痔になりやすい生活習慣とは?

高校数学問題集で「2^2006を3で割った余りはいくつか」という問題があり、解答頁にはただ「1」とだけありました。
どうも2^(偶数)を3で割ると1となり、2^(奇数)を3で割ると2となるようなのですが、どうやってそれを証明すればいいのか分かりません。
また、もっとすっきりした解法はないものでしょうか?
(なお2^2は「2の2乗」という意味です)

A 回答 (4件)

二項定理を用いると良いでしょう



2^n=(3-1)^n=3^n+3^(n-1)*(-1)*n+・・・+3*(-1)^(n-1)+(-1)^n

3^n,3^(n-1)*(-1)*n,・・・,3*(-1)^(n-1)は3で割り切れるので、3^n+3^(n-1)*(-1)*n+・・・+3*(-1)^(n-1)は3で割り切れる。

よって
2^n=3^n+3^(n-1)*(-1)*n+・・・+3*(-1)^(n-1)+(-1)^n=3×(整数)+(-1)^nとなる。

したがって

nが偶数のとき(-1)^n=1だから
2^n=3×(整数)+1

nが奇数のとき(-1)^n=-1だから
2^n=3×(整数)-1=3×(整数)-3+2=3×{(整数)-1}+2=3×(整数)+2

となるので
「2^(偶数)を3で割ると1となり、2^(奇数)を3で割ると2となる」とあんることがわかります。
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この回答へのお礼

No2と異なった二項定理の利用ですね。
回答ありがとうございます。

お礼日時:2006/08/19 21:50

2=(3-1)



(3-1)^2n → ・・・・・・+1 (最後は+1になる)
(3-1)^(2n-1) →・・・・・-1 (最後は-1になる)

最後の項以外は3の倍数だから 余りは最後の項で
決まる。

でどうでしょう。
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この回答へのお礼

No2とは異なる二項定理の利用ですね。
回答ありがとうございました。

お礼日時:2006/08/19 21:52

偶数=2*nとすると、


2^(偶数)=4^n=(3+1)^n=3^n+n*3^(n-1)+・・・+n*3*1^(n-1)+1^n
従って、3で割ると1が余る。
2^(奇数)=2^(偶数)*2
2^(偶数)を3で割ると1が余るから、その2倍で2が余る。
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この回答へのお礼

>>…=(3+1)^n=3^n+n*3^(n-1)+・・・+n*3*1^(n-1)+1^n

なるほど、二項定理を利用する手もあったわけですね。気付きませんでした。
回答ありがとうございました。

お礼日時:2006/08/19 21:49

数学はさっぱりなのですが、思いついたので、



1) 1の時
2) nの時、
3) n+1の時なりたてば、どんなnでも成り立つ、ってなかった
でしょうか。


一つ目の 2^偶数は、偶数を 2nで表して、3で割ったあまりが1は
3*m+1で表して

2^(2n) = 3*m + 1


ここで、

1) n=1の時

2^(2*1) = 4 = 3 + 1 (あまりが1)


2) n+1の時

2^(2*(n+1)) = 2^(2n) * 2^2 = 2^(2n) * 4 = (3*m + 1) * (3 + 1)
= (3*m + 1) * 3 + (3*m + 1)*1
= [3で割り切れる値 (3*m+1)*3 ] + (3*m + 1)

なので、 1, n, n+1の時すべて 3で割るとあまりが1です。

証明の書き方などは忘れているので、参考書を見て下さい。
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この回答へのお礼

数学的帰納法を使うんですね。
回答ありがとうございました。

お礼日時:2006/08/19 21:47

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Q. nは整数とする。合同式を用いて、n⁴を3で割った時のあまりは、0か1であることを証明せよ。

という問題を解いて欲しいです。
証明文がわからなければ答えだけでいいので教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

nを3で割ったときの商をm、余りをcとしますと、
  n=3m+c
ただしm,は整数で、かつc∈{0,1,2} である。 これを使って、n^4 を mとcだけの多項式で表すのは簡単でしょう。
 この多項式の各項それぞれについて、それを3で割ったら余りがいくらになるかを考えます(それが3の倍数であれば、もちろん余りは0です)。で、各項で生じた余りを全部足し算したものが、n^4 を3で割った余りである。

 合同式を使って書き表すのが簡潔ですけれども、使わなくたって同じことができます。


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