうかね。(石けん膜の物理は却って難しいので。)

[1] a,b,cの三人が正三角形の頂点にいるとする。三つ又になった綱の端を三人がそれぞれ持って、同じ力で綱引きをする。するとどうなるか、直感でいいから答えよ。
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 その状態から、aが力を緩め(強め)て、b, cと同じ力になるまで変化させたとき、分岐点はどこに移動するか。 (当たり前でも、言われるまで分かんない子もいそう。)

[3] もし、aの力が強すぎ(弱すぎ)る状態で、bが力を強め(弱め)ると、綱の分岐点はどのあたり(正確な位置は問わない)に移動するか。(答が出た所で、実験で示す。)そのとき、綱の長さの合計は、aの力だけが違う場合に比べて大きいか、小さいか。(ここが一番難しい。分かんない子には、直感的に理解させるに留めても、ま、良いか。)
 その状態から、bが力を緩め(強め)て、cと同じ力になるまで変化させたとき、分岐点はどこに移動するか。

[4] 分岐点で力が均衡しているとき、綱の長さの合計が最小であることを示せ。

[5] ここまでのまとめ:正三角形に並んだ綱引きとは、すなわち、三人それぞれが、綱の分岐点と自分との距離をなるべく小さくしようとすることでもある。その結果、全員の力が同じであれば、綱の長さの合計が最小になるということが証明できた。
 ならば、正方形に並んだ四人ではどうか。また、二人でやる綱引きではどうか。考えてみよ。(宿題。ただし提出不要)
 一方、ここまでの話に付いて来られなかった子も、とにかく綱引きが均衡していれば綱の長さの合計が最短で、しかも分岐点で綱が120度をなすのだ、ということさえ前提にすれば、以下の話はきっと分かる。だから山田っ!寝ないように。

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[7] 綱引きを続けながらb,cも動いて、三角形abcが所定の三角形ABCと合同になるところまで移動することが出来るか。どんなときに可能で、どんなときは不可能か。ヒント:可能だとすると、三角形ABCと合同である状態で綱引きをしながらaとbが動いて、abcが正三角形になるようにすることができる筈である。その過程を、時間を逆回しにしたらどう見えるか。

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>ベクトルを↑で表すと
(1)
AP:PD=t:1-t(0<t<1)とおくとき、OPベクトルをaベクトルとbベクトルと
tを用いて表せ。
>↑OP=↑OA+↑AP=↑a+t↑AD=↑a+t{(3/4)↑b-↑a}
=(1-t)↑a+(3t/4)↑b・・・答
(2)
OPベクトルをaベクトルとbベクトルを用いて表せ。
>メネラウスの定理(AC/CO)*(OB/BD)*(DP/PA)=1により
(2/1)*(4/1)*(1-t)/t=1を解いてt=8/9
よって、↑OP=(1-8/9)↑a+(3*8/4*9)↑b
=(1/9)↑a+(2/3)↑b・・・答
(3)
直線OPと辺ABとの交点をEとする時、AE:EBを求めよ。
>メネラウスの定理(AE/EB)*(BO/OD)*(DP/PA)=1により
(AE/EB)*(4/3)*(1-t)/t=1
AE/EB=3t/4(1-t)=6/1、よってAE:EB=6:1・・・答
(4)
∠AOB=90°、OPベクトル⊥ABベクトルであるとき、OA:OB:ABを求めよ。
>↑AB・↑OP=0だから
↑AB・↑OP=(↑b-↑a)・{(1/9)↑a+(2/3)↑b}
=(1/9)↑b・↑a+(2/3)↑b・↑b-(1/9)↑a・↑a-(2/3)↑a・↑b
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>ベクトルを↑で表すと
(1)
AP:PD=t:1-t(0<t<1)とおくとき、OPベクトルをaベクトルとbベクトルと
tを用いて表せ。
>↑OP=↑OA+↑AP=↑a+t↑AD=↑a+t{(3/4)↑b-↑a}
=(1-t)↑a+(3t/4)↑b・・・答
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よって、↑OP=(1-8/9)↑a+(3*8/4*9)↑b
=(1/9)↑a+(2/3)↑b・・・答
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Q1点から三角形の頂点への最短距離(平面図形的解釈)

A(-2,0),B(2,0),C(0,3)がある。
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Aベストアンサー

この問題では与えられた三角形が二等辺三角形なので、かえって
点Pの持つ意味が分かりにくいかもしれませんね。

一般に、添付図(左)のように、勝手な三角形ABCが与えられた時、
その内部に点Pをとり、3つの頂点までの距離の和を考えます。
ここで、図のように辺BCおよび線分BPをそれぞれ一辺に持つ2つの
正三角形△BCD, △BPQを書くと、△BPC≡△BQDになりますので、
 AP+BP+CP=AP+PQ+QD
となります。
したがって、AP+PQ+QDが最小となるのは、右の図のようにA, P, Q, Dが
一直線上に並ぶ時です。
この時、CA, CBを一辺に持つ正三角形△CAE, △ABFを書けば、同様に
B, P, EおよびC, P, Fもそれぞれ同一直線上の点となっています。
また、AP, BP, CPのなす角を見ると、
 ∠APB=∠BPC=∠CPA=120°
となっています。(#1さんの指摘しているのはこのことです)

