No.4ベストアンサー
- 回答日時:
この数は ... が乱れてしまいました。
ΣN/(N-n)+1=N∫(y=0~1)Σy^(N-n-1) dy + 1
=N∫(y=0~1)(y^(N-1)-1)/(y-1) dy + 1
とかやれば計算できるとおもいます。
です。∫(y=0~1)dy は0から1で積分するという意味です。
失礼しました。
なんかもっと簡単な考え方があるような気がしますが
私の考えたところは以上のようなものです。
すみません。わかりました。かんたんでした。
1年のうちN日が天皇誕生日で埋められていると、N日目を決められた
天皇陛下のあと(365/(365-N))代目の天皇陛下が次(N+1日目)の天皇
誕生日が確定するようです。エクセルを使って統計的に計算したら
そうなりました。(すみません証明はできません。どなたか証明してください)
よって、
365/(365-0)+365/(365-1)+…365/(365-364)≒2364.64602344
代目に365日埋まります。motsuanさんの回答と一致しましたね!
これに在籍年数30年を掛け、約70939年後になりますね。
ありがとうございました。
No.3
- 回答日時:
365日のうちn日誕生日で埋まっていて次の1日を埋めるために必要な人数の期待値<x_n>は
x-1代だめでx代目で初めて違う1日なったとすると、
p_n=(365-n)/365として
<x_n> = Σ x (1-p_n)^(x-1) p_n (x=1~∞についての和) = 1/p_n.
よって、
Σ<x_n> (n=1~365-1についての和)+1=Σ365/(365-n)+1
となるのではないでしょうか?(+1は最初の一人ぶんです)
この数は
ΣN/(N-n)+1=N∫(y=0~1)Σy^(N-n-1) dy (y=0~1) + 1
=N∫(y=0~1)(y^(N-1)-1)/(y-1) dy -
とかやれば計算できるとおもいます。
Mathematicaで計算すると
N*(EulerGamma + PolyGamma[0, N]) + 1
とかゆう関数になるようで、下のアルゴリズムで実験したところ
N=10までは一致するようです。
N=365すなわち問題の場合は
2364.65(単位:代)
です。
以上は微分方程式
dn/dx= (N-n)/N
(Nが365日、nが埋まった日にち、xがx代目)
から逆に考えたものです(連続なので永遠にNに到達しないのですが
離散的に考えれば上のようになるかと思います)。
--------------計算につかったアルゴリズム(Mathematica)-------------------
(*
maxnumber:サイコロの目の最大数, trialnumber:試行回数
を与えて全部の目が出るまでにかかる回数の平均を求めます。
*)
Monte[maxnumber_, trialnumber_] := Module[
(*局所変数の宣言*)
{countcount , count, lis},
(*サイコロの定義:1~maxnumberの目がランダムにでます*)
Dice[] := Ceiling[maxnumber*Random[]];
(*何回で全部の目が出たかを数えたcountを毎回足し合わせて最後に試行回数で割る*)
countcount = 0;
(*trialnumberだけ繰り返す*)
For[i = 0, i < trialnumber, i++,
(*出てきた目のリスト*)
lis = {};
(*何回サイコロをふったか*)
count = 0;
(*出てきた目のリストの長さがmaxnumber以上になるまで続ける=全部の目がそろうまで*)
While[ Length[lis] < maxnumber,
(*サイコロを振ったので1つ加える*)
count++;
(*重複を許さず出てきた目をリストに保存*)
lis = Union[ lis, {Dice[]}];
];
(*全部の目がそろうまで掛かった回数を足し合わせる*)
countcount +=count;
];
(*最後に試行回数で割って平均をとる*)
countcount/trialnumber
];
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