惑星(質量m)が太陽(質量M、半径R)を中心として
楕円運動(長径a、短径b)する時の
角運動量と全エネルギーEの出し方を教えてください。
 
円軌道の場合は判りました。
楕円軌道という事でケプラーの法則を使うのは判ったのですが・・・。

宜しくお願いします。

A 回答 (6件)

今度は楕円の基礎。

http://www.d1.dion.ne.jp/~ksanuki/daen.htm

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/area/elli …

計算天文学IIの
ここのハンドアウトのHTMLに式は全部乗ってる。

http://grape.astron.s.u-tokyo.ac.jp/~makino/koug …

これも、プログラム目的のもの。

分かりやすい本を数冊買うのが
解決に一番早いと思う。

参考URL:http://grape.astron.s.u-tokyo.ac.jp/~makino/koug …
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ご丁寧に本当に有難うございます。
 まだ全部を理解しておりませんが、回答して頂いたのを参考に勉強いたします。

お礼日時:2006/08/20 12:52

それと、万有引力による2個の円運動。


これは、軌道を理解したのとちがーよ。^_^;

ここから、
円運動にバック!
http://www12.plala.or.jp/ksp/formula/physFormula …

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AD%89%E9%80%9F% …

http://www.narasaki.co.jp/quiz/q_021.htm

http://www.ishikawa-nct.ac.jp/lab/G/asoka/www/ta …

ケプラー式は、万有引力による2個の
楕円運動。

位置速度、距離による重力変化、力向きだから、
惑星から見たもの。
外からも見た方がいーよ。
    • good
    • 0

いいかい?


360日で一周する軌道を書く。
この円周長を出す。

この物体は、直線ABの、
点A、点Bを360日で進む。(等速度運動)

これをまた楕円に戻す。
X上と、Y上での、見かけの移動量が違う。

つまり、X上と、Y上1度辺りの円周の長さを出す。
移動角度を出す。
面積を出す。
1度での円周長を出す。

どー見ても、質量はいらねーだろ?

ここから、ケプラーに入る。
いきなりケプラーは危険だ。
    • good
    • 0

今度は計算であそぼーよ^^



円を半径まで切ってびろーんと広げる。
と、
半径が高さ。
円周が底辺になる。

半径5
円周31.4

高さ5、底辺、31.4

5*31.4/2=78.5

半径5
5^2*3.14=78.5

^0^

このあっぱらぱー三角形がこーなる。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E5%BA%A7% …

これは、プログラム式と同じだから円の描けるプログラムを探すといーぞ。

も、一回円をやり直せ。(徹底的に積分を使え)
それと、#1さんの楕円。
プログラムを使って描け。

ここをもう一度やり直す。

#2さんの
(7)θ'=h/r^2は、前書いたろ?
E=(1/2)m(r'^2+r^2θ'^2)+GmM/r
ここいらもケプラー

馬鹿な俺は、
点Pを円で計算、角度10度で面積を出す。^^
問題は、
1度辺りのX,Yの変化が、
円の時とどう違うかだろう。

楕円上を軌道させよ。

Aの1度移動の速度と、Bの1度の速度(円周)
は違うだろう?

