中学でやった気がするのですが、どうも思い出せんので教えてください。
3辺の長さと1つの角が決まっているとき。
他の2つの角を出すには、どんな式を用いたら良いのでしょうか。

A 回答 (4件)

余弦定理ですね。

3つの辺の長さが決まっていれば、三角形は一意に決まるので、もう一つの角の大きさはわからなくてもOKです。

三角形ABCの角をA,B,Cとして、それぞれの向かい合った辺をa,b,cとすれば、
cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)
cosB=(c^2+a^2-b^2)/(2ca)
cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)
として、角の大きさが求まります。
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この回答へのお礼

全くその通りです。言われると、そー言えばそんなんだったな~って感じですね
大変助かりました、これで作業の方も続けて進められます。
有り難うございます。

お礼日時:2002/03/23 02:02

三角関数ってのは「三角形」でかんがえるのではなくて「円」で考えた方が解りやすいと思います。

「点」が「円周」をグルグルまわっているイメージで、回転角度と、そのときの点の位置を表わす。
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starfloraさんの「正弦定理」は、私の記憶違いでなければ、その通りでよいはずです。


ただ、0~πの範囲で考えると、一般的には一つのsinの値に対して二つの角度が対応
しますので、chukanshiさんのように余弦定理を使った方が効率的だと思います。

なお、皆さんも仰るように、これは3辺の長さが決まっている場合の話です。
さらに1つの角を決めてしまうと、「そんな三角形はできません」という答になる場合
もあります。
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  何か古いことで、いま確認してみたのですが、「正弦定理」というものがあったはずです。(違っているという人は、そう述べてください)。
  確認してみると、そうなるので自信ありとします。
 
  これは、各辺を a,b,c とし、辺に対する角度をα、β、γとすると、三角形の面積をSとして:
 
  sinα/a=sinβ/b=sinγ/c=2S/abc
 
  という形です。
 
  a,b,c が分かっていて、角度の一つが分かっているなら、自動的に、sinα や sinβ、sinγ などが出てきます。(あるいは、a,b とαが分かっていれば、βが出てきますし、a,b とβが分かっていれば、αが出てきます。また、S=(bc*sinα)/2 なので、ある角度と、それを挟む二つの辺が分かっていれば、面積Sも出てきます)。
  
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この回答へのお礼

有り難うございます。
今回は、この正弦定理を使わなくてもよさそうなので。
またどこかで、参考にさせて頂きます。

お礼日時:2002/03/23 02:05

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Aベストアンサー

数学の問題というより,言葉の問題かも知れません。

「2角挟辺」をきちんと表してみましょう。

二つの三角形を,△ABC,△A'B'C'とするとき,
∠A=∠A'
∠B=∠B'
AB=A'B'
が(全て)成り立つならば,△ABC≡△A'B'C'

このとき,結果的に∠C=∠C'も成り立っています。
では,同じように「2角1辺」を式に直してみましょうか。

二つの三角形を,△ABC,△A'B'C'とするとき,
∠A=∠A'
∠B=∠B'
(従って結果的に,∠C=∠C'でもある)

…ここまでは良いのです。問題はその次です。
「1つの辺が等しい」
これをどう解釈するか。
「対応する1つの辺が等しい」と解釈すれば,AB=A'B'か,BC=B'C'か,CA=C'A'のどれかということになります。
この場合は,その辺の両サイドの角について考えれば,質問者さんがおっしゃるとおり,2角挟辺に帰着しますので,合同になります。
つまり,「対応する2角が等しく,またそれと同じ対応関係のもとで対応する1つの辺が等しければ,合同」です。

しかし,これを省略して「2角1辺」といってしまうと,「それと同じ対応関係のもとで対応する1つの辺」という条件を忘れてしまって,単に「1つの辺が等しい」というだけの意味で解釈されてしまう危険性があります。
そうすると,既出のように,たとえばAB=ACなどのようなケースも入ってきてしまいます。
つまり,例えば「∠A=∠A',∠B=∠B',AB=AC」も含まれるのかな,
と思う人が出てくるおそれがあります。
そういう誤解の生まれる余地のないように,「2角挟辺」という表現になっているのではないかと思います。

ちなみに,残りの2つの合同条件は「2辺挟角」と「3辺」ですが,
>「2辺挟角」が「2辺1角」では合同にならないことは理解できています
とのことですので,最後の「3辺」について一言触れておきますと,三角形ですので,「3辺が等しい」のであれば,どう対応させようとも,合同になってしまうのです。(はしょった表現ですが通じるでしょうか)

数学の問題というより,言葉の問題かも知れません。

「2角挟辺」をきちんと表してみましょう。

二つの三角形を,△ABC,△A'B'C'とするとき,
∠A=∠A'
∠B=∠B'
AB=A'B'
が(全て)成り立つならば,△ABC≡△A'B'C'

このとき,結果的に∠C=∠C'も成り立っています。
では,同じように「2角1辺」を式に直してみましょうか。

二つの三角形を,△ABC,△A'B'C'とするとき,
∠A=∠A'
∠B=∠B'
(従って結果的に,∠C=∠C'でもある)

…ここまでは良いのです。問題はその次です。
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これはt^2に関する2次方程式、よって解けて
t^2=10-√(120p-20)
t=√(10-√(120p-20))

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