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物理でもあり、数学でもあるのでどちらに質問しようか迷ったのですが・・・

電磁気などで出る平面波についての問題ですが。
δ2E/δz2 -εμ*δ2E/δt=0
より、
E=Aexp[j(wt-kz)]+Bexp[j(wt+kz)]
が導出される過程を教えてください。
お願いします。

A 回答 (2件)

δは偏微分記号∂をちゃんと使うとして,


(1)  ∂^2 E/∂z^2 -(εμ) ∂^2 E/∂t^2 = 0
ですね.

nubou さんがお書きのように,一般解は
(2)  E(z,t) = F(ωt-kz) + G(ωt+kz)
です.
nobou さんは中身が z±vt の表現にされていますが,
ω=vk ですからどちらの表現でも構いません.

つまり,ωt-kz の任意の関数 F をもってくる,
ωt+kz の任意の関数 G をもってくる,,
それらの線型結合が(1)の解だと言うわけです.
解は平面波に限りません.
例えば
(3)  E(z,t) = E_0 exp{-a(ωt-kz)^2}
だって(1)の解です.
t=0 としてグラフを描いてみれば分かりますように,これはパルス波です.

質問の
(4)  E(z,t) = A exp[j(ωt-kz)] + B exp[j(ωt+kz)]
は一般解で
(5)  F(u) = A exp(ju),   G(u) = B exp(ju)
と選んだ場合の話で,いわゆる平面波の解です.
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Eが(z,t)について2階連続微分可能としv=1/√(ε・μ)として


v^2・(∂/∂z)^2・E=(∂/∂t)^2・Eを解く

x=z-v・tかつy=z+v・tとし(z,t)から(x,y)に変数変換する
∂/∂z=(∂/∂x)・(∂x/∂z)+(∂/∂y)・(∂y/∂z),
∂/∂t=(∂/∂x)・(∂x/∂t)+(∂/∂y)・(∂y/∂t),
∂x/∂z=1,∂y/∂z=1,∂x/∂t=-v,∂y/∂t=v
であるから
∂E/∂z=∂E/∂x+∂E/∂y,
∂E/∂t=v・(-∂E/∂x+∂E/∂y)
である
再び
∂/∂z=(∂/∂x)・(∂x/∂z)+(∂/∂y)・(∂y/∂z),
∂/∂t=(∂/∂x)・(∂x/∂t)+(∂/∂y)・(∂y/∂t),
∂x/∂z=1,∂y/∂z=1,∂x/∂t=-v,∂y/∂t=v
であるから
(∂/∂z)^2・E=((∂/∂x)^2+2・∂^2/∂x/∂y+(∂/∂y)^2)・E,
(∂/∂t)^2・E=v^2・((∂/∂x)^2-2・∂^2/∂x/∂y+(∂/∂y)^2)・E
である
従ってv^2・(∂/∂z)^2・E=(∂/∂t)^2・Eより
(∂^2/∂x/∂y)・E=0である
従ってh(y)を任意の「1階連続微分可能なyの関数」として
∂E/∂y=h(y)である
従ってf(x)を任意の「2階連続微分可能なxの関数」として
E=∫(0~y)dy・h(y)+f(x)である
従ってg(y)≡∫(0~y)dy・h(y)とすればE=f(x)+g(y)である
すなわち
f(x),g(x)をそれぞれ任意の「2階連続微分可能なxの関数」として
E(z,t)=f(z-v・t)+g(z+v・t)である
逆に
f(x),g(x)をそれぞれ任意の「2階連続微分可能なxの関数」として
E(z,t)=f(z-v・t)+g(z+v・t)ならば
v^2・(∂/∂z)^2・E=(∂/∂t)^2・Eである(これは明白)
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