もちろん、
Vは一定だから
Aでは細い三角、Bでは太い三角になる。
この面積は同じだそうだ。

とりあえず、
足場を構築する事。

理解せずに前には行くな。

これは、算数の遊びだよん。^^
    • good
    • 0

物理学を専攻されているとのことですから,ある程度省略して書きますが(←大抵の力学のテキストに載っていると思いますので,それらで補充してください),


惑星の運動をx-y平面内に限定されているとします。太陽を原点,惑星の座標を(x,y),惑星は反時計回りに周回しており,x軸とのなす角をθとします。
(1)x=rcosθ,y=rsinθ
惑星の運動エネルギーをTとすると
(2)T=(1/2)m(r'^2+r^2θ'^2)
ラグランジアンをL,ポテンシャルエネルギーをU(r)とすると
(3)L=T-U=(1/2)m(r'^2+r^2θ'^2)-U(r)
Euler-Lagrangeの運動方程式より
(4)(∂L/∂r)-d/dt(∂L/∂r')=mrθ'^2-U'(r)-mr''=0
(5)(∂L/∂θ)-d/dt(∂L/∂θ')=-d/dt(mr^2θ')=0
ここで(5)はz成分の角運動量(lz=mr^2θ')保存則をあらわしていますね。ここでlzの値をmhと書くことにしますと
(7)θ'=h/r^2
これを(4)に代入するとrに対する運動方程式(8)が得られます。
(8)mr''=m(h^2/r^3)-U'(r)
ここで運動方程式を見やすくするために次の変数変換を施します。 
(9)u=1/r,r^2U'(r)=mh^2f(r)とおくと,軌道方程式として
(10)d^2u/dθ^2+u=f(1/u)
が得られる。fはポテンシャルの形によって決まる関数です。そこでポテンシャルとして万有引力ポテンシャルをとり,U(r)=-GmM/rとします。今,M≫mですので,換算質量μはμ=mとおくことができますので,以下のmは換算質量と読み替えてください。(9)よりf(r)=GM/h^2。これを(10)に入れて
(11)d^2u/dθ^2+u=GM/h^2
この微分方程式を解くと軌道の方程式
(12)r=l/(1+εcosθ) (ε>0,l=h^2/GM)
が得られます。εは離心率で楕円はε<1。
相対運動のエネルギーをEとするとE=T+Uですから
E=(1/2)m(r'^2+r^2θ'^2)+GmM/r (m:換算質量) (7)を代入して整理すると
(13)(m/2)r'^2=(Er^2+GmMr-(1/2)mh^2)/r^2
ところでr'はrが極大(θ=π),極小(θ=0)のときにr'=0となりますから,(12)よりrmax=l/(1-ε),rmin=l/(1+ε)
(13)で左辺を0とした場合,右辺のrの2次方程式はrmax,rminの2根を持つことになりますから,根と係数の関係より
(14)rmax+rmin=-GmM/E,rmax・rmin=-mh^2/2E
これから
E=-(GmM/2l)(1-ε^2)が得られます。
ちょっとゴタゴタしましたが力学のテキストを参照しながらフォローしてみてください。尚,山内恭彦他編大学演習力学(裳華房)も参考になると思います。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

まだ大学物理をはじめたばかりなので、ラグランジアン等は習っていないのです・・。力学のテキスト参考にしてみます。
 有難うございました。

お礼日時:2006/08/20 12:54

高校レベルでの話でしょうか?



それより上のレベルの話であれば…
楕円軌道自体が分かっているのであれば、
軌道上での速度ベクトルの方向は算出可能なので、
早さが分かれば、そこから角運動量を出すことが
可能なはずです。
速度の絶対値は、全エネルギーから算出が可能です。
全エネルギーに関しては、楕円軌道上の点によって
ポテンシャルが算出可能なので、そこから
求めることが可能です。

どちらにしろ初期状態の情報が無いので決定できない
パラメーターが生じます。

楕円の焦点を求める方法は
(sqrt(a^2-b^2),0)
で、
軌道上の点は角速度をwとして
(1/a*coswt,1/b*sinwt)

軌道上の速度ベクトルは
w(-1/a*sinwt,1/b*coswt)


角運動量を求めることが出来る…

参考URL:http://www.crossroad.jp/mathnavi/kousiki/zutohou …
    • good
    • 0
この回答へのお礼

角運動量の求め方は判りました。
 有難うございます。

お礼日時:2006/08/20 12:55

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q楕円の円周の長さ

現在,コンペに応募するためにインテリアのデザインを考えています.楕円をうまく利用して美しいインテリアを作ろうと考え,とりあえず模型を作ってみようと思ったのですが,楕円の円周の長さがわからずに困っています.楕円の円周長さを求めるためには確か積分を使うと思うのですが,どうしても思い出せません.教えていただけないでしょうか.

