r=exp(jΦ)=cosΦ+jsinΦ
で、
r={cosθ+j√{(sinθ)^2 -n^2}/{cosθ-j√{(sinθ)^2 -n^2}
があり、これを解くと

Φ=2*tan[{√{(sinθ)^2 -n^2}}/cosθ]^-1
(タンジェントインバースということです)

になるらしいのですが、どのようにすれば
Φを求めることができるのでしょうか。

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A 回答 (5件)

a,bをそれぞれ実数としa-bが2・πの整数倍の時a≡bとかく





rを複素数としx,yをそれぞれ実数としたとき

r=exp(j・Φ)=(x+j・y)/(x-j・y)ならば

arg(r)≡Φ≡arg(x+j・y)-arg(x-j・y)≡2・arg(x+j・y)である

(arg(x-j・y)≡-arg(x+j・y)であることに注意)



tan^(-1)の値域を-π/2以上π/2以下としx≠0とする



0<xのとき:

arg(x+j・y)≡tan^(-1)(y/x)であるから

Φ≡2・tan^(-1)(y/x)である



x<0のとき:

arg(x+j・y)≡tan^(-1)(y/x)+πであるから

Φ≡2・(tan^(-1)(y/x)+π)≡2・tan^(-1)(y/x)である



従っていずれにしてもΦ≡2・tan^(-1)(y/x)である
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guiter さんのご回答の通りですが,今の場合はもう少し簡単にできるでしょう.


本質的に guiter さんの二番煎じのような気もしますが...

rの分母分子は虚数部の符号だけ違うのですから,
rの分子を R exp(jψ) と書けば,分母は R exp(-jψ) です.
したがって,
r = R exp(jψ) / R exp(-jψ) = exp(2jψ)
になります.
つまり,分子の偏角ψの2倍がrの偏角Φです.
分子の偏角ψはあきらかに
tanψ = √{(sinθ)^2 -n^2} / cosθ
ですから
ψ = tan^(-1) [√{(sinθ)^2 -n^2} / cosθ]
あるいは
Φ = 2ψ = 2 tan^(-1) [√{(sinθ)^2 -n^2} / cosθ]

ただし,tan^(-1) は多価関数ですから値の範囲の選択に注意が必要です.
今は,分子の虚数部が √{(sinθ)^2 -n^2} > 0 ですから,
ψの範囲は 0<ψ<π です.
普通は tan^(-1) の主値は -π/2 から π/2 の間に取りますので,
そこらへんもご注意下さい.

なお,√{(sinθ)^2 -n^2} の中身は正だとしています.
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まず、r の分母分子に、cosθ+j√((sinθ)^2 -n^2) を掛けると、


 r = {cosθ+j√((sinθ)^2 -n^2)}^2 / (1-n^2)
となります。

ここで、
 z = {cosθ+j√((sinθ)^2 -n^2)}/√(1-n^2)
とすると r=z^2 となっています。
また、
 z = cos(Φ/2) + jsin(Φ/2)
なので、実部と虚部を比較して
 cos(Φ/2) = cosθ/√(1-n^2)
 sin(Φ/2) = √((sinθ)^2 -n^2)/√(1-n^2)
を得ます。
すると、
 tan(Φ/2) = √((sinθ)^2 -n^2)/cosθ
が出てきます。

複素平面上での割り算の操作によってベクトルがどのように回転するのかを考えると、
ここまで数式をいじらなくても、cos(Φ/2),sin(Φ/2)などはすぐに求まると思います。
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夜も遅く、1回解いただけなので自信はありませんが、


まず、r= {cosθ+j√{(sinθ)^2 -n^2}} /{cosθ-j√{(sinθ)^2 -n^2}}
の分母と分子に、{cosθ-j√{(sinθ)^2 -n^2}}の共役複素数、{cosθ+j√{(sinθ)^2 -n^2}} を掛けて、分母を有理化します。
すると、
r=(2(cosθ)^2-1)/(1-n^2)
+ (2 cosθ/(1+n^2))*√{(sinθ)^2 -n^2} *j
となります。
これが、cosΦ+jsinΦ ですから、
(2(cosθ)^2-1)/(1-n^2) が cosΦ であり、
(2 cosθ/(1+n^2))*√{(sinθ)^2 -n^2} が sinΦ です。

