1次元で、半無限方向に食塩が拡散する現象を考え、時間t、位置x、濃度C、拡散係数Dとして、フィックの第2法則
∂C/∂t=D×∂^2C/∂x^2
を解く問題です。
食塩部分は常に濃度Cs、無限遠方では濃度は0であることから、
初期条件、
C(x,0)=C∞=0
境界条件、
C(0,t)=Cs
C(∞,t)=C∞=0
です。
課題の解法では、ここでθ=C-C∞とおき、拡散方程式を、
∂θ/∂t=D×∂^2θ/∂x^2
と変形し、初期条件、
θ(x,0)=0
境界条件、
θ(0,t)=Cs
θ(∞,t)=0
としています。ここでラプラス変換を行い、
∞
∫ e^-pt×θ(x,t)dt=Θ(x,p)
0
とし、拡散方程式を変換するのですが、左辺はpΘ(x,p)になるのは分かったのですが、右辺の変換の仕方がわかりません。ヒントによると、
∞
D×∂^2/∂x^2∫□dt=□
0
になるそうですが、□に入る式が分かりません。お願いします。
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