友達からの依頼です。
『内角の和が270度である一辺の長さがaの正三角形の面積を求めなさい』という問題がわかりません。
答えもわからないのですが、その前に三角形の内角の和が270度だというのもわけが分かりません。180度じゃないんですか?
ですので、内角の和が270度の説明と、答えを教えて下さい。
お願いします!!

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A 回答 (12件中1~10件)

三度登場(恥の上塗り)


キーボード上で計算するから間違うのですね(言い訳)

球の面積の公式は S=4πr^2
ここで、4a=2πr
    r=2a/π
r(半径)2a/πである球面の面積の1/8となります。

s=4π(2a/π)^2/8
=4π(4a^2/π^2)/8
=2a^2/π

さすがに今度こそ。
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この回答へのお礼

回答していただきありがとうございます。
計算式まで書いていただきどうもです!
>三度登場(恥の上塗り)
そんなことはないですよ!この問題の“意味”がわかるだけでもすごいと思います。それに答えまで・・・。
ホントにありがとうございましたぁーー!!!

お礼日時:2002/03/08 00:12

siegmund様、puni2様、わざわざ、ご指摘ありがとうございます・・・、って、私がお礼を言う場じゃない。

(以前、「先生」はよしてください、ということでしたので、「様」で・・)

そういうのは聞いたことはあるんですが、単に、「私の頭の中で落ち着かない」ということですので、深く追究は不要です。

しかし、出題には何か、「なぞなぞ」みたいに、どこかに「ひっかけ」があるような気がしてならない・・・。
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横レスです。


厳密には「リーマンの非ユークリッド幾何学」=「球面幾何学」ではありません。
球面上の二本の大円は必ず二点で交わりますが、リーマンの非ユークリッド幾何学
では、二本の直線は一点でしか交わりません。
リーマンの非ユークリッド空間は、本来は(?)仮想的な空間なのですが、
ユークリッド空間内の球面がよくモデルとして使われます。事実、計量的には
球面幾何学と一致するのです。この場合、対称の位置にある二点を同一の点と
みなしたものになります。
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この問題はユークリッド幾何学に端を発します。



ユークリッド幾何学には、公理がいくつかあり、その中に平行線の公理があります。
「直線外の1点を通りその直線に平行な直線は1本しかない。」
という公理です。

この1本が問題になり、
0本でもよいじゃないか?
無数でもよいじゃないか?

それぞれを公理として組み立てられたのが、それぞれ
リーマン幾何学
ロバチェフスキー幾何学
です。これを非ユークリッド幾何学といいます。

リーマン幾何学はみなさんが回答されている球面幾何学です。
ロバチェフスキー幾何学は鞍形をしている幾何学です。

siegmung先生をはじめ、お馴染みのみなさんさまのパワフル-さには、感心しています。また的確な回答は何時も参考にさせてもらっています。小生の浅学では余り役にも立ちませんので、このジャンルには久しぶりに登場しました。みなさまのご健闘を祈ります。
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nozomi500さん:


>私には、球面上に引いた直線、というのが納得できないのですが
えーと,「球面三角法」という数学がありまして,そこでは大円のことを直線ともいうのですね。
理由その他詳しい説明は既に出ている通りですね。
球面三角法は天文学や測地学などでよく出てきます。
ただ,高校の課題というところがひっかかります。高校の数学では球面三角法は出てきません。(その先生が教科書をこえて独自に教えない限り)
課外として,より進んだ生徒のために自主ゼミ的に教えているのかなあ。
まして高校の理科の地学や,社会(地歴)の地理の授業で球面三角を教えているとしたら,ものすごい学校だと思います。
工業高校で測量の授業の一環として扱うかなあ? でも測量士の試験でもたしか平面三角法の範囲だったと思うし…。
いずれにせよ,お友達に「補足要求」する必要があるかもしれませんね。

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  少し違う形の回答をします。
 
  このサイトでは、質問の意味が曖昧であったり、質問者の言葉だけでは、何が質問なのか、分からない場合や、複数の回答の可能性があったり、よく分からないことが多々あります。それでも、回答者は、よく分からない質問の背景などを想定したり、色々と工夫して回答を書くことが多いです。
 
  この問題の場合、「球面幾何学において」という前提が抜けているのかも知れません。あるいは同じことですが、「正三角形」は実は「球面正三角形」のことで、「球面」という言葉が抜けているのかも知れません。
 
  これまでの回答は、この「球面幾何学」とか「球面正三角形」の表現が、問題で抜けていると判断して、それを補って回答しているのだと云えます。しかし、本当に正確に言うなら:
 
