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1次元で、半無限方向に食塩が拡散する現象を考え、時間t、位置x、濃度C、拡散係数Dとして、フィックの第2法則
∂C/∂t=D×∂^2C/∂x^2
を解く問題です。
食塩部分は常に濃度Cs、無限遠方では濃度は0であることから、
初期条件、
C(x,0)=C∞=0
境界条件、
C(0,t)=Cs
C(∞,t)=C∞=0
です。
 課題の解法では、ここでθ=C-C∞とおき、拡散方程式を、
∂θ/∂t=D×∂^2θ/∂x^2
と変形し、初期条件、
θ(x,0)=0
境界条件、
θ(0,t)=Cs
θ(∞,t)=0
としています。ここでラプラス変換を行い、
 ∞
∫ e^-pt×θ(x,t)dt=Θ(x,p)
 0
とし、拡散方程式を変換するのですが、左辺はpΘ(x,p)になるのは分かったのですが、右辺の変換の仕方がわかりません。ヒントによると、
         ∞
D×∂^2/∂x^2∫□dt=□
         0
になるそうですが、□に入る式が分かりません。お願いします。

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A 回答 (1件)

>∂θ/∂t=D×∂^2θ/∂x^2


の両辺にe^(-pt)をかけて、tで積分しているだけだ、ということ

(大抵の場合は)tの積分とxの微分は入れ換えてもよいこと。

この2つはOKですか?
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。θが2変数関数なので積分と微分の入れ換えはできないのかなと思ってました。入れ換えたら解決しました。ありがとうございました。

お礼日時:2006/08/11 21:03

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Qフィックの第二法則について

フィックの第二法則について詳しく教えてください。

Aベストアンサー

拡散に関するフィックの法則でしょうか.偏微分の∂を用いて,
∂c/∂t=∂(D・∂c/∂x)/∂x
で表されます.cは濃度,tは時間,xは移動距離,Dは拡散係数です.

ですが,質問があまりにも漠然としていて,
これ以上の説明は難しいですね.
どのぐらいのバックグラウンド(専門的知識)があって,
何を聞きたいのか,わかりやすく書いてもらえると
答えやすいんですが・・・.

上式の偏微分方程式は適用範囲が広く,ケースバイケースで
さまざまな近似を置いて解いていきます.
たとえば,通常は場所によって拡散係数が変化しないので,
xに対してDは一定と考えられますから,
∂c/∂t=D・∂(∂c/∂x)/∂x
すなわち,右辺は,cのxに関する2階偏微分に拡散係数をかけたものになります.

とりあえず,そんなところでしょうか.

Qフィックの第二法則 導出

フィックの第二法則を第一法則を使って導出したいのですが、途中でつっかえています。
ウィキペディアを見ながら辿っているんですが、第二法則の「導出」の3つ目の式

J(x+dx)=・・・

の部分が理解できません。簡単な数学の話だと思うんですが・・・
どなたか解説お願いします。↓Wikiのページです
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%83%E3%82%AF%E3%81%AE%E6%B3%95%E5%89%87

Aベストアンサー

ただの線形一次近似じゃないでしょうか。
1変数関数の場合
f(x+dx)=f(x)+{df(x)/dx}dx
が成り立つことはわかりますか?
ジャンルがジャンルなんで詳しいことはわかりませんが、
ここではJxが多変数関数なのでdf(x)/dxのdが∂になってるんでしょう。

Qミラー指数:面間隔bを求める公式について

隣接する2つの原子面の面間隔dは、ミラー指数hklと格子定数の関数である。立方晶の対称性をもつ結晶では

d=a/√(h^2 + k^2 + l^2) ・・・(1)

となる。

質問:「(1)式を証明せよ」と言われたのですが、どうすれば言いかわかりません。やり方を教えてもらえませんか_| ̄|○

Aベストアンサー

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベクトルと全く同じになります。すなわち立方晶の(111)面の法線ベクトルは(1,1,1)ですし、(100)面の法線ベクトルは(1,0,0)です。法線ベクトルなら「ミラー指数」よりずっと親しみがあり解けそうな気分になると思います。

