『L・DK』上白石萌音&杉野遥亮インタビュー!

以下の数学Iの問題を2時間考えてみましたがまったくわかりません。どなたか教えてください。
よろしくおねがいいたします

xの2次方程式x^2-kx+k+1=0が整数解を持つように整数kの値をもとめよ

判別式D=k^2-4k-4が何かの2乗になればいいのかなとおもったのですが、きちんとした回答の書き方がよくわかりません
よろしくおねがいします

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A 回答 (3件)

>判別式D=k^2-4k-4が何かの2乗になればいいのかなとおもったのですが



この方法でも解けます。

判別式D=k^2-4k-4=m^2 (mは正の整数)とする。
k^2-4k-4=(k-2)^2-8であるから、(k-2)^2-8=m^2。
従って、、(k-2)^2-m^2=(k+m-2)(k-m-2)=8.
k+m-2>k-m-2であるから、(k+m-2、k-m-2)=(8、1)、(4、2)、(-1、-8)、(-2、-4)の組み合わせがある。
この中で、条件に適するのはk=5、-1。
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kから攻めてみたらどうでしょう。



もとの式をkについて整理すると、(1-x)k=-x^2-1。
x=1のとき もとの式は2=0となるからx≠1なので、上の式を1-xで
割ると、k=(-x^2-1)/(1-x)
割り算を実行して、k=x+1-{2/(1-x)}
kは整数なので2/(1-x)も整数になる、つまり1-xは-2,-1,1,2のどれか
だから・・・
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数学Bを使っていいのなら簡単なのですが・・・・(以下「」内が数学B)


整数の解X=αをもつとする。「解と係数の関係から」、もう一つの解をx=βとしたとき、「α+β=k」となるので、βも整数。
このとき「αβ=k+1より、α+β+1=αβ」
移項して
αβーαーβー1=0
αβーαーβ+1=2
(αー1)(βー1)=2
αもβも整数なので(αー1, βー1)=(1,2),(2,1),(-1,-2),(-2,-1)というふうにやれば
α、βが出てくるのでその二つを足せばkがわかります。

数Iではちょっと思いつかないのでもしあとから思いついたら書きます。
というわけで「自信なし」扱いで・・・
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