  >『内角の和が270度である一辺の長さがaの正三角形の面積を求めなさい』
 
  この問題に対する「正解」は、数学的には、「答えなし」です。「設問が矛盾している」、が理由です。
 
  「正三角形」に「球面正三角形」を補って答えになると言うのなら、別の補いや訂正で答えが出れば、それも答えでよいはずです。困ったことに、こういう質問は、「正解」と称するものがあるのです。本当は、上の形の設問だけなら、「解なし」が正解なのですが、『「内角の和が270度」と言っている点だけで、これが球面幾何学の問題と分からなければおかしい』とか言う理屈を付ける人がいるかも知れません。しかし、そんな理屈は、数学の問題ではおかしいでしょう。設問について、「解釈」せよというのなら、例えば:
 
  「内角の和が270度」……面積を求めるのに、そもそも内角の和など必要ないはずである。しかし、必要な場合もある。それは、どういう幾何学図形なのか分からない場合で、「内角の和」を示すことで、その幾何学図形が指定できるような設問の場合である……こういう風にも考えられるのです。(球面三角形というのは、どういう幾何学図形か分からないので、それに近い、内角の和を指定しないと面積が出てこない、球面上の図形を考えているのです)。
 
  この場合、設問に、二カ所「書き間違い」があるとすると、別の回答がでます。(「球面正三角形」をただの「正三角形」とするのも、正確には「書き間違い」なのです)。
 
  >『内角の和が720度である一辺の長さがaの正多角形の面積を求めなさい』
 
  こういう風に、問題を修正すれば、設問は数学的問題になり、回答も出てきます。内角の和が720度の正多角形というのは、正六角形です。この一辺をaとすると、面積は、6X(a^2*√3/4)つまり、a^2*(3√3/2)です。
 
  「球面幾何学で」とか、「球面正三角形」を補って正解になるのなら、こういう風に設問が書き間違えられていると解釈して答えを出すことも可能なはずであるし、これが、「間違い」だとは、云えないのです。何故なら、元々の設問の形では、「解なし」だからです。
 
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もともとの問題が条件をきちんと述べていないのですが,


prome さんや Islay さんの言われるように,球面上の三角形とするのが
一番妥当のように思われます.
球面でなくて回転楕円体のような曲面でも(いわゆる曲率が正の曲面)いいわけですが,
面積は(例えば)楕円体の形状によってしまいます.

hangyojin さん:
> 2本の経線って展開図にしたらホントに直線なんでしょうか?ボクには曲線にしか・・・。
> その前に展開図にできるんでしょうか??展開したら180度になるような・・・・・。

直線のことは後で述べます.
展開図で議論するのはよくありません.
球面を平面に展開するためには,
線の長さ,交差角度,面積などのいずれか(あるいは,いくつか)を犠牲にしないとできません.
地図にいろいろな図法があるのはこのためです.
例えば,メルカトール図法では経線と緯線の直交性を保っていますが,
ご承知のように極に近づくにつれて面積が拡大されてしまいます.
大体,極が一点にならずに線になってしまっているし...

nozomi500 さん:
> 私には、球面上に引いた直線、というのが納得できないのですが、
> そういうのもあり、の世界だとおもわなくちゃいけないのですかね。
> 直角を持っていても「正三角形」というの・・?

もともと直線は平面について規定されたものです.
それを球面に拡張するには直線の顕著な性質を手がかりにします.
大体,拡張の方式は皆そうですよね.
で,直線の顕著な性質は2点間の最短距離を与えるということです.
したがって,球面上での直線は,球面上にある2点間を最短距離で結ぶもの
(もちろん球面上のみを通ってですよ.球の内部を突っ切っちゃいけません)
ということになります.
これは,2点と球の中心との計3点で平面を作り,
その平面と球面との交差する線に沿うことになります.
いわゆる,航法の「大円コース」です.
同じ経度の2点なら,経線に沿えばOK.
でも,同じ緯度の2点では緯線に沿ってはダメです(赤道は除く).
北半球なら,メルカトール図法で見て,少し北にふくれた線が「大円コース」を与えます.
Islay さんのご回答にはこういう背景があります.
この場合の正三角形は,3辺が等しい球面三角形,ということでしょう.
球面上の三角形については,内角を A,B,C とするとき,その面積 S が
(1)  S = (A+B+C-π)r^2
であることが知られています.
こういうことを考えると,元の問題は球面上の話と思うのが妥当でしょう.
球面上の三角形の内角の和は必ずπより大きくなっています.

nozomi500 さん:
> しかし、それを拡大していけば、曲面であれば「球」である必要はない。
> 極端な話、赤道と経線で囲まれた「三角形」の真ん中が大きく窪んでいても
> OKということであれば、面積は確定しませんけれど。
それはそのとおりです.
全体のスケールはともかくとして,
内角の和だけで本質的に三角形の面積が決まるのは球面だからでしょう.