さて(hkl)面に相当する平面の方程式を一つ考えてみましょう。一番簡単なものとして
hx + ky + lz=0  (1)
があります。(0,0,0)を通る平面で法線ベクトルは(h,k,l)です。
これに平行な、隣の平面の式はどうでしょうか。
hx + ky + lz = a  (2a)
hx + ky + lz = -a  (2b)
のいずれかです。これがすぐ隣の平面である理由(そのまた間に他の平面が存在しない理由)は脚注*2に補足しておきました。
点と直線の距離の公式を使えば、題意の面間隔dは原点(0,0,0)と平面(2a)の間隔としてすぐに
d=a/√(h^2+k^2+l^2)  (3)
と求められます。

点と直線の距離の公式を使わなくとも、次のようにすれば求められます。
原点Oから法線ベクトル(h,k,l)の方向に進み、平面(2a)とぶつかった点をA(p,q,r)とします。
OAは法線ベクトルに平行ですから、新たなパラメータtを用いて
p=ht, q=kt, r=lt  (4)
の関係があります。
Aは平面(2a)上の点でもありますから、(4)を(2a)に代入すると
t(h^2+k^2+l^2)=a
t=a/(h^2+k^2+l^2)  (5)
を得ます。
ここにOAの長さは√(p^2+q^2+r^2)=|t|√(h^2+k^2+l^2)なので、これを(5)に代入して
|a|/√(h^2+k^2+l^2)  (6)
を得ます。OAの長さは面間隔dにほかならないので、(3)式が得られたことになります。

bokoboko777さん、これでいかがでしょうか。

*1 (h, k, l)の組が共通因数を持つ場合には、共通因数で割り互いに素になるようにします。例えば(111)面とは言いますが(222)面なる表現は使いません。
*2 左辺はhx+ky+lzでよいとして、なぜ右辺がaまたは-aと決まるのか(0.37aや5aにならないのは何故か)は以下のように説明されます。
平面をhx+ky+lz = C (Cはある定数)と置きます。この平面は少なくとも一つの格子点を通過する必要があります。その点を(x0,y0,z0)とします。
h,k,lはミラー指数の定義から整数です。またx0,y0,z0はいずれもaの整数倍である必要があります(∵格子点だから)。すると右辺のCも少なくともaの整数倍でなければなりません。
次に右辺の最小値ですが、最小の正整数は1ですから平面hx + ky + lz = aが格子点を通るかどうかを調べ、これが通るなら隣の平面はhx + ky + lz = aであると言えます。このことは次の命題と等価です。
<命題>p,qが互いに素な整数である場合、pm+qn=1を満たす整数の組(m,n)が少なくとも一つ存在する
<証明>p,qは正かつp>qと仮定して一般性を失わない。
p, 2p, 3p,...,(q-1)pをqで順に割った際の余りを考えてみる。
pをqで割った際の余りをr[1](整数)とする。同様に2pで割った際の余りをr[2]・・・とする。
これらの余りの集合{r[n]}(1≦n≦(q-1))からは、どの二つを選んで差をとってもそれはqの倍数とは成り得ない(もし倍数となるのならpとqが互いに素である条件に反する)。よって{r[n]}の要素はすべて異なる数である。ところで{r[n]}は互いに異なる(q-1)個の要素から成りかつ要素は(q-1)以下の正整数という条件があるので、その中に必ず1が含まれる。よって命題は成り立つ。

これから隣の平面はhx + ky + lz = aであると証明できます。ただここまで詳しく説明する必要はないでしょう。証明抜きで単に「隣の平面はhx + ky + lz = aである」と書くだけでよいと思います。

参考ページ:
ミラー指数を図なしで説明してしまいましたが、図が必要でしたら例えば
http://133.1.207.21/education/materdesign/
をどうぞ。「講義資料」から「テキスト 第3章」をダウンロードして読んでみてください。(pdfファイルです)

参考URL:http://133.1.207.21/education/materdesign/

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベ...続きを読む

Q活性化エネルギーの求め方が分かりません

ある反応において、35℃における速度定数が25℃の2倍になったという。
この反応の活性化エネルギーはいくらか求めたいのですが、わかりません。
教えてください!