Aベストアンサー

Mathematica でやってみたところ 4525.88 mm です.
半径 1000 mm の円ですと周長は 2×π×1000 = 6283.19 mm
半径 500 mm の円ですと周長は 2×π× 500 = 3141.59 mm
ですから,問題の楕円の周長は当然ながら両者の間にあります.

もし,長径 2000 mm,短径 1000 mm なら 周長は 4525.88 mm の2倍です.

Q惑星軌道が作る楕円の長径

太陽系惑星の長径と周期をつかってグラフを書かなければいけないのですが、与えられたデータ(近点距離、近点黄径、近点速度、遠点距離、周期)から長径を出す方法がわかりません。
遠点距離+近点距離でいいのかな?と思ったのですが、手持ちのテキストには載っていなく不安なので質問させていただきました。
解答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

その通りです。

Q回転した楕円を任意の直線に投影した長さの求め方

回転した楕円を任意の直線に投影した長さの求め方

長軸を2a、短軸を2bとした場合の楕円x^2/a^2+y^2/b^2=1(楕円上の点は(a*cosθ、b*sinθ))を、長軸とx軸との角度φとして回転させ、原点を通る任意の直線(例えばx軸との角度ψが10度の直線)に投影した長さ(例えば、x軸(ψ=0)なら楕円が収まる長方形の横の長さ)の求め方が分かりません。

今のところの考えでは、
(1).回転後の楕円を求める。
⇒x^2+y^2=a^2*(cosφ)^2+b^2*(sinφ)^2
(楕円上の点は(a*cosθ*cosφ-b*sinθ*sinφ、a*sinθ*cosφ+b*cosθ*sinφ))
(2).投影する直線の式を求める。
⇒?
(3).(2)の直線と(2)の直線の垂線で楕円と1点で接する直線の交点の座標を求める。
(4).(3)の点と原点との距離を算出し、投影した長さを求める。
というように考えていますが、(2)のところで行き詰ってしまっています。

長くなりましたが、
・そもそも、この考えかたは合っているのでしょうか。
・あっている場合、(2)以降を教えていただけると助かります。
・他に計算が楽になる求め方は無いでしょうか。
よろしくお願いします。

回転した楕円を任意の直線に投影した長さの求め方

長軸を2a、短軸を2bとした場合の楕円x^2/a^2+y^2/b^2=1(楕円上の点は(a*cosθ、b*sinθ))を、長軸とx軸との角度φとして回転させ、原点を通る任意の直線(例えばx軸との角度ψが10度の直線)に投影した長さ(例えば、x軸(ψ=0)なら楕円が収まる長方形の横の長さ)の求め方が分かりません。

今のところの考えでは、
(1).回転後の楕円を求める。
⇒x^2+y^2=a^2*(cosφ)^2+b^2*(sinφ)^2
(楕円上の点は(a*cosθ*cosφ-b*sinθ*sinφ、a*sinθ*cosφ+b*cosθ*sinφ))
(2)...続きを読む