なお,馬の鞍の様な曲面(いわゆる,曲率負の曲面)上では,
三角形の内角の和はπより小さくなります.

球面三角法なんてずいぶん昔に読んだ話なので,記憶も大分薄れています.
--- 突っ込まれるとボロが出そうなことの予防線です(^^;).
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私には、球面上に引いた直線、というのが納得できないのですが、そういうのもあり、の世界だとおもわなくちゃいけないのですかね。


直角を持っていても「正三角形」というの・・?

しかし、それを拡大していけば、曲面であれば「球」である必要はない。極端な話、赤道と経線で囲まれた「三角形」の真ん中が大きく窪んでいてもOKということであれば、面積は確定しませんけれど。
(ひねくれた解釈だけは達者)
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計算間違ってましたね…恥ずかしい。



4a=2πr
r=2a/π
r(半径)2a/πである球面の面積の1/8となります。

s=4π(2a/π)/8
=a

これが正解かな?
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通常であれば三角形の内角は180度でありますし。

正三角形の面積を求めるのには角度は必要ありません。

正三角形の内角が270度になるケースというのは球面上で正三角形を描いた場合ではないでしょうか。

そうだとしたら、球面の赤道上に2点、北極に1点をとり、赤道上の2点の間隔を赤道の円周の1/4に取れば内角の和が270度の正三角形を描けます。

つまり、内角が270度の正三角形の面積は、
4a=πr
r=2a/π
r(半径)2a/πである球面の面積の1/8となります。

s=4π(2a/π)^2/8
=8a^2

となりませんか?
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Q三角形の内角の和は本当に180度か

三角形の内角の和は本当は180度より大きいということはないでしょうか?

どうしてそう思ったかといいますと、
例えばの話、球面上にいる二次元生物がいるとします。この二次元生物が球面上の北極を頂点、赤道の4分の1の長さを底辺とした三角形を描きます。この二次元生物にとっては各頂点は最短距離を結ばれていて三角形を描いているように思われますが、内角の和は270度になりますよね?
これを私達の3次元に拡張して、非常に離れた(宇宙の大きさと同じくらい離れた)3点を結び巨大な三角形をつくると同じように270度とかになったりすることがあるのかななどと思ってしまいましたが、何か大きな勘違いをしているのでしょうか?

Aベストアンサー

ユーグリッド幾何学の公理の中に
『一つの直線上に無い点を通り、その直線に平行な直線が
ただ一つ引ける』
というものがあります
一般的に平行線公理と呼ばれていますが
この公理があれば
三角形の内角の和が180°であることが証明できます

しかし、これは公理系から証明できるという問題で
実際にこの公理系に当てはまるモデルを考えなければ意味がありません
で、このユーグリッド幾何に当てはまるモデルが真っ平らな平面上での幾何学なのです

質問者さんが考えている球面上でのモデルでは
平行線公理が成り立たず
『一つの直線上に無い点を通り、その直線に平行な直線は存在しない』
となります、言い換えると
『2直線は必ず交わる』
となり、平行線公理の代わりにこの公理を取り入れたものが
非ユーグリッド幾何です

この非ユーグリッド幾何の公理系から導き出される定義の一つに
『三角形の内角の和は180°より大きい』
があります
つまり、球面上での幾何学は非ユーグリッド幾何のモデルであり
そのモデルでは確かに質問者さんの言うことは正しいのです

ちなみに、宇宙空間上で三角形を書いて
内角の和が本当に180°になるかと言うのは
数学の問題ではなく物理学の問題です
宇宙が明日消えてしまったとしても、平面に三角形を書いて内角の和を考えることは出来るのです、宇宙が消えてしまえば考える人も消えてしまいますが
(数学ではユーグリッド幾何が成り立つ、または成り立たないと最初に決めて話を進めます)

この問題に対する答えは、アインシュタインが相対性理論の中で出してくれていて
私たちの住む宇宙では、ユーグリッド幾何は近似的にしか成り立たないそうです
つまり、重力によって時空自体が歪められてしまう
私たちの宇宙では三角形の内角の和はだいたい180°にしかならないということですね

さらに補足ですが
球面は我々がユーグリッド幾何の範囲で考えているので
曲面に見えますが、非ユーグリット幾何ではその球面を
平面として扱います
まぁ、球面もユーグリッド幾何の意味で使ってますが
平面も、直線もいわゆる無定義語なので、公理系を満たせば何でも構わないんですね