このような点は、「フェルマー点」と呼ばれています。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%BC%E7%82%B9
フェルマーさんも、本当にあちこちに名前が付いていますね。

なお、△ABCの内角の一つが120°を超える場合には、このような点Pを
三角形の内部にとることはできません。
その場合、三頂点までの距離の和が最小となる点は、△ABCの最大角の
頂点となります。

この問題では与えられた三角形が二等辺三角形なので、かえって
点Pの持つ意味が分かりにくいかもしれませんね。

一般に、添付図(左)のように、勝手な三角形ABCが与えられた時、
その内部に点Pをとり、3つの頂点までの距離の和を考えます。
ここで、図のように辺BCおよび線分BPをそれぞれ一辺に持つ2つの
正三角形△BCD, △BPQを書くと、△BPC≡△BQDになりますので、
 AP+BP+CP=AP+PQ+QD
となります。
したがって、AP+PQ+QDが最小となるのは、右の図のようにA, P, Q, Dが
一直線上に並ぶ時です。
この時、CA, CBを...続きを読む

Q内部の点から各頂点までの距離がわかっている正三角形の一辺を簡単に出す方法

正三角形ABCの内部に,AP=5,BP=4,CP=3となる点Pがあるとき,この正三角形の一辺の長さをもっとも簡単に出す方法は何でしょうか.

(ア) A(5,0), B(4cosθ,4sinθ), C(3cosθ,3sinθ)とおいてAB=BC=CA.
(イ) A(5), B(w), C(z)とおいて|w|=4,|z|=3,w-z=(5-z)(1+√3i)/2.
(ウ) A(r), B(rα), C(rβ), P(w)とおいて(rは実数,αは120°回転,βは240°回転), AP=5,BP=4,CP=3.
(エ) ΔPABをAのまわりに,ΔPBCをBのまわりに,ΔPCAをCのまわりに,それぞれ60°回転した図を描いて面積を出し,それから一辺を出す.

などを試してみましたが,(ア)~(ウ)は計算が繁雑で,(エ)は邪道(?)です.
ほかによい方法がありましたら教えていただけないでしょうか.

Aベストアンサー

ANo.4 stomachmanです。

> どのようにして導出されたのでしょうか

問題の対称性から、きれいな公式になるに違いないと予想できますよね。ならば、知恵のない力ずくでも行けるだろうってんで、直交座標系を導入して
A=(0,0)
B=(t,0)
C=(t/2, (√3)t/2)
P=(xt,yt)
とおけば、題意は
(1) (x^2 + y^2)(t^2) = a^2
(2) ((x-1)^2 + y^2)(t^2) = b^2
(3) ((x-1/2)^2+(y-(√3)/2)^2)(t^2) = c^2
という連立方程式で書けます。
 (1)を使って(2)と(3)から(x^2+y^2)(t^2)の項を消すと、(t^2を定数だと思えば)xだけの一次式がひとつと、xとyの一次式がひとつ得られます。だから、x,yをそれぞれ(t^2)で表せる。これを(1)に代入して整理すれば公式が得られます。ついでに点Pの座標を計算する公式も作れますね。

Q任意の三角形からその三角形と面積の等しい正三角形をその三角形を使って作図するには??

等積変形の問題なのですがかなり考えたのですがわかりません。どなたかわかれば教えてください。

Aベストアンサー

方べきの定理を使用します。
任意の三角形の1辺をaとし、此に頂点から垂線を下ろします。
垂線の長さをbとする。
面積は、ab/2
正三角形の1辺をcとすると、面積は((√3)c^2/4)
c^2=(2√3)ab/3)
ですので、2a/3の線分を作るには、平行線を利用することにより作図できます。
次に、(√3)bを作図しますが、此は1辺がbの正方形を作図して、対角線をとりますと、(√2)bが出来ます、
此を1辺とし、もう1辺をbとする長方形を作り、この対角線は(√3)bとなります。
これで、(2a/3)と(√3)bの辺の長さが決まりましたので、ここで方べきの定理を使用します。
1点より、同じ方向へ、(2a/3)と(√3)bを直線上にとり、この差の半分の長さで円を描きます(この直線上に円の中心がある)。全ての点は同一直線上にある。
つぎに、最初の1点と円の中心点とを直径とする円を描き、交点と最初の1点を結ぶと、接線となり、此がcとなります。
此を1辺とする正三角形を書けば出来上がりです。
作図をするときにa,bを入れ替えてしても同じ結果になります。

方べきの定理を使用します。
任意の三角形の1辺をaとし、此に頂点から垂線を下ろします。
垂線の長さをbとする。
面積は、ab/2
正三角形の1辺をcとすると、面積は((√3)c^2/4)
c^2=(2√3)ab/3)
ですので、2a/3の線分を作るには、平行線を利用することにより作図できます。
次に、(√3)bを作図しますが、此は1辺がbの正方形を作図して、対角線をとりますと、(√2)bが出来ます、
此を1辺とし、もう1辺をbとする長方形を作り、この対角線は(√3)bとなります。
これで、(2a/3)と(√3)bの辺の長さが決まりまし...続きを読む


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