Aベストアンサー

まず、角度φだけ回転した楕円を角度-φ回転し直して標準形(x^2/a^2+y^2/b^2=1)に戻します。このとき、もとの座標でx軸となす角がψだった直線は-φの回転でx軸とのなす角が(ψ-φ)の直線になります、すなわち、この直線をLとすると、
 L: y=tan(ψ-φ)・x
という直線になります。一方、公式により、楕円上の点(x0,y0)における楕円の接線Tは、
 T: (x0/a^2)x+(y0/b^2)y=1
と表わせるので、この接線の傾きが直線Lと垂直になるような点(x0,y0)を探します。接線Tの傾きmは、
 m=-(b^2/a^2)(x0/y0)
となるので、いま楕円上の点(x0,y0)を極座標表示で(a*cosθ、b*sinθ)と表わすと、
 m=-(b^2/a^2)(a*cosθ/b*sinθ)=-(b/a)(1/tanθ) ... (1)
となります。この傾きが、直線Lの傾きtan(ψ-φ)と直交するためには、
 m*tan(ψ-φ)=-1 ... (2)
とならなければいけません。すなわち、(1)、(2)式から、
 -(b/a)(1/tanθ)*tan(ψ-φ)=-1
 ⇒ tanθ=(b/a)*tan(ψ-φ) ... (3)
となります。ここで、
 cosθ=1/√(1+tanθ^2)
 sinθ=tanθ/√(1+tanθ^2)
なので、(3)式を代入して整理すると、
 cosθ=a/√(a^2+b^2*tan(ψ-φ)^2)
 sinθ=b*tan(ψ-φ)/√(a^2+b^2*tan(ψ-φ)^2)
よって、
 x0=a*cosθ=a^2/√(a^2+b^2*tan(ψ-φ)^2)
 y0=b*sinθ=b^2*tan(ψ-φ)/√(a^2+b^2*tan(ψ-φ)^2) ... (4)
となります。いま、このようにして点(x0,y0)が求まったとすると、求める投影された線分の長さは原点(0,0)から接線Tまでの距離の2倍になります。そこで、原点から接線Tまでの距離をdとすると、点と直線との距離の公式により、
 d=|(x0/a^2)*0+(y0/b^2)*0-1|/√((x0/a^2)^2+(y0/b^2)^2)
  =1/√((x0/a^2)^2+(y0/b^2)^2)
  =a^2*b^2/√(b^4*x0^2+a^4*y0^2)
となります。よって求める投影線の長さは、
 2*d=2*a^2*b^2/√(b^4*x0^2+a^4*y0^2)
となります。あとは上の式に(4)の(x0,y0)を代入するだけです。
 

まず、角度φだけ回転した楕円を角度-φ回転し直して標準形(x^2/a^2+y^2/b^2=1)に戻します。このとき、もとの座標でx軸となす角がψだった直線は-φの回転でx軸とのなす角が(ψ-φ)の直線になります、すなわち、この直線をLとすると、
 L: y=tan(ψ-φ)・x
という直線になります。一方、公式により、楕円上の点(x0,y0)における楕円の接線Tは、
 T: (x0/a^2)x+(y0/b^2)y=1
と表わせるので、この接線の傾きが直線Lと垂直になるような点(x0,y0)を探します。接線Tの傾きmは、
 m=-(b^2/a^2)(x0/y0)
となるので、...続きを読む

Q位置エネルギーの極小点近傍で運動する質量mの物体の運動方程式とはどういう意味ですか? 位置エネルギー

位置エネルギーの極小点近傍で運動する質量mの物体の運動方程式とはどういう意味ですか?
位置エネルギーはU(x)=ae^(-bx)/b+ax-a/bです。
前問で三項までのテイラー展開も求めています。

Aベストアンサー

-dU/dx = ma

ということです。後は 極小点近傍でのテイラー展開を
代入して微分方程式を解くだけ。

Q長軸の長さが10の楕円の2つの焦点を中心として、半径2の円を描きます。

長軸の長さが10の楕円の2つの焦点を中心として、半径2の円を描きます。楕円上に点P 2つの円上に点Q 点Rをとるとき、PQ+PRの最大値を求めてください。

Aベストアンサー

#3です。
投稿してから見直したら、いろいろ書き間違ってたので、再度。

楕円の2焦点F1、F2を中心とする2つの円C1、C2上にそれぞれ点Q、Rをとるものとします。
楕円上の点Pを固定してPQが最大となる円C1上の点Qを考えると、3点P,F1,Qがこの順に
一直線上に並ぶ場合が最大となります。
この時、PQ=PF1+FQ=PF1+2 となります。
同様に、PRが最大となるように点Rをとると、PR=PF2+2 となります。
したがって、あるPを固定するとPQ+PRの最大値は
 PR+PQ=PF1+PF2+4
です。
ところが、Pは楕円周上の点、F1,F2は楕円の焦点ですから、PF1+PF2は点Pの取り方に
かかわらず一定で、また、その長さは短軸の長さにかかわらず長軸の長さと等しくなります。
したがって、PR+PQの最大値は、
 