後で、必要になるので、ここで、1-cosθ と 1+cosθ を求めておいてください。

さて、目標の
Φ/2 = tan[{√{(sinθ)^2 -n^2}}/cosθ]^-1
を示すには、
tan(Φ/2) = √{(sinθ)^2 -n^2}}/cosθ
が言えればよいわけです。

そこで、tan(Φ/2)を求めます。
コサインの加法定理 cos(α +β)=cos α cos β-sin α sin β で、
β=α と置くと、  cos2α =(cosα)^2-(sinα)^2  ---(2)
ここで、(sinα)^2=1-(cosα)^2  を代入すると、
cos2α =2*(cosα)^2-1  という式ができます。
この式から、(cosα)^2=( 1+cos2α )/2 ---(3)
(2)で、、(cosα)^2 =1-(sinα)^2 を代入すると、
cos2α =1-2*(sinα)^2 
この式から、(sinα)^2=( 1-cos2α )/2 ---(4)
(4)÷(3)より、
(tanα)^2 =((sinα)^2)÷((cosα)^2)
=( 1-cos2α )÷( 1+cos2α )
ここで、α =Φ/2 と置くと、 2α=Φ で、
これにより、tan(Φ/2) の2乗が求まります。つまり、上で求めておいた、
1-cosθ を 1+cosθ で割ればよいわけです。あと、ルートして、
tan(Φ/2) を求めますと、
{√{(sinθ)^2 -n^2}/{2(cosθ)^2-n^2}
となります。
分母は、cosθにはなりませんでした。私の計算にミスがあったかもしれません。
ご自分でお確かめください。
この説明でわかりにくいところがあれば、また質問してください。それでは。
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sin(x)=(exp(jx)-exp(-jx))/(2j)


cos(x)=(exp(jx)+exp(-jx))/2
というのはごぞんじですよね。
exp(jx)=cos(x)+jsin(x)
exp(-jx)=cos(x)-jsin(x)
から求まりますよね。

で、sin(x),cos(x)がわかっているので、
tan(x)=sin(x)/cos(x)=)=(exp(jx)-exp(-jx)/j(exp(jx)+exp(-jx))
=(exp(2jx)-1)/j(exp(2jx)+1)
となります。exp(2jx)に関して解いて、logをとると、
arctan(x)=(-j/2)log((1+jx)/(1-jx))
となります。arctan(x)とは、tan^(-1)(x)のことです。
(タンジェントのマイナス1乗ではありません。タンジェントの逆関数です。)
面倒なので、
√{(sinθ)^2 -n^2}=u
とおきましょう。
r=(cos+ju)/(cos-ju)
と表記します。
すると、
jΦ=log((cos+ju)/(cos-ju))=log((1+ju/cos)/(1-ju/cos))
=(-2/j)arctan(u/cos)
ですね。よって両辺jでわってやれば、
Φ=2*arctan(u/cos)
で求めるべき式がもとまります。
おわり。
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Q「A地点とB地点にいる二人が同時に出発して接近した」この問題の解き方を教えてください

「A地点とB地点にいる二人が同時に出発して接近した」この問題の解き方を教えてください

問題
A地点にいるA君と、B地点にいるB君が同時に出発して接近した。
A君は時速4キロ、B君は時速8キロで移動した
A地点とB地点は10キロ離れている
さて二人が接触する地点の位置はどこで、出発時刻から何分後か?
道中は平坦な直線であり途中に坂や障害などはないとする

さてこの問題の解き方を教えてください

小学校算数での解き方、
中学校数学での解き方、
高校数学での解き方、
それぞれ教えてください

Aベストアンサー

A君は時速4キロ、B君は時速8キロで近づいているので、
合わせて時速12キロで近付いています。
2人が接触するのは10/12=50/60時間=50分です。

t分後に接触したとして、
A君は時速4キロで、4*t/60キロ移動しています。
B君は時速8キロで、8*t/60キロ移動しています。
二人は合計で10キロ移動したので、
4*t/60+8*t/60=10
12t=600
t=50分後です。

A君は時速4キロでxキロ、
B君は時速8キロでyキロ、
走った時に接触したとして、
x+y=10
x/4=y/8
なので、
x=2y
3y=10
y=10/3
10/3÷4=10/12時間=50分後です。

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> 自分流に問題をといて、解き方をHP上にのせるのは
著作権の侵害になるのでしょうか?