ユーグリッド幾何学の公理の中に
『一つの直線上に無い点を通り、その直線に平行な直線が
ただ一つ引ける』
というものがあります
一般的に平行線公理と呼ばれていますが
この公理があれば
三角形の内角の和が180°であることが証明できます

しかし、これは公理系から証明できるという問題で
実際にこの公理系に当てはまるモデルを考えなければ意味がありません
で、このユーグリッド幾何に当てはまるモデルが真っ平らな平面上での幾何学なのです

質問者さんが考えている球面上でのモデルでは
平行...続きを読む

Q「三角形の内角の和が180度」の証明

「三角形の内角の和が180度」と習いましたが、
その証明は習いませんでした。
どうやって証明するのでしょうか?
三角形の種類は無限大にあります。
証明は難しいそうですが、案外サクッといくものなのでしょうか?

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

(1)錯角は等しい
(2)ある直線と平行で,直線外のある一点を通る直線はただ一つだけある

この二つを仮定します.

三角形に対して,どこか一辺に平行で
その辺にない頂点を通る直線を引きます.
三角形の内角を「錯角が等しい」の性質で
一直線上に並べることができます.
すなわち「和は180度」です.

Q(?_?) 数学の幾何で「三角形の内角の和は180度」と習いましたが、これは球体の上でもそうなんでしょうか?

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 もし180度でなければ、何度になるんでしょうか? 

Aベストアンサー

もう、回答は出てるみたいですけど、一応説明。

三角形の内角の和が180度というのは前出の様に
「ユークリッド空間」でのみ成り立つ話です。
「ユークリッド空間」というのはユークリッドさんの考えた公理が成り立つ空間のことで、普通の2次元平面のことです。

ユークリッドの5つの公理は以下の通りです。
1. 勝手な点と、これと異なる他の勝手な点とを結ぶ直線は、一つ、そしてただ一つ引くことができる
2. 勝手な線分は、これを両方への望むだけ延長することができる
3. 勝手な点を中心として、勝手な半径で円をかくことができる
4. 直角はすべて相等しい
5. 一直線が二直線に交わるとき、もしその同じ側にある内角を加えたものが二直角より小さかったならば、二直線はこの方向へ延長してゆけば、必ず交わる

見ての通り、5つ目の公理は妙に長いのがわかると思います。
で、「5つ目の公理っていらないんじゃん?」とか考えた人が沢山居たわけです。
そのうちの一人で有名なリーマンさんが考えた5つ目の公理が以下のものです。
「一点をとおって、この点を通らない直線と交わらない直線をひくことはできない」

これはよくよく考えると、球面のような空間のことでした。
で、地表面はリーマン空間に相当しますので、ユークリッドの公理から導かれる「三角形の内角の和は180度」というのは成り立ちません。
また、No.1でも書かれているように、その和は一定ではありません。

で、非ユークリッド空間は「一点を通って、この点を通らない直線と交わらない直線を無数にひくことができる」といった公理も取ることができて、
こちらの代表は双曲面だったりします。
こっちの場合に内角の和が180度より小さいとかの現象が出ます。
蛇足ですが、リーマン空間の三角形は頂点のを決めても二つできますのでご注意。三本の直線で区切られた空間のどちらが三角形の内角だか決まらないためです。

もう、回答は出てるみたいですけど、一応説明。

三角形の内角の和が180度というのは前出の様に
「ユークリッド空間」でのみ成り立つ話です。
「ユークリッド空間」というのはユークリッドさんの考えた公理が成り立つ空間のことで、普通の2次元平面のことです。

ユークリッドの5つの公理は以下の通りです。
1. 勝手な点と、これと異なる他の勝手な点とを結ぶ直線は、一つ、そしてただ一つ引くことができる
2. 勝手な線分は、これを両方への望むだけ延長することができる
3. 勝手な点を中...続きを読む

Q問1の理由を説明しなさいという問題で、『二等線三角形の底角は、等しい。内角の和は180度 外角の性質

問1の理由を説明しなさいという問題で、『二等線三角形の底角は、等しい。内角の和は180度 外角の性質により』の続きになんと書けばいいですか?

Aベストアンサー

点Oにおける2つの二等辺三角形の外角の合計は、180° で、
2つの二等辺三角形の底角の合計である∠ACBの2倍でもあるので、
∠ACB=180/2=90° である。

でどうでしょうか?(58歳)

Q"三角形の内角の和は180°"に関してです。

曲面とかだと、三角形の内角の和は180°にはならないという話を聞きました。
そこで質問なのですが、平面上ならば"絶対に180°"というのに例外はないのですか?
数学に詳しい方、よろしくお願いします。

Aベストアンサー

例外はありません。証明は自分で考えてください。


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