非常に簡単な質問で恥ずかしいですが・・・
自分で想定して解こうとするといまいちわからなくなってしまいました。

まず長さ2Lの軽い棒の両端に質量Mの球がついており、棒の中心を軸にして縦方向に静止しています。
次に角度θだけずらし、手を離しました。
その時の運動方程式はどうなりますか?


   M○
    |
    |
    軸      
    |
    |    
    M○

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A 回答 (4件)

 


  釣り合っているというのが答えです。
 
  式で考えれば、これは、棒は剛体として、支点で固定されている系です。
 
  θ角度動かして、離した時、棒に沿って座標を考え、これを、y軸、y軸と垂直な方向をx軸とします。
 
  すると運動方程式は、
 
  y軸: Mg(cosθ)+Mg(cosθ)-Fy=2M*(d^2y/dt^2)
  x軸: Mg(sinθ)+Mg(sinθ)-Fx=2M*(d^2x/dt^2)
 
  このようになりますが、y軸については、固定点で固定されており、Fyは、反作用力として支点から棒に作用し、結果的に、左辺の力はゼロになります。ただし、支点の支えることのできる強度が、作用力を越えた場合は、半作用力は働かず、差分について、y軸方向の運動を始めます。
 
  x軸についても、同じことが云えます。反作用力Fxが、力と均衡して起こり、棒の運動はありませんが、同様、支点の支える力を越える作用力が加われば、差分の力で運動し始めます。
 
  この問題の場合、支点を軸とする、偶力の存在を考えねばなりません。
  しかし偶力は、方向を考えると、
  LMg(sinθ)-LMg(sinθ)=0
 
  となって、偶力はゼロになり、支点を中心に、系が回転運動を始めることもありません。つまり、θ傾けて手を離すと、系はそのままの状態に安定します。
 
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この回答へのお礼

ありがとうございました。
よくわかりました。

お礼日時:2002/03/09 17:13

地上での実験ですよね。

高校の物理なら「動かない」で正解でしょう。
どうしてもってのなら、主に三つの力を考慮することになるでしょう。
一つ目は軸の摩擦。これは動かなければ関係ない。
二つ目はコリオリの力。地球が自転しているために生じる見掛けの力です。例えばこの実験を赤道上でやって、棒の回転軸が南北を向いていて(おもりの回転する平面が東西の線上にある)、しかも軸に摩擦がないなら、24時間で1回転する運動が見られるはず。
三つ目は潮汐力。おもりの一方が地球に近く、他方が遠いために、それぞれに働く地球の引力の大きさが違います。棒がうんと長い時に効いてきます。
この他にも、月や太陽から受ける潮汐力、回転に伴う空気抵抗、細かいものを挙げていけばきりがないですね。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。
よくわかりました。

お礼日時:2002/03/09 17:13

1の方に同じ。

どんな角度でも釣りあう。
なぜなら棒の中心が重心であり、題意の角度に対し常に釣り合うためそのまま動かない。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2002/03/09 17:12

説明と図を見た限りでは、この系は軸を中心として釣り合っているように思えます。


従って、角度をずらしても何も起こらないはずですが...。

以上。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。
確かに釣り合ってますよね。僕の想像では動くようなイメージがあって・・。
馬鹿げた質問すいませんでした。

お礼日時:2002/03/09 17:12

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ここで、
 d=m・λ/sin(θ)
 d'=m・λ/sin(θ')
がそれぞれ成り立っています。

測定値 θ' が θ から少しずれていた場合、
d の値も d' へとずれてしまいます。
θのずれをΔθ、dのずれを Δd とおくと
 θ' = θ + Δθ
 d' = d + Δd
ですね。

それでは実際にΔdを計算してみます。
 Δd = d' - d
    = mλ/sinθ' - mλ/sinθ
    = mλ{ 1/sin(θ+Δθ) - 1/sinθ }
    = mλ{ 1/{sinθ*cos(Δθ) + cosθ*sin(Δθ)} - 1/sinθ}
Δθ が小さいとき、cos(Δθ)≒1, sin(Δθ)≒Δθ とすると
    = mλ{ 1/{sinθ + Δθ*cosθ} - 1/sinθ }
    = (mλ/sinθ)*{ (1 + Δθ/tanθ)^(-1) -1 }
ここで x が小さいときに (1 + x)^n ≒ 1 + nx
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    = (mλ/sinθ)*(-Δθ/tanθ)
    = {- mλcosθ/(sinθ)^2} * Δθ
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微分を知っているならこのような作業をせずに、
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正しい角度 θ から計算した値を d、
測定した角度 θ' から計算した値を d' とします。
ここで、
 d=m・λ/sin(θ)
 d'=m・λ/sin(θ')
がそれぞれ成り立っています。

測定値 θ' が θ から少しずれていた場合、
d の値も d' へとずれてしまいます。
θのずれをΔθ、dのずれを Δd とおくと
 θ' = θ + Δθ
 d' = d + Δd
ですね。

それでは実際にΔdを計算してみます。
 Δd = d' - d
    = mλ/sinθ' - mλ/sinθ
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    = mλ{ 1/{sinθ*cos(Δθ) + cosθ*sin(Δ...続きを読む

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Kが偶数のとき、sintをこの範囲で積分すると、答えは2になります。|sint|を積分しても、2になります。
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