なりません。

> 「~~という本のP32の問1の解き方」とか書いたら侵害になるのでしょうか?

もし、このURLに書いてみる内容と合致すれば、
問題ないのかも。
http://www.cric.or.jp/qa/sodan/sodan6_qa.html

私も法律家ではないので詳しくはないですが、
こちらを参考にされてみてはいかが?
http://www.cric.or.jp/

Q数列{a_n}、{b_n}が、a_n=s^n, b_n=r^n(n=1

数列{a_n}、{b_n}が、a_n=s^n, b_n=r^n(n=1,2,3,,) 0<s<r<1 で与えられている時、
Σ∞_(n=1) a_(n)b_(n) = 1/3 , Σ∞_(n=1) a_(n)/b_(n) = 3
を満たすとする。この時、s+rの値を求めよ

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  a[n]*b[n] = (s*r)^n
  a[n]/b[n] = (s/r)^n
もまた等比数列となる。

等比数列の和の極限は公式により求められるから、
  Σ[n=1~∞]{a[n]*b[n]} = 1/3
より
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が分かり、
同様に
  Σ[n=1~∞]{a[n]/b[n]} = 3
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が分かる。

二つの未知数s,rに対して、二式
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与式は4だけではなく、他の実数値も取ります。
又、虚数の範囲では更に多くの値を取ります。

先ず、A=(2+11i)^(1/3) を求めてみます。
A^3=2+11i.
A=a+bi (a, bは実数)とおくと、
(a+bi)^3=2+11i より、実数部分と虚数部分を比較して、
a^3-3ab^2=2 ...[1]
3a^2-b^3=11 ...[2]
この2式から普通に計算すると大変なので、工夫します。
[1]^2+[2]^2 を計算すると
a^2+b^2=5 ...[3]
[1], [2], [3]よりa, bを求めると、
A=2+i, -1+(√3)/2+(-1/2-√3)i, -1-(√3)2+(-1/2+√3)i.

同様に、B=(2-11i)^(1/3) からBを求めると、
BはAの共役複素数になり、
B=2-i, -1+(√3)/2-(-1/2-√3)i, -1-(√3)2-(-1/2+√3)i.

よって、与式A+Bは3*3=9通りの値を取ります。
この内、実数となるのは共役複素数の組み合わせで、
4, -2+√3, -2-√3, の3通りです。

与式は4だけではなく、他の実数値も取ります。
又、虚数の範囲では更に多くの値を取ります。

先ず、A=(2+11i)^(1/3) を求めてみます。
A^3=2+11i.
A=a+bi (a, bは実数)とおくと、
(a+bi)^3=2+11i より、実数部分と虚数部分を比較して、
a^3-3ab^2=2 ...[1]
3a^2-b^3=11 ...[2]
この2式から普通に計算すると大変なので、工夫します。
[1]^2+[2]^2 を計算すると
a^2+b^2=5 ...[3]
[1], [2], [3]よりa, bを求めると、
A=2+i, -1+(√3)/2+(-1/2-√3)i, -1-(√3)2+(-1/2+√3)i.

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Q因数分解の解き方について

因数分解の解き方について
質問です。

3x2 -7x+2

たすき掛けをつかわない
因数分解の解き方を
教えてください。

たしか、海外の学生の解き方で、
まず数字をかけるやり方だったと思います。

分数などにはせず、
最後は見事に解答が出る方法です。

思い出せず、モヤモヤしています。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>>>たしか、海外の学生の解き方で、まず数字をかけるやり方だったと思います。

ありましたね。

>>>思い出せず、モヤモヤしています。

私もサイトをお気に入りに入れていなかったので、もやもやしています。^^

たぶん、x^2 につく係数を整数の2乗にするんじゃなかったかと思います。

これでうまくいっているのかわかりませんが、3をかけて
9x^2 - 3×7x + 6 = (3x+a)(3x+b)
 = 9x^2 + 3(a+b)x + ab
としてみると、
a+b = -7
ab = 6
なので、
a=-1、b=-6

