3*3*3のルービックキューブは何通りのパターンがありますでしょうか?角度を変えれば同じに見えるものは1通りとします。

A 回答 (3件)

基本的に考え方はNo.1のC_ranさんのお答えのようです。


でも、それにケチをつけるようで申し訳ないですが、お答えの内で、「コーナーは8つ、側面部分も8つのパーツにわかれます」で、側面部分とは、キューブの稜の中心のものをさしておられますから、8ではなくて12となります。したがって、2^8 ではなく、2^12で、総数は、8!×12!×(3^8)×(2^12) となります。
さらに、次の3項が選択の余地無く自動的に決まってくるようです。
 1・8つ目のコーナーの向き(1/3になる)
 2・12個目の稜の中心のものの向き(1/2になる)
 3・11,12個目の稜の中心のものの位置(相互入れ換えが出来ない。1/2となる)
以上を加味して、最終的には、8!×12!×(3^8)×(2^12)÷(2×3×2)となります。
C_ran さんの計算の結果にこれらの修正を加えて、約4.32×10^19 となります。
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この回答へのお礼

細かいところを考慮すると何通りも答えがでてきますね。私は大体のオーダーが知りたかっただけでしたので満足です。ありがとうございました。

お礼日時:2002/03/20 20:30

yacobさん指摘の通り立方体の辺は8ではなく12ですね…失礼しました。

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答えに自身はあまりないですが回答します。



ルービックキューブを分解した事があるので構造が大体解ります。
センターは向きは変わっても位置は固定されています。

コーナーは8つ側面部分も8つのパーツにわかれます。
それらの場所の変化は
8つの並び替えに等しいですからそれぞれ8!です。

コーナー部は3パターンの向きがあり
同様に側面部分が2パターンですから

3^8と2^8です。(8は8つのパーツ)

それを全て掛け合わせて
8!×8!×3^8×2^8が答えになります。
40320×40320×6561×256=2730555762278400通り

センターのマスの向きを考慮するならばこれに4^8(65536)をかける。
2730555762278400×65536通り
白のセンターマスには模様があり、これだけの向きを考慮すれば良いのならば
4をかけたのが答えです。
2730555762278400×4通り

ではないでしょうか?
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この回答へのお礼

すごい数になるだろうと想像していましたが、やはりすごい値ですね。
ギネスによると、1分代で6面を完成させた人がいるそうです。
私は1面も完成したことがありません。。。
ありがとうございました。

お礼日時:2002/03/20 20:21

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{Γ(3/4)}^2 / √(2π) = 0.599070117367796…

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Tacosan さんの言われるようにΓ関数の無限乗積表示
(1)  Γ(z) = lim[{m→∞] {m^z m! / Π[m=0→∞] (m+z)}
を使えばできます.
この式に合わせるために,質問の式で n = m+1 として
(2)  m{m+(1/4)} / {m+(1/2)}{(m+(3/4)}
を問題にすればよい.
(3)  m+(1/4) = {[m+(1/4)] / [m^(1/4) m!]} m^(1/4) m!
としますと(他の因子も同様にする),
{} がちょうど(1)の右辺の形になり(逆数ですけれど),
おつりの m^(1/4) m! などの因子は m,m+(1/4),m+(1/2),m+(3/4) の
4つの因子から来るものでキャンセルします.
したがって,質問の無限乗積は
(4)  Γ(1/2)Γ(3/4) / Γ(1)Γ(1/4)
になり,
(5)  Γ(1) = 1
(6)  Γ(1/2) = √π
(7)  Γ(1/4)Γ(3/4) = (√2)π
を使えば geshira さんの答
(8)  Γ(3/4)}^2 / √(2π)
が得られます.
なお,(7)はいわゆる反転公式
(9)  Γ(z)Γ(1-z) = π/sin(πz)
で z=1/4 とおけば直ちに得られます.

Tacosan さん,以前になにかの質問でご一緒した記憶があります.
批評がましくて何ですが,ばらして
(Πn)[Π(n-3/4)] / {[Π(n-1/2)][Π(n-1/4)]}
としてしまうと,(Πn) などそのものは当然発散してしまいます.

geshira さんの答で合っています.

