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ずばり、lim[m→∞]m*r^mはいくつになりますか?
|r|>1の時は簡単ですが…。過程もお願いします。参考書とかにのっていなくて…。追い出しとか、はさみうちとかどうも馴染めないんですよね…。何か良い対策があれば教えてください。ちなみに課題やレポートではないですが、チョット失礼かもしれないので、ヒントだけとかでもかまわないです(^^)よろしくお願いします。

A 回答 (3件)

1 < |r| の場合だけでいいですよね?



X_n = n * r ^ n

と置きます。

とりあえず、一個前と割り算して項目間の比 R_n を計算してみましょう。

R_n
= X_n / X_{n-1}
= ( n * r ^ n ) / ( (n-1) * r ^ (n-1) )
= n/(n-1) * r


ですよね。


R_n に、10、100、1000を入れて、みてください。


だんだん、R_n が小さくなると思います。


r が、1未満のどんなに大きな数でも、R_n は n が大きいと1未満に
なってしまいます。


このような n があることが、分かればもうすぐです。

その n から先は、等比数列で押さえられますので、0に収束する事が示せます。


r に対して、どんな n だと、R_n が1未満になるかとか、
どんな等比数列で押さえればいいかは、ちょっと考えてみるといいと思います。


一応、結論は、0になります。

この回答への補足

ありがとうございます。lim[n→∞]Rn=r<1となることで、直感的には0に収束する事がわかったのですが、ドンナ等比数列で抑えるかわかりません…もう一つヒントを下さい。n<1/(1-r)でR_n が1未満という事もわかりましたが…

補足日時:2006/08/19 21:28
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肝心なところのヒントだけ



0<r<1のときだけ答えます(残りは簡単)
このとき
r=1/(1+α)と表される(α>0)
よって
m*r^m=m/(1+α)^m
<m/(1+mC1α+mC2α^2)
<m/(mC2α^2)
<2/((m-1)*α^2)
辺々m→∞の極限をとって(<が≦に変ることに注意)
lim[m→∞]m*r^m≦0
左辺は0以上より
lim[m→∞]m*r^m=0

他の場合は自分でやってください
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mとr^mがそれぞれどのようなグラフになるか


考えてみてください。そうすればすぐに答えはわかります。
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