わりと楽に行きました。
最後の仕上げに、3で割って元に戻しましょう。

ただし、これが思い出せないやり方と同じなのかわかりませんが・・・

Qエクセルでの cosθ=-1+{2√(γ/72.7)}exp{-0.0001247(72.7-γ)^} の解き方(θがわかっている場合)

昨日同じような質問をしたものです。ありがとうございました。
この先もこの式を使わないといけなそうなのですが、面倒でなかったら、先ほどやっていただいた解き方を教えていただけないですか?
すいません、エクセルまともに使ったことないので、どのくらい大変なのかもわからないです。

Aベストアンサー

エクセルには色々な機能がありますから、方法といっても沢山有ります。ゴールシーク、ソルバー、VBAなどですが、質問者さんが自らエクセルがわからないと書いておられるので、これらを使わないワークシートで求めて見ます。適当に書いたやり方ですが単純増加(減少)関数ならこれで十分、解が求まります。左端がセル番号、続く値もしくは式が入力する内容です。続いて簡単な説明を書いておきます。入力する式はこの書き込みをそのままコピーペーストしてもらえればいいです。

A1 74 を入力・・・昨日の最初の値です
B1 =COS(A1/180*PI())  ご質問の左辺:目標値です。エクセルではラジアンで入力しますので74°をラジアンに変換しています。
A2 0  適当な初期値です
B2 100  これまた適当な初期値です。
A3 =AVERAGE(A2:B2) 初期値の平均(中間値)です。
B3 =IF(SIGN(E3)=SIGN(E2),B2,A2) 中間値と挟み込む適切な値を選択しています。
C2 =-1+(2*SQRT(A2/72.7))*EXP(-0.0001247*(72.7-A2)^2)
ご質問の右辺です。エクセルで書くとこうなります。
C2をコピーしてD2にペースト
E2 =C2-$B$1  目標値との差を出します。0もしくはほとんど0になればOKです。
E2をコピーしてF2にペースト
A3とB3をコピーしてA4からB100までペースト
C2からF2までコピーしてC3からF100までペースト
A100やB100に求める値が出ています。

別の式を立てる時はB1とC2,D2からC100,D100を変えてもらえればいいです。ただし、先にも書きましたが単純増加でないと求まらないことがあります。EやFの値(目標値との差)をチェックして下さい。
書くまでも無いですがA1に角度を入力すれば後は自動で変化します。

エクセルには色々な機能がありますから、方法といっても沢山有ります。ゴールシーク、ソルバー、VBAなどですが、質問者さんが自らエクセルがわからないと書いておられるので、これらを使わないワークシートで求めて見ます。適当に書いたやり方ですが単純増加(減少)関数ならこれで十分、解が求まります。左端がセル番号、続く値もしくは式が入力する内容です。続いて簡単な説明を書いておきます。入力する式はこの書き込みをそのままコピーペーストしてもらえればいいです。

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Q不等式の解き方教えてください!

不等式の解き方教えてください!
(100+z)-(100+z)×0.2≧100
↑↑の解き方を教えてください!

Aベストアンサー

(100+z)-(100+z)×0.2≧100

わかりやすく、ばらばらにしましょう。

100+Z-0.2×100-0.2×z≧100

つぎにまとめましょう。

(1-0.2)×z+(1-0.2)×100 ≧100

けいさんをすすめましょう

0.8×z+0.8×100≧100

さらにすすめましょう

0.8×z+80≧100

つぎに、りょうほうのしきから80をひいてみましょう

0.8×z+80-80 ≧100-80

ぱずるといっしょですね。

0.8×z ≧20

こんどはりょうほうのしきを0.8でわってみましょう

0.8÷0.8×z ≧20÷0.8

z≧20÷0.8=200÷8=100÷4=50÷2=25

だから・・・

z≧25

となりますね

QΓ{n+(3/2)}={(2n+1)!!/2^(n+1)}・√(π)

Γ{n+(3/2)}={(2n+1)!!/2^(n+1)}・√(π)
になる理由をできるだけ細かく教えて下さい。

Aベストアンサー

では
・Γ関数の定義
・Γ関数に関する漸化式
・Γ(1/2) = √π となること
を書いてみてください.


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