Tacosan さんの言われるようにΓ関数の無限乗積表示
(1)  Γ(z) = lim[{m→∞] {m^z m! / Π[m=0→∞] (m+z)}
を使えばできます.
この式に合わせるために,質問の式で n = m+1 として
(2)  m{m+(1/4)} / {m+(1/2)}{(m+(3/4)}
を問題にすればよい.
(3)  m+(1/4) = {[m+(1/4)] / [m^(1/4) m!]} m^(1/4) m!
としますと(他の因子も同様にする),
{} がちょうど(1)の右辺の形になり(逆数ですけれど),
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 お答えとして的を得ているかどうかは疑問ですが。

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係数を有理数に限定すると上式の因数分解は無理だと思いますが、
係数を実数の範囲まで広げれば、以下のように因数分解できるのではないでしょうか。

(1)=0 とし、これをxについての3次方程式と見て解く

x=cosα とおく (0≦α≦π)
8cos^3α-6cosα+1=0 …(2)

ここで3倍角の公式cos3α=4cos^3α-3cosα より 
8cos^3α=2cos3α+6cosα これを(2)へ代入すると
2cos3α+1=0 cos3α=-1/2 0≦3α≦3π より  
3α=2/3π 3α=4/3π 3α=8/3π したがって
α=2/9π α=4/9π α=8/9π

よって(1)は
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(1)=0 とおいた3次方程式の3実数解はすべてこの範囲内にあることがわかります)

8*x^3-6*x+1…(1)

係数を有理数に限定すると上式の因数分解は無理だと思いますが、
係数を実数の範囲まで広げれば、以下のように因数分解できるのではないでしょうか。

(1)=0 とし、これをxについての3次方程式と見て解く

x=cosα とおく (0≦α≦π)
8cos^3α-6cosα+1=0 …(2)

ここで3倍角の公式cos3α=4cos^3α-3cosα より 
8cos^3α=2cos3α+6cosα これを(2)へ代入すると
2cos3α+1=0 cos3α=-1/2 0≦3α≦3π より  
3α=2/3π 3α=4/3π 3α=8/3π したがって
α=2/9π α=4/9π α=8/9π

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Qルービックキューブについて(BLD)

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Qルービックキューブの数学的背景について

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サイトにいろいろでてます.

論文も探せば見つかるはず.

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Qこのパターンがいったい何通りあるかを知りたいのです

本当の内容だと問題あるので、仮に病気1~病気10まで10種類の病気があるといたします。
その10種類の病気のいずれかまたは複数の患者をもつ親がいます。
子供は当然一人もいれば二人もいて、必ずこの10種類の病気を最低一つ疾患しているといたします。
患者、すなわち子供ですが、子供一人目が病気1、病気2を持ち、子供二人目は病気1だけをもっている。
この場合は、病気1がダブっているので、これはパターンには入れません。

親の子供がどの病気を持つかが何通りあるのかを知りたいです。

例えば、
●病気1
●病気1、病気2
●病気1、病気2、病気3
●病気1、病気2、病気3、病気4

とか、はたまた、

●病気1、病気10
●病気1、病気9

とかのパターンもあると思うし、ものすごく多い気がしてきたのですが、全部で何通りの組み合わせがあるでしょうか?

回答だけでも結構ですし、一目でわかるグラフ化や、計算方法(算数は忘れてしまっているので簡単なたとえがありがたいですが)も教えていただけると助かります。

宜しくお願いいたします。

説明が不足しているようでしたら補足します。

本当の内容だと問題あるので、仮に病気1~病気10まで10種類の病気があるといたします。
その10種類の病気のいずれかまたは複数の患者をもつ親がいます。
子供は当然一人もいれば二人もいて、必ずこの10種類の病気を最低一つ疾患しているといたします。
患者、すなわち子供ですが、子供一人目が病気1、病気2を持ち、子供二人目は病気1だけをもっている。
この場合は、病気1がダブっているので、これはパターンには入れません。

親の子供がどの病気を持つかが何通りあるのかを知りたいです。

...続きを読む

Aベストアンサー

補足欄に見たのですが、要するに、

「子供の人数、それぞれの子供が抱える病気のパターンなどの差を無視したとき、親が抱える病気の組み合わせは何パターンあるか?」

を知りたいのでしょうか?


それなら病気1を持つか持たないかで2通り
病気2を持つか持たないかで2通り
以下10まで続けて2の10乗で1024通り
病気を持つ子供が一人もいない場合を除けば

1024-1=1023通り

となります。

もしこの設定が間違えているのなら正しい設定を補足欄にお願いします。


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