多項式の因数分解がわかりません'`

－3χ2+12

4χ2+8χ+4

このような問題があるのですが、解き方がわかりません;
どなたか解き方を教えてください。
（4χ2や－3χ2の2は二乗ということです）

No.1 回答者： noname#34754 回答日時： 2006/08/18 09:53

上の問題

-3（χ2-4）＝-3（ｘ+2）×（ｘ-2）
まず、－３でくくる。次に、χ2-4を因数分解する。

下の問題
（4χ+2）の二乗が答えなのですが…解説できません。
慣れるとできるようになります。
因数分解はなれると簡単ですよ。

No.2 回答者： ozunu 回答日時： 2006/08/18 10:03

2問目も考え方は同じです。

共通因数4でくくれば、公式のまんまの式が見えるはずです。
(4x+2)^2が答えと下の方は書かれていますが、これは2重の意味で間違い。

No.3 回答者： KENZOU 回答日時： 2006/08/18 10:07

－3χ^2+12=-3(χ^2-4)=-3(χ+2)(χ-2)

4χ^2+8χ+4=4(χ^2+2χ+1)=4(χ+1)^2

問題としては決して難しくはありませんが，因数分解の基本的考えを学習しておくことが必要ですね。そこで，
(1)基本的な学習↓
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/math/index_m.htm
の３年のところを参照。
(2)因数分解の練習問題↓
http://www.vector.co.jp/soft/win95/edu/se108828. …
これはフリーソフトで問題と正解を示してくれます。
等で練習を積まれると因数分解のコツが掴めると思います。がんばってトライしてみてください。
尚，二乗は普通^(ハットといいます）という記号であらわします。

No.4 回答者： pianopop 回答日時： 2006/08/18 10:14

２番目の問題でいきましょう。

(1)まず、答えは(ax+b)(cx+d)と一般化できるので、
　このa～dを求めるための便宜的な表を下記のように
　紙に書いてください。

a b －e
×
c d －f

　ここでe=bc、f=adのことです。
　一般化した答えを展開すると、
　(ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd
　となり、右辺第2項のad+bcをe+fと置き換えただけです。
　つまり、
　(ax+b)(cx+d)=acx^2+(e+f)x+bd
　にしたわけです。

(2)ここからが本番。
　自分で推測を立てなければいけません。
　さっきの表

a b －e
×
c d －f

　を使います。
　まず、ac=4、bd=4となるaとc、bとdを推測します。
　こればっかりはどうしても、推測になります。
　ここではabcdともに答えになる2としましょう。
　（当然a=4、c=1という推測もありえます）

(3)次に推測したabcdをもとにe、fを求めます。
　ad=f、bc=eなので、
　f=2、e=2となります。よってe+f=4になりました。

(4)これを一般の式に入れてみましょう。
　(ax+b)(cx+d)=(2x+2)(2x+2)
　この右辺を展開します。
　(2x+2)(2x+2)=4X^2+8x+4
　問題と一致しました。
　つまり答えは(2x+2)(2x+2)で合っているということです。
　これで正解になります。

＜まとめ＞
　このパターンの問題のキモは
　「確実な解き方があるわけでなく、推測しなければいけない」
　ことです。明確な道順がないので、
　表を自分で書いて、答えを推測し、その答えで合うか確認する
　この3ステップが必要になります。
　
　どうしてもそれまでの数学とは違うので、
　私も慣れるまで多少時間がかかりました。
　まずは推測することに慣れるために、
　問題をたくさん解くべきかと思います。

No.5 回答者： pianopop 回答日時： 2006/08/18 10:18

ごめんなさい。

この問題の例だと、No.1の方が言うように、
各項に共通する約数でくくるだけの問題でしたね。
この例だけなら中3レベルかと思いますので、
No.1の方の回答でいいかと思います。

私が長々とお話したのは、
共通する約数でくくれない、高1レベルの因数分解でした。
こっちははるかにレベルが上がるので、
将来勉強する際の参考にしてください。

今回の回答は参考程度にしてください。
分からなくても気になさらずに（笑）

No.6 ベストアンサー 回答者： Musicful-hearts 回答日時： 2006/08/18 22:23

中学生の因数分解は、

(1)共通因数でくくる→(2)展開公式に当てはめる
が基本です。

展開公式は
(x+a)^2=x^2+2ax+a^2(x^2はxの2乗という意味)
(x-a)^2=a^2-2ax+a^2
(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab
(x-a)(x-b)=x^2-(a+b)x+ab
(x+a)(x-a)=x^2-a^2

χは面倒なのでxと表記します。

-3x^2+12
共通因数(-3)でくくると、
-3(x^2-4)
4は2^2なので、展開公式の上から5つ目に当てはめる
-3(x+2)(x-2)

4x^2+8x+4
共通因数(4)でくくると
4(x^2+2x+1)
展開公式の一番上に当てはめる
4(x+1)^2