解き方を教えて下さい。

中学の入試問題だったので、数学じゃなく、正確には算数になるのですが、どうしても、頭が固く、解き方が分かりませんでした。

《問題》
ここに５桁の整数があります。
その整数に使われている数字は０がＡ個、１がＢ個、２がＣ個、３がＤ個、４がＥ個です。これ以外の数字は使われていません。
その５桁の整数は万の位から順にＡＢＣＤＥとなります。ＡＢＣＤＥの中には重複するものもあるかもしれません。ＢＣＤＥは０かもしれません。

《答え》

２１２００

これは、やっぱり、順番に当てはめるしかないのでしょうか・・・？

No.3 ベストアンサー 回答者： zzzzzz 回答日時： 2002/03/20 03:06

簡単とは言えない代わりに、n桁の問題に拡張できる形で回答を書いてみました。

実は、B+2C+3D+4E=A+B+C+D+E=5が成り立ちます。
なぜこのような式が成り立つかを説明します。
答えとなる整数の数字列に現れる数字を、左から0番目、1番目、...と数えることにします。
（例えば、21200の場合は0番目=2、1番目=1、2番目=2、3番目=0、4番目=0です）
このとき、
0×(0番目の数字) + 1×(1番目の数字) + ...
を考えると、
0番目の数字 = 0が出てくる回数、 1番目の数字 = 1が出てくる回数、...
ですから、これは数字列に現れる数字の合計(=A+B+C+D+E)を求めていることになります。
これよりB+2C+3D+4E=A+B+C+D+Eですが、さらに
A+B+C+D+E = (数字の現れる回数の合計) = (桁数) = 5
となります。
従って、A+B+C+D+E=B+2C+3D+4E=5です。

この次に、
・数字列の中には0がちょうどA回現れること
・最初の数字はAであること
に注意します。
数字列から、最初の数字と、0をすべて取り除きます。
このとき、残った数字列に含まれる数字の個数は(5-A-1)、合計は5-Aとなっています。
（これより5-A-1 > 1です）
しかも、これらの数字は1以上であることが分かっていますから、
残った数字列の中には1が(5-A-2)個、2が1個含まれていることが分かります。
従って、元の数字列には0がA個、1が(5-A-2)個、2が1個、Aが1個含まれている(これで全部)ことが分かります。
しかも、上の取り除き方から考えて、最初の数字以外の場所に2が現れています。
つまり、1以上の数字で、ちょうど2回出てくるものがある、ということが言えます。
さらに、Aの値によって場合分けをします。

a.A>2のとき
1が2回出てくるしかありません。つまり5-A-2=2であり、従ってA=1です。
これはA>2に反しますので、ありえません。

b.A=2のとき
0が2個、1が1個、2が2個、ということになり、21200で条件を満たします。

c.A=1のとき
0が1個、1が2+1=3個、2が1個となり、13100は条件を満たしません。

以上から、答えは21200となります。
５桁に限るならば実に回りくどいやり方ですが、実はこれを応用してn桁の場合を考えられます。
この場合は、場合分けaにおいてn-A-2=2よりA=n-4となり、条件A>2とあわせれば、
n>=7で、0が(n-4)個、1が2個、2が1個、(n-4)が1個として条件を満たします。
たとえば3211000(7桁)とか、6210001000(10桁)などです。
なお、n=5以外では、b,cの場合分けからは条件を満たすものは出てきません。

No.7 回答者： kony0 回答日時： 2002/03/22 06:16

#3のzzzzzzさんの立てた式を用いて解く方法を考えました。

（受け売りですね^^;だから回答に対する自信は「なし」です）

A+B+C+D+E=5（1式）, B+2C+3D+4E=5（2式）
2式に注目して、まずE=0,1のどちらかしかありえません。
ここでE=1とするならば、B+2C+3D=1より(B,C,D)=(1,0,0)しかありえず、1式にあてはめてA=3。すなわち5桁の整数は31001となりますが、これは条件にあてはまらない。→したがってE=0であることが確定します。

A+B+C+D=5（1式）, B+2C+3D=5（2式）, E=0
2式よりD=0,1しかありえない。D=1とすると、(ABCDE)=(22010),(30110)のどちらかだが、どちらも条件にあてはまらない。→D=0

A+B+C=5（1式）, B+2C=5（2式）, D=E=0
2式を満たすのは(B,C)=(5,0),(3,1),(1,2)。すなわち(ABCDE)=(05000),(13100),(21200)だが、条件を満たすのは(21200)のみ。

文字の数が式の数より多い、いわゆる「不定方程式」の整数解を求める問題では、範囲の絞りやすい数字に着目するのが鉄則の１つです。ということで、Eから順に攻めてみました。

No.6 回答者： y_shiki 回答日時： 2002/03/21 13:08

y_shikiと申します。

回答を出すのは、初めてですのでちょっと緊張してます。
＃gooにこんなコンテンツがあることも今日知りました (^^;;