Aベストアンサー

ryota7さんがお答えのように『アレーニウスの式』を利用すれば計算できると思いますよ。

『アレーニウスの式』では速度定数をk、頻度因子をA,活性化エネルギーEa、気体定数R、温度T(絶対温度)、ネピアの定数をeとすると

K=A×eの(-Ea/RT)乗  つまりK=Ae^(-Ea/RT)となります。

ここで、25℃における頻度因子、活性化エネルギーは35℃におけるそれらと等しい(この温度間で変化しない)と仮定します。
そして、25℃の時の速度定数、K(25℃)と35℃の時の速度定数、K(35℃)の比を計算します。

K(35℃)/K(25℃)は、問題の設定から2倍ですから、

K(35℃)/K(25℃)=2=A(35℃)e^(-Ea/RT1)/ A(25℃)e^(-Ea/RT2)となります。

ここではT1は35℃に相当する絶対温度で35+273(k)T2は25℃に相当する絶対温度で25+273(k)です。
また、この式から分かるように頻度因子は約分されてしまいます。

両辺の自然対数(底が10の常用対数ではありません。常用対数を使うのならば換算しなければなりません。)をとると

ln2=(-Ea/RT1)-(-Ea/RT2)

Ea/Rは共通なので

ln2=(Ea/R)(1/T2-1/T1)となります。

ここへT1,T2、Rを代入すればEaは簡単に計算できます。

用いる気体常数の単位に気をつけてください。
私が学生の頃は旧単位系なので1.987を用いていました。

これを用いると計算結果はカロリーで出てきます。
それをキロカロリーに換算して用いていました。
現在はSI単位系つまりKJ/molでないといけないと思いますが、考え方自体は変わらないはずです。

ちなみに、ln2=0.693として計算すると12.6kcal/mol(旧単位系)となりました。

ryota7さんがお答えのように『アレーニウスの式』を利用すれば計算できると思いますよ。

『アレーニウスの式』では速度定数をk、頻度因子をA,活性化エネルギーEa、気体定数R、温度T(絶対温度)、ネピアの定数をeとすると

K=A×eの(-Ea/RT)乗  つまりK=Ae^(-Ea/RT)となります。

ここで、25℃における頻度因子、活性化エネルギーは35℃におけるそれらと等しい(この温度間で変化しない)と仮定します。
そして、25℃の時の速度定数、K(25℃)と35℃の時の速度定数、K(35℃)の比を計算します。

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Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Q拡散定数から拡散速度を求めることは出来ますか?

拡散定数から拡散速度を求めることは出来ますか?


イオンや熱には拡散の速度を表す拡散定数という物性値があります。
これの次元はm^2/secで表されます。
この物性値をm/secの拡散速度に変換するためには、何の長さで割れば良いのでしょうか?

それと拡散の時定数を求めることは可能なのでしょうか?
時定数を求めるためには、もう一つ何かの長さが必要になるのでしょうか?
どなたか教えて下さい。

Aベストアンサー

拡散の流速の次元はm/secではありません。
定常状態拡散は
J=-Ddc/dx
の形でFickの第一法則と呼ばれるものです。
Jが流速でkg/(m^2・sec)あるいはmol/(m^2・sec)です。単位断面積当たり、単位時間当たりに流れる量です。
dc/dxが濃度勾配です。cがkg/m^3(あるいはmol/m^3)で、xが距離です。単位の長さ当たりの濃度の変化です。Dが拡散係数でm^2/secの次元を持ちます。拡散係数と濃度勾配を知ればJが出せます。

非定常状態では
∂c/∂t=D∂^2c/∂x^2(右辺は2階微分)
でこちらがFickの第二法則です。左辺が濃度の時間変化を表します。Dは拡散係数です。時定数というものがどのようなものについて出すのかわかりませんが、条件を与えてこちらの式を使うのではないでしょうか。

Q粒界拡散とは

粒界拡散とはどんなことでしょうか。できたら具体的な例で教えてください。おねがいします。

Aベストアンサー

拡散現象は酔歩問題(ランダムウォーク)を併せて議論されたりしますが、酔っ払いが一体どこにたどり着くかという問題に興味を持って、随分以前ですが少しだけ調べたことがあります(←大袈裟、ほんのさわりだけ)。
拡散の熱力学はmomotarosamuraiさんが書かれていますので異なる観点から少し述べてみます。
固体内の拡散機構として4つの機構が提案されています。
1)格子間機構:結晶格子間をランダム歩行しながら原子が移動。
2)空孔機構:熱励起や不純物の添加で生じた結晶中の空孔が隣接する原子と位置を交換しながらランダム歩行していく。
3)準格子間拡散機構:1)と2)を併せたようなもので、格子と格子の間に原子が移動して格子間原子となり、これが次々とランダム歩行していく。
4)リング機構:空孔のような格子欠陥の存在を必要とせず、隣接する原子同士がリングを作り、リングを作った原子が互いに同時に位置を交換し合い、この交換を順次繰り返して拡散していく。

