部分分数展開ってどうするものなんでしょうか。なんか未定係数法というものを途中で使うそうですが。
よろしくお願い致します。

A 回答 (2件)

 部分分数展開(部分分数分解ともいいます)とは、分数式を簡単な分数式の和や差で表すことですね。

例えば、
 6x^2-x-3  A   B  C
 -----=--+--+-       (1)
  x^3-x  x-1 x-1 x
というように、A、B、Cを求めることです。ちなみに右辺の分母は左辺の分母を因数分解から求められています。
 このように、未知の係数を含む整式(右辺)が、ある与えられた整式(左辺)と恒等的に等しくなるように未知係数を決定する方法を未定係数法といいます。
 実際にやってみましょう。式(1)の分母を払って、
 6x^2-x-3=Ax(x+1)+Bx(x-1)+C(x+1)(x-1)   (2)
ここで、
 x=1とおくとA=1、
 x=-1とおくとB=2、
 x=0とおくとC=3
となり、これが部分分数展開の一例です。
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#1の訂正です。

式(1)の右辺第2項は、
  B
 --
 x+1
です。お詫びして訂正いたします。
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この回答へのお礼

分かりやすい解説どうもありがとうございます。とても助かりました。

お礼日時:2000/12/31 01:02

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As/((s^2+Ω^2)(s+k))=a/(s+k) +bs/(s^2+Ω^2) +cΩ/(s^2+Ω^2)…(★)
と部分分数展開できれば直ちにラプラス変換表を使って
逆ラプラス変換
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が求まりますね。

a,b,cは(★)の両辺に(s^2+Ω^2)(s+k)をかけて、左辺、右辺を多項式に展開してsの恒等式条件を使って、各次の係数を比較して連立方程式を解けば(未定係数法)a,b,cが求められます。
また以下のようにしても求められます。

a={As/((s^2+Ω^2)(s+k))}*(s+k) [s→-k]
={As/(s^2+Ω^2)} [s→-k]
=-Ak/(k^2+Ω^2)
bs+cΩ={As/((s^2+Ω^2)(s+k))}*(s^2+Ω^2) [s→jΩ]
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=AjΩ(k-jΩ)/(k^2+Ω^2)=AΩ(Ω+jk)/(k^2+Ω^2)
実部と虚部を比較して
b=Ak/(k^2+Ω^2), c=AΩ/(k^2+Ω^2)
と係数a,b,cが求まります。

As/((s^2+Ω^2)(s+k))=a/(s+k) +bs/(s^2+Ω^2) +cΩ/(s^2+Ω^2)…(★)
と部分分数展開できれば直ちにラプラス変換表を使って
逆ラプラス変換
ae^(-kt) +bcos(Ωt) +csin(Ωt)
が求まりますね。

a,b,cは(★)の両辺に(s^2+Ω^2)(s+k)をかけて、左辺、右辺を多項式に展開してsの恒等式条件を使って、各次の係数を比較して連立方程式を解けば(未定係数法)a,b,cが求められます。
また以下のようにしても求められます。

a={As/((s^2+Ω^2)(s+k))}*(s+k) [s→-k]
={As/(s^2+Ω^2)} [s→-k]
=-Ak/(k^2+Ω^2)
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QGM計数管 計数率の求め方

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放射線の計数の統計は、poisson分布をなします。
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1/{(x^2)(x+1)}=(a/x^2)+b/(x+1)…(1)
これはxについての恒等式でないといけないことは分かりますね。

両辺に(x^2)(x+1)を掛けた
1=a(x+1)+bx^2
これもxについての恒等式でないといけないですね。
しかし、恒等式になりえませんね。
(xの各次の係数条件a=1,a=0,b=1を満たすa,bが決定できないです)

なぜxの恒等式になっていないかといえば、
(1)のように置けないから恒等式にならないのです。

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1=a+(a+b)x+(b+c)x^2
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a=1,a+b=0,b+c=0
b=-1,c=1
とa,b,cが決まります。
このa,b,cの組を(2)式に代入すれば部分分数展開が得られます。

>なぜこう置いてはいけないのでしょうか?

1/{(x^2)(x+1)}=(a/x^2)+b/(x+1)…(1)
これはxについての恒等式でないといけないことは分かりますね。

両辺に(x^2)(x+1)を掛けた
1=a(x+1)+bx^2
これもxについての恒等式でないといけないですね。
しかし、恒等式になりえませんね。
(xの各次の係数条件a=1,a=0,b=1を満たすa,bが決定できないです)

なぜxの恒等式になっていないかといえば、
(1)のように置けないから恒等式にならないのです。

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調べてみましたが、専門でない悲しさ、一体何処をみたら電子線が反射されるかどうか分かるのか、分からない。
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(4x^4+2x^3+10x^2+3x+9)/((x+1)(x^2+9)^2) は、
分母の因子 (x+1) と (x^2+9)^2 が互いに素なので、
(4x^4+2x^3+10x^2+3x+9) = (xの多項式)(x^2+9)^2 + (xの多項式)(x+1) ←[1]
という分解ができます。

