No.2ベストアンサー
- 回答日時:
二つの確立は異なるものです。
統計確立P(E)=exp(-βE)/Z と量子力学の確立|c(j)|^2はまっとく次元がことなる概念です。最初に習うのは量子統計は(量子力学的)純粋状態のアンサンブル統計の理論です。つまり量子力学的な状態は純粋状態φ(n)を考えて物理量は量子力学の期待値<A>=<φ(n)|A|φ(n)> を考えます。さてここで量子力学状態φ(n)だけではなく熱揺らぎのためにφ(m)なんかの場合もあると言う状況を考え、そのときのm状態である確立をボルツマン因子
exp(-βE(m))/Zで平均操作を導入したものが
Aの量子統計期待値≡ Σ_m exp(-βE(m))<m|A|m>/Z
です。
量子力学的確立は密度行列を使って導入され
Aの量子期待値(混合状態)
=Σ_m exp(-βE(m))<m|A×ρ|m>/Z
と定義されます。ρ=|Ψ><Ψ| の場合には<m|Ψ>=c(m)とすると
Aの量子期待値(混合状態)
=Σ_{mn} exp(-βE(m))<m|A|n>c(n)c(m)^*
となり、ここで現れるc(n)c(m)^*がfrozenbreakさんの気にしている量子力学的確立です。しかしもっと一般化されていて、m、nという二つの状態の干渉項も入ってきます。 密度行列で調べてみてください。
丁寧な御回答ありがとうございます。
ということは、この場合の物理量とは純粋状態φnの平均<φn|A|φn>
があらかじめ前提だった、その上で統計力学的な
確率e^-βEn/Zでその物理量が実現するということなんですよね?<<熱揺らぎのためにφ(m)なんかの場合もあると言う状況を考え
逆に言うと熱揺らぎがないなら、常に同じエネルギー
固有状態が実現されているという意味ですよね。
密度行列については、計算してみたところ
Σ(m)<m|A×ρ|m>=Σ(m)<m|A|Ψ><Ψ|m>
=Σ(m)<m|A|Ψ>c(m)*=Σ(m)c(m)*<m|AΣ(n)<n|Ψ>|n>
=Σ(n)Σ(m)c(m)*c(n)<m|A|n>となり、atomicmoleculeさんのご提示された式との一致を見ました。
密度行列については今後勉強したいと思います。
参考になりました、ありがとうございました。
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