拡散の種類として
1)固体内部の拡散を体積拡散
2)固体表面の原子が表面に沿って拡散するのを表面拡散
●3)粒界拡散:結晶粒界に沿って原子が拡散
→結晶粒界(結晶粒間に生じる界面)やその近傍では原子の配列が乱れていますので、その乱れのお陰で原子は拡散しやすいということになります。
4)転位拡散:結晶中の欠陥である転位(原子配列あるいは結晶格子の乱れが1つの線に沿って生じている欠陥)に沿って原子が拡散
尚、粒界拡散の具体例は「セラミックス」で検索されればそこそこでてくると思います。
下記URLはアルミニューム合金の拡散に関するレポートで拡散の概論を知る上で参考になると思います。

参考URL:http://inaba.nims.go.jp/diff/DIF_Hirano/DIF3/hirano3.html

拡散現象は酔歩問題(ランダムウォーク)を併せて議論されたりしますが、酔っ払いが一体どこにたどり着くかという問題に興味を持って、随分以前ですが少しだけ調べたことがあります(←大袈裟、ほんのさわりだけ)。
拡散の熱力学はmomotarosamuraiさんが書かれていますので異なる観点から少し述べてみます。
固体内の拡散機構として4つの機構が提案されています。
1)格子間機構:結晶格子間をランダム歩行しながら原子が移動。
2)空孔機構:熱励起や不純物の添加で生じた結晶中の空孔が隣接する原子と位置を交換...続きを読む

Q実空間と逆空間のイメージとつながり

X線回折や電子線回折などで用いる逆空間についての質問です。X線回折などの質問はすでに出ているようなのですが、私の聞きたいところはどうも無いようなので質問させていただきます。
逆空間の点は実空間の面に対応しているなどと本に書いてありますので知識としては知っていますが、実空間からどのように考え(どのように変換して)逆空間に対応しているのか間のイメージがはっきりとつかめません。なんとなくは分かるのですが。
実空間で長いものは逆空間では短くなる。その逆もそうですよね。逆空間で点になるのは球面はが広がった時に干渉して強め合ったところだけ出てきたってことですよね。
しかし、回折点がどの格子面に対応するのかがよく分かりません。(結晶の向きが分かっているってことなら、いいのですが。どこから面を透過してきた波なのか分からないのに基準はどこにとるのでしょう?)みなさんはどのようにはっきりとしたイメージが持てるようになりましたか、コツのようなものをお教えください。
ちなみに関連したことで、フーリエ変換というのも時間→(角)周波数ですから、単位を見て逆数になっているのでデルタ関数はいろんな周波数を含んでいるなぁとはなんとなく式を見て分かるのですが、こちらも(変換の過程の)イメージがはっきりしないのです。
どうもこれらの知識が繋がってきません。
これらのイメージを表示できるフリーソフトなどがあれば教えて下さい。
よろしくお願いします。

X線回折や電子線回折などで用いる逆空間についての質問です。X線回折などの質問はすでに出ているようなのですが、私の聞きたいところはどうも無いようなので質問させていただきます。
逆空間の点は実空間の面に対応しているなどと本に書いてありますので知識としては知っていますが、実空間からどのように考え(どのように変換して)逆空間に対応しているのか間のイメージがはっきりとつかめません。なんとなくは分かるのですが。
実空間で長いものは逆空間では短くなる。その逆もそうですよね。逆空間で点に...続きを読む

Aベストアンサー

逆空間は逆格子空間のことですね。例の結晶格子の基本ベクトルをa,b,cとし、逆格子ベクトルをa*,b*,c*とすると
a*=(b×c)/V、b*=(c×a)/V、c*=(a×b)/V
Vは結晶の単位胞の体積でV=a・(b×c)=・・・
一般に逆格子空間の原点から(h,k,l)なる逆格子点に至るベクトルをP(hkl)とするとP(hkl)=ha*+kb*+lc*は実空間の格子面(h,k,l)に垂直で大きさ|P|は(h,k,l)面の面間隔d(hkl)の逆数に等しいという性質を持っていますね。
以上、前書きが長くなりましたが、ご質問の
>実空間からどのように考え(どのように変換して)逆空
>間に対応しているのか間のイメージがはっきりとつかめ
>ません。
については結論から言って上に書いた関係をはがき程度のメモに絵を描いてポケットに忍ばせておき、時折その絵を眺めつつイメージをたくましくしていく以外にないのではないでしょうか。フーリエ変換の関係も同じです。
このあたりのイメージを強めていくのに下記URLが参考になると思います。そこには「マイクロ波による散乱実験を通して逆格子空間を体感する」とあります。がんばってください。
(P.S)
フリーソフトは知りませんが、バンド理論というキーワードで検索すればヒットするかも知れません。