先頭の数だけ考えるのが、もっとも簡単ではないでしょうか？

まず５桁の整数であるので、Aが0にはならないのは問題文からわかります。
ですので、不確定なものをXとして表現すると、
(1) 1XXXX
(2) 2XXXX
(3) 3XXXX
(4) 4XXXX
の4つが考えられます。

では(4)を考えます。
4XXXXは、すでに4が1つありますので、4XXX1になります。
また、Aが4なので、0が4つ必要になりますが、もうXの数が足りません。
先頭が4はダメなことがわかります。

(3)を考えます。
3XXXXは、すでに3が1つありますので、3XX1Xになります。
Dが1なので、31X1X。ですが、これにより1が2つになりますので、32X1X。
Bが2なので、3211X。良さそうです。
が、Aが3なので、0が3つ必要になりますので、先頭が3はダメなことが
わかります。

(2)を考えます。
2XXXXは、2X1XXになります。
Cが1ですので、211XX。これにより1が2つになりますので、212XX。
Aが2ですので、0が2個必要になります。Xに埋めると、21200。
ばっちりです。

最後に(1)を考えます。
1XXXXは、11XXXになります。
1が2個出てますので、12XXXになります。Bが2になったので、XXXのどこかに
1が必要になります。
121XXにしてみましょう。Cが1なので、3が1個必要になります。
残りのXのうちどちらかに3を入れると、4が3個か、5が3個必要になりますので
ダメです。
12X1Xも12XX1も同じ理由でダメです。

ということで、21200のみが答えになります。
これなら小学生でも、というより変に数学の知識が無い小学生の方が簡単に
解けるのではないでしょうか。

以上、長文にお付き合いくださいまして、ありがとうございました。

No.5 回答者： zzzzzz 回答日時： 2002/03/21 01:08

> なお、n=5以外では、b,cの場合分けからは条件を満たすものは出てきません。

さらに訂正です。cの場合分けからn=4の時に1210が出ます。他には出ません。

No.4 回答者： zzzzzz 回答日時： 2002/03/20 03:11

> （これより5-A-1 > 1です）

すみません。5-A-1 > 0の間違いです。
取り除いた結果、数字が残らなかった(5-A-1=0)としたら、合計5-Aが0にならないはずはない、というのが根拠ですので。

No.2 回答者： puni2 回答日時： 2002/03/19 22:59

すみません，訂正です。

>最大が1の場合。
>1+1+1+1+1=0しかない。
ではなくて，もちろん 1+1+1+1+1=5 です。
同様に，その上の
>2+2+1+0+0, 2+1+1+1+0の2通りがある。
も，分かるとは思いますがそれぞれ「＝5」ということです。

No.1 回答者： puni2 回答日時： 2002/03/19 22:57

きっと，エレガントな解法があるのでしょうが，私はこんなふうに考えてみました。

A～Eはそれぞれ数字の個数であり，全部で5桁なのだから，A+B+C+D+E=5
使われている数字は0～4のどれかなので，0から4までの整数（重複可）を5個加えて5にする組合せを考えればよい。

大きいほうからいきましょう。
A～Eのうち最大の整数が4の場合。
A～Eの順序を無視すると，4+1+0+0+0=5（つまりA～Eのうちどれか一つが4，また別の一つが1，残り3つは0）とするしかない。これを問題文の「0がA個，1がB個，2が
C個，3がD個，4がE個」という条件にあてはめると，「0が3個，1が1個，2が0個，3が0個，4が1個」→求める整数（ABCDE）＝「31001」となり，4・1・0・0・0を並べ替えたものにはならないのでダメ。

最大が3の場合。
3+2+0+0+0=5と，3+1+1+0+0=5がある。
前者：「0が3個，1が0個，2が1個，3が1個，4が0個」→求める整数は「30110」となり，「32000」の並べ替えにはなっていないのでダメ。
後者：同様に「0が2個，1が2個，2が0個，3が1個，4が0個」→「22010」であり，「31100」の並べ替えにはなっていないのでダメ。

最大が2の場合。
2+2+1+0+0, 2+1+1+1+0の2通りがある。
前者：「0が2個，1が1個，2が2個，3が0個，4が0個」→「21200」であり，これは「22100」を並べ替えたものである。よって題意に適する。
後者「0が1個，1が3個，2が1個，3が0個，4が0個」→「13100」であり，「21110」の並べ替えではないからダメ。

最大が1の場合。
1+1+1+1+1=0しかない。
「0が0個，1が5個，あとは0個」→「05000」となり，「11111」の並び替えにはなっておらず，おまけに万位が0だからダメ。

以上より，求める整数は21200となります。
それにしても小学6年生にずいぶん難しいことをやらせるんですね。