 PR+PQ=10+4=14

となります。

Q角運動量とK.E.変化について 半径rで糸に繋がれ円運動している物体mを糸を引いて半径r'

角運動量とK.E.変化について





半径rで糸に繋がれ円運動している物体mを糸を引いて半径r'(<r)になったとき速度は角運動量保存則により速くなるのはわかるのですが
糸を引く力は物体の速度方向と常に垂直に働くにもかかわらず物体の運動エネルギーが増加しているのがしっくりこないのですがなぜ増加するのか教えてください

Aベストアンサー

No.1&3です。各々のエネルギーを計算してみましょう。

物体の質量を m として、当初の円運動の半径を R1 、角速度を ω1 とします。
その運動エネルギーは
 E1 = (1/2)m*R1^2*ω1^2   ①

糸を引いて半径を R2 にしたときの角速度を ω2 とすると、その運動エネルギーは
 E2 = (1/2)m*R2^2*ω2^2   ②

角運動量が保存されれば
 L = m*R1^2*ω1 = m*R2^2*ω2 =const
より
 ω2 = (R1/R2)^2 *ω1   ③

よって②は、③を使って
 E2 = (1/2)m*R2^2*ω2^2
   = (1/2)m*R2^2*[ (R1/R2)^2 *ω1 ]^2
   = (1/2)m*(R1^4/R2^2) *ω1^2
   = E1 * (R1^2/R2^2)   ④
となることが分かります。(半径が 1/2 になれば、運動エネルギーは 4 倍になります)

一方、回転半径が r のときの遠心力は、外向きに
 F = m*r*ω^2
であり、角運動量が一定なら L=m*r^2*ω=const より
 ω = L/(m*r^2)
なので、遠心力は
 F = L^2/(m*r^3)
と書けます。

この遠心力に逆らって、半径方向に微小変位 dr 分だけ移動するのに要する仕事は、(力)×(変位)なので
 dW = -F*dr = -[ L^2/(m*r^3) ]dr

従って、半径 R1 から R2 に変化させるのに必要な仕事の総量は
 W = ∫[R1→R2][ -L^2/(m*r^3) ]dr
   = L^2/(2m)[ 1/r^2 ][R1→R2]
   = L^2[ 1/R2^2 - 1/R1^2 ] /(2m)
   = (1/2)L^2*(R1^2 - R2^2)/[ m(R1^2 * R2^2) ]

ここに L=m*R1^2*ω1 を代入すれば
 W = (1/2)m*R1^2*ω1^2*(R1^2 - R2^2)/R2^2
   = E1 * (R1^2 - R2^2)/R2^2          ⑤
ということになります。
 半径を 1/2 にするには、当初の運動エネルギーの 3 倍のエネルギーに相当する仕事をしなければいけないことになります。

①④より、運動エネルギーの差は
 E2 - E1
= E1 * (R1^2/R2^2) - E1
= E1 * (R1^2 - R2^2)/R2^2
ですから、⑤に一致することが分かります。

以上より、当初の半径を R1 の回転運動の運動エネルギーに対して、半径 R2 の回転運動の運動エネルギーは、半径を R1 から R2 に変化させるのに外から加えた仕事分だけ大きくなっていることが分かります。

No.1&3です。各々のエネルギーを計算してみましょう。

物体の質量を m として、当初の円運動の半径を R1 、角速度を ω1 とします。
その運動エネルギーは
 E1 = (1/2)m*R1^2*ω1^2   ①

糸を引いて半径を R2 にしたときの角速度を ω2 とすると、その運動エネルギーは
 E2 = (1/2)m*R2^2*ω2^2   ②

角運動量が保存されれば
 L = m*R1^2*ω1 = m*R2^2*ω2 =const
より
 ω2 = (R1/R2)^2 *ω1   ③

よって②は、③を使って
 E2 = (1/2)m*R2^2*ω2^2
   = (1/2)m*R2^2*[ (R1/R2)^2 *ω1 ]^2
   = (1/2)m*(R...続きを読む