ユークリッド互除法から派生して、
{(x+1) と (x^2+9)^2 の最大公約式} = (xの多項式)(x^2+9)^2 + (xの多項式)(x+1)
という式が成立します。いわゆる「ベズーの等式」です。
詳しくは、代数学の入門書でも読んでください。
この式の両辺を (4x^4+2x^3+10x^2+3x+9) 倍すれば、
[1]の式になります。

0 = (x+1)(x^2+9)^2 - {(x^2+9)^2}(x+1)
を使って次数下げをすると、
[1]右辺の (xの多項式)(x^2+9)^2 と (xの多項式)(x+1) は
どちらも 4 次以下でよく、
(4x^4+2x^3+10x^2+3x+9) = (定数式)(x^2+9)^2 + (xの3次式)(x+1)
と変形できます。

両辺を (x+1)(x^2+9)^2 で割れば、
(4x^4+2x^3+10x^2+3x+9)/((x+1)(x^2+9)^2) = (定数式)/(x+1) + (xの3次式)/(x^2+9)^2 ←[2]
です。

右辺の (xの3次式)/(x^2+9)^2 の分子を (x^2+9) で割ると、余りつき除算で
(xの3次式) = (xの1次式)(x^2+9) + (xの1次式) となります。
これを[2]式へ戻せば、
(4x^4+2x^3+10x^2+3x+9)/((x+1)(x^2+9)^2) = (定数式)/(x+1) + (xの1次式)/(x^2+9) + (xの1次式)/(x^2+9)^2
と書けます。

あとは、各係数を文字で置いて、求めてゆけばよいですね。

日常の応用では、既知として済ませる部分ですが…

(4x^4+2x^3+10x^2+3x+9)/((x+1)(x^2+9)^2) は、
分母の因子 (x+1) と (x^2+9)^2 が互いに素なので、
(4x^4+2x^3+10x^2+3x+9) = (xの多項式)(x^2+9)^2 + (xの多項式)(x+1) ←[1]
という分解ができます。

ユークリッド互除法から派生して、
{(x+1) と (x^2+9)^2 の最大公約式} = (xの多項式)(x^2+9)^2 + (xの多項式)(x+1)
という式が成立します。いわゆる「ベズーの等式」です。
詳しくは、代数学の入門書でも読んでください。
この式の両辺を (4x^4+2x^3+10x^2+3x...続きを読む

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Aベストアンサー

これは明らかに窒息現象です。
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酷い場合は90%以上になることがあります。このような場合、計数率は全く当てに
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http://www.bousai.ne.jp/visual/bousai_kensyu/glossary/ti05.html

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4/s(s^2+4)=A/s+(Bs+C)/(s^2+4) (1)
部分分数展開のポイントは
(i)(1)の右辺第1項の分母はsの1次式ですから分子はsの0次式である定数Aと置きます。
(ⅱ)(1)の右辺第2項の分母はsの2次式ですから分子はそれより一つ次数の少ない1次式(Bs+C)と置きます。
あとは、(1)式の右辺を通分して計算し、この分子が左辺の分子と等しいことから定数A,B,Cを求めます。
やってみましょう。
(1)の右辺={A(s^2+4)+s(Bs+C)}/s(s^2+4)
={(A+B)s^2+Cs+4A}/s(s^2+4) (2)
(2)の分子は(1)より4に等しいのですから
4=(A+B)s^2+Cs+4A (3)
ここで(3)が成り立つためには
A+B=0、C=0、4A=4
でなければなりません。これから A=1、B=-1と求まります。この結果(1)の左辺に代入すると
4/s(s^2+4)=1/s-1/(s^2+4)
となりますね。上に書いたポイントにポイントを置いて部分分数展開をモノにして下さい。それでは。

与式F(s)を(1)のように部分分数展開します。ここでA,B,Cは定数です。
4/s(s^2+4)=A/s+(Bs+C)/(s^2+4) (1)
部分分数展開のポイントは
(i)(1)の右辺第1項の分母はsの1次式ですから分子はsの0次式である定数Aと置きます。
(ⅱ)(1)の右辺第2項の分母はsの2次式ですから分子はそれより一つ次数の少ない1次式(Bs+C)と置きます。
あとは、(1)式の右辺を通分して計算し、この分子が左辺の分子と等しいことから定数A,B,Cを求めます。
やってみましょう。
(1)の右辺={A(s^2+4)+s(Bs+C)}/s(s^2+4)
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Qガイガー計数管

ガイガー計数管の手持ちがあって、電圧については625Vとテストデーターがあるのですが、直列抵抗の値が不明です。こういう場合別の種類の計数管で2MΩというものもあるので、この程度の抵抗を付けておけば宜しいのでしょう。詳しい方、お教え願います。ガイガー計数管の型番はGMH-B-2東芝製です。2MΩと言うのはガイガー計数管D3372浜松ホトニクス製の値です。

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Q2階定係数線形非斉次微分方程式(未定係数法)

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下記URLの第19,20回が参考になるのでは?

参考URL:http://www.ss.u-tokai.ac.jp/~ooya/Jugyou/4KHouteishiki/


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