参考URL:http://labeweb.ph.kagu.sut.ac.jp/LabExercise/micro/micro.html

逆空間は逆格子空間のことですね。例の結晶格子の基本ベクトルをa,b,cとし、逆格子ベクトルをa*,b*,c*とすると
a*=(b×c)/V、b*=(c×a)/V、c*=(a×b)/V
Vは結晶の単位胞の体積でV=a・(b×c)=・・・
一般に逆格子空間の原点から(h,k,l)なる逆格子点に至るベクトルをP(hkl)とするとP(hkl)=ha*+kb*+lc*は実空間の格子面(h,k,l)に垂直で大きさ|P|は(h,k,l)面の面間隔d(hkl)の逆数に等しいという性質を持っていますね。
以上、前書きが長くなりましたが、ご質問の
>実空間からどのように考え(どのように変換して)逆...続きを読む

Q偏差応力について

偏差応力は何なのでしょうか?
例えば、偏差応力が大きい場合はどういうことなのでしょうか?
どういう場合に考慮するのでしょうか?
どなたか分かりやすく教えて下さい。
よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

ここをご覧になってください。
   ↓
http://danso4.mech.okayama-u.ac.jp/応力.files/frame.htm#slide0066.htm

Q半導体の縮退って?

半導体の参考書など読んでいるとよく、「縮退」という言葉が出てきます。しかも、どうやらいろいろなケースで使われているようですが、いまいちよくわかりません。

例えば、
・フェルミ準位が伝導帯中や価電子帯中に位置してるとき。
・スピンが上下二種類埋まっているとき。

に関しては分かったのですが、縮退の一般的意味と共に、他のケースについて、どういったときに縮退というのか具体的に教えていただけませんか?
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

物理で縮退という用語は主に2つの意味で使われます.

(1) mmky さんご指摘の,
> 同じエネルギーをもつ状態が二つ以上いくつか存在すること.
例えば,クーロンポテンシャル中の荷電粒子のような中心力場では球対称性がありますから,
粒子のエネルギーは角運動量にはよりません.
p 軌道なら3重縮退,d 軌道なら5重縮退.
電子だったら,これにスピンの固有値による2重縮退が加わります.

(2) 電子気体(など)を量子統計で扱わないといけないか,
古典統計でよいかということがあります.
量子統計で扱わないといけない(低温)ときを「縮退している」といいます.
低温かどうかは考えている系のもつ特徴的なエネルギー(例えば,フェルミエネルギー)
を温度に換算したもの(フェルミ温度 T_F)との関連で決まります.
T << T_F なら縮退しています.
縮退ならフェルミ分布関数の分母にある1を無視できないし,
非縮退なら無視してよい(ボルツマン分布になる)というわけです.
sunny_day さんの
> フェルミ準位が伝導帯中や価電子帯中に位置してるとき。
は確かにそのとおりですが,これは縮退のもともとの定義ではありません.
フェルミ準位の位置の結果,そうなっているということです.
なお,フェルミ準位が禁制帯内にあっても,バンド端とのエネルギー差によっては
縮退していることもありえます.

(3) 分子遺伝学でも縮退という用語があります.
1種類のアミノ酸に対応し複数の遺伝子コドンが存在するときにこのように言うようです.
ここら辺は素人なのであまり自信がありません.

物理で縮退という用語は主に2つの意味で使われます.

(1) mmky さんご指摘の,
> 同じエネルギーをもつ状態が二つ以上いくつか存在すること.
例えば,クーロンポテンシャル中の荷電粒子のような中心力場では球対称性がありますから,
粒子のエネルギーは角運動量にはよりません.
p 軌道なら3重縮退,d 軌道なら5重縮退.
電子だったら,これにスピンの固有値による2重縮退が加わります.

(2) 電子気体(など)を量子統計で扱わないといけないか,
古典統計でよいかということがあります.
量子...続きを読む


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