Q楕円の長さ

楕円底:短径15cm×長径30cmのトートバッグを作りたいのですが、1辺の長さの簡単な計算方式を教えて頂きたいです。
(布を2枚合わせて作るバッグです)

※ある例では楕円底:短径13cm×長径31cmでは1辺の長さが40cmと
でていたんですが、どこから40cmがでてきたのか
その計算方式がわかりません。(のりしろは含まれていません)

どうぞよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

No.1のご回答にあるように正確な楕円では難しい計算になりますが、
バッグ底の場合は長辺の中央部が直線になっていることが多いと思います。
その場合は左右の円周部分+上下の直線=底の縁周り寸法で計算しています(縫い代含まず)

縫い縮みなどもあるので、型紙や実物で計ってみるのが確実だと思います。
下のメジャーを便利に使っています。

マールサシ 回転メジャー
http://item.rakuten.co.jp/az-netcc/05-640/

なけれは紙テープを添わせて計るとよいです。

Q止まっていた質量Mの物体が内部エネルギーEによってm1とm2に割れて反

止まっていた質量Mの物体が内部エネルギーEによってm1とm2に割れて反対方向に一直線上を運動した。Eはすべて運動エネルギーになるとして両破片のその後の速度を求めよ。m1+m2=Mとする。

↑解説をおねがいします。

Aベストアンサー

質量m1の物体の速度をv1,質量m2の物体の速度をv2とします.

運動量保存則より,
m1v1+m2v2=0 (1)
エネルギー保存則より,
1/2*m1(v1)^2+1/2*m2(v2)^2=E (2)

これらを連立させればよいのではないでしょうか?

Q楕円の弧の長さ

楕円の弧の長さ

x = a cos(theta), y = b sin(theta) | ( 0 <= theta < 2pi)

点(a,0)から計った弧の長さsは0からxの区間の積分で

s = integ (sqrt(1 + (dy/dx)^2) dx

として計算できます。ここでsqrtは根を求める計算、^2は2乗、integは積分をあらわします。

と本に載っていたのですが、sの式がどうしてこのように決まるのかがわかりません。
dy/dx と 1のお互いの二乗を足して根をとっているので、ピタゴラスの定理を
使っているかと推測できますが、なぜ1とdy/dxから求まるのかの概念がわかりません。

よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

楕円弧や円弧に限らず、曲線の長さの公式がそれです。
微分や積分を難しく考え過ぎていませんか?
関数y=f(x)に対して微小区間
{a,f(a)}、{a+Δx,f(a+Δx)}
を考えます。ここで、Δy=f(a+Δx)-f(a)とすると、この2点間の距離はピタゴラスの定理より
l=√(Δx^2+Δy^2)
Δx^2を根号外に出すと
l=√{1+(Δy/Δx)^2}×Δx
この結果のΔx→0の極限が
√{1+(dy/dx)^2}×dx・・・(1)
これを求める区間で合計(定積分)したものがその区間での当該曲線の長さになります。
(1)式の前にに定積分記号を付加すれば当該公式になります。

Q半径1mの導体球Aと半径2mの導体球Bが100mの間隔で置いてある。

半径1mの導体球Aと半径2mの導体球Bが100mの間隔で置いてある。
電位がそれぞれ10V、20Vであるときの相互の反発力の大きさを求めよ。
解:4.4×10^(-12)[N]

さっぱり分からないので教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

V=kQ/r, F=kQ^2/R^2

Q1=r1V1/k
Q2=r2V2/k

F=kQ1Q2/R^2
=k(r1V1/k)(r2V2/k)/R^2
=1/k*r1r2V1V2/R^2
=1/(9*10^9)*1*2*10*20/100^2
=4/9*10^-11
=4.4*10^-12N


人気Q&Aランキング

おすすめ情報