n^n +1が３で割り切れるもの

「(1)正の整数ｎでn^3 +1 が３で割り切れるものをすべて求めよ
(2)正の整数ｎでn^n +1 が３で割り切れるものをすべて求めよ」

(1)なのですが、n=3k、n=3k+1、n=3k-1のときに分けて計算したところn=3k-1すなわちnが3で割って２余るときが適することがわかりました。しかし「すべて」求めるという問題文からするとダメなのかな？と思ったのですがどうなのでしょうか？
(2)なのですが、(1)と同じようにできそうかなと思ったのですがなかなかうまくいきませんでした。(1)を利用するということはできるのでしょうか？
回答いただければ幸いです。よろしくお願いします

No.3 ベストアンサー 回答者： kobold 回答日時： 2006/08/22 23:54

(1)

「n=3k-1(kは正の整数)となるものすべて」でよいですよ
(2)
(1)と同様にしてみると、
n=3kのときはうまく行かないことが分かると思います
n=3k+1のとき
(3k+1)^(3k+1)+1=3k'+2でうまくいかない
n=3k-1のとき
(3k-1)^(3k+1)+1
ここで、3k+1が奇数と偶数で場合分けです

No.7 回答者： tatsumi01 回答日時： 2006/08/23 12:28

No. 6 のものですが、補足します。

(1)
n^2-n+1 が 3 の倍数になるかどうかですが、n=3k+a (a = -1, 0, 1) とおきます。
n^2-n+1 = 9k^2 + 6ak + a^2 - 3k - a +1 = (3 の倍数) + a^2-a+1
n^2-n+1 が 3 の倍数 ≡ a^2-a+1 が 3 の倍数
a = -1, 0, 1 を代入すれば、3 の倍数になるのは a = -1 のときのみ。
結局、n^2-n+1 が 3 の倍数になるのは n = 3k-1 のときのみです。

これから、n^3+1 は n = 3k-1 のとき 9 の倍数になることが言えます。
これは、eiiewo さんのやられたように、n=3k, n=3k+1, n=3k-1 を代入して調べればすぐわかります。

なお、「n = 3k-1 (k: 正整数)」と答えれば「すべて求めた」ことになります。

この回答へのお礼

5人の方々回答ありがとうございました。
おかげさまでうまく理解できました。

お礼日時：2006/08/24 22:09

No.6 回答者： tatsumi01 回答日時： 2006/08/23 11:04

(1)

n^3+1 = (n+1)(n^2-n+1)
ですから、n=3k-1 なら n^3+1 は 3 の倍数です。しかし、n^2-n+1 が 3 の倍数になることもあり得るので、これを吟味しないといけません。ちょっと見たところ、n=3k-1 以外では 3 の倍数にならないようです。
(2)
n^n+1 = (n+1)(n の (n-1)次式）
ですから、n が奇数なら n=3k-1 のときに 3　の倍数です。しかし、第２因数がどうなるか、ちょっと見当が付きません。n が偶数のときもパス。

No.5 回答者： Musicful-hearts 回答日時： 2006/08/23 00:23

(1)はそれで良いと思います。

（２）はｎを３の剰余で分ければ解けます。
ｎ^ｎを３で割った余りが２となればよい。
ｎを３で割った余りが０または１のときは、ｎ^ｎを３で割った余りがｎのそれと等しい（つまり２ではない）ので不適。　ｎを３で割った余りが２のときｎが奇数のときはｎ^ｎを３で割った余りが２となりこれは条件を満たす。ｎが偶数のときはｎ^ｎを３で割った余りが１となり不適。
以上より求めるｎは、３で割って２余り、２で割って１余る正整数、すなわち６ｋ－１（ｋは任意の正整数）の形で表せる正整数。

No.4 回答者： noname#24477 回答日時： 2006/08/22 23:56

（１）はそれで良いと思います。

（２）同じように場合わけ
≡の記号を使って説明します。あまりが同じという意味です。
(3k)^(3k)＋１≡１　がだめなことは明らか
(3k+1)^(3k+1)＋１≡１＋１＝２　でだめ
(3k+2)^(3k+2)＋１≡2^(3k+2)＋１≡8^k*４＋１
≡(6+2)^k*(3+1)＋１≡2^k＋１≡(-1)^k＋１
ｋにどんな条件があればよいかもうお分かりと思います。
最初から3k+2より3k-1と表現しておいたほうが良かったかも。
n=3k-1　ただしｋは・・・・・
よってn=・・・・と表現できる。

No.2 回答者： mayan99 回答日時： 2006/08/22 23:51

＃１です。

質問を勘違いしていました。
取り消してください。

No.1 回答者： mayan99 回答日時： 2006/08/22 23:33

(1)、(2)とも　n=3kのとき３で割り切れるんじゃないですか。