次の問題を解答用紙の書き方で解いて下さい。

<問題1>
-1≦x≦1、かつ-1≦y≦1の範囲で、2XX(Xの二乗のこと)+5YY(Yの二乗)-2XY-6Y-1の最大値、最小値を求めよ。

<問題2>
Xに関する方程式
(xx(Xの2乗)-2x+a)2(←2乗)+(xx-2x+a)+b=0
の異なる実数解はちょうど三個あり、すべて0≦x≦2の範囲にある。
このような実数a,bの条件を求めよ。

A 回答 (2件)

こんにちわ。

hikaru_macです。
まず聞きたいのですが、あなたは、一応、自分で答えが出たけども、書き方が分からないのか、
答えが出ていないのか。

前者ならば、問題集とか、教科書の似た問題を探して、解答をじっくり眺めて精進すべし。

答えが出ていない、ならば、解答用紙の書き方うんぬんよりも、とりあえず、答えを正しい道筋で出す、理解することが先決です。

あなたは、どちらなのでしょうか?

とりあえず、この問題について、略解を思い付いたので記しておきます。

<問題1>
問題の式の値をkとおいて、(2XX+5YY-2XY-6Y-1=k)これを変型すると、だ円の式になる。(変型しなくてもだ円の式だけど、変型すると分かりやすい。)中心座標と、半径(長軸の長さと短軸の長さ)を求めて、とりあえず、図を描いてみる。-1≦x≦1、かつ-1≦y≦1のはんいで、このだ円がが存在できるようなkの範囲を求めて、その最大値と最小値が答えとなる。
最後の部分は自分でちょっと唸って考えて下さい。けっこう、難しい考え方です。
あと、別解としては、だ円の式をx→u,y→vに変換してu,v座標系で元の式が円の方程式になるようにすれば、解きやすくなるかも知れないが、これが分かる程ならだ円のままでも答えが出るかも知れない。

さらに別解:
問題の式をxで微分して、最大値、および、その最大値を取る時のxの値をyであらわして、最大値を今度はyで微分しても答えがでる(ような気がする)。x,yの変域に注意。


<問題2>
Y=xx-2x+aとおき、元の式を書き換えると
Y^2+Y+b=0
これの解をα、βとすると、
元の四次方程式の解は
xx-2x+a=α、xx-2x+a=β
の解、よっつ。
四つのはずなのに「異なる実数解はちょうど三個」ってことは、なにかがだぶってるってこと。
ところで、実数係数の方程式の解は、共役複素数やらなんやらのへんのことでしってるとおもうけど、虚数の解は二つづつあるはず、ってことで、今回は虚数解はなし。(解はおおくて全部で四つだが、そのうち三つは実数解であることが分かっているので)
けっきょく、αもβも実数である。(そうでないと、「異なる実数解はちょうど三個」にならない)
また、αとβが同じ値なら異なる解は二つ以下になってしまうので
αとβは異なる値。
ということで、結局、
xx-2x+a=α(式1)、xx-2x+a=β(式2)の解は「異なる実数解はちょうど三個」にな
る。んで、α≠β

この状態をおちついてかんがえると
イ)式1は異なる解を二つ持ち、式2は重解を持ち、これらは一致しない。
ロ)式1と式2は両方、異なる解を二つづつ持つ(判別式>0)が、同じ解が一つある。

このようにして、条件を設定すると、とけるんじゃぁないでしょうか?

※「~の二乗」は「~^2」と書きます。
例)x^2
[^]はキーボードの数字の行の0から三つ右にあります。

※ 解答の書き方は、論理の順番で書いていけば、いいと思います。
自分で書いてみて、それを採点してもらうと良いと思います。
見本がみたいなら、他の問題(類題や例題)の解答をじっくり読むなどしましょう。
それでもだめだ~ってときは、また、この掲示板に相談お書き込みをしたらいかがでしょうか。
    • good
    • 0

(1)最小値 ー3 最大値 14


(2)0<b<1/4 かつ a=1/2-sqrt{1/4-b}
    • good
    • 0

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Qエクセルで複素数の表し方

例えばisinθはエクセルでどうやって表せばよいのでしょうか?またその方法はexp(iδ)にも適用できますか?

Aベストアンサー

IMSIN関数が使えます。ただし「ツール」→「アドイン」で分析ツールを組み込む必要があります。以下はEXCELヘルプの内容です。

IMSIN(複素数)
複素数 サインを求める複素数を指定します。
COMPLEX 関数を使用すると、実数係数と虚数係数を指定して、複素数に変換することができます。

後半部分の意味はよく理解できませんが、IMLN(複素数の自然対数を返す)、IMLOG10(複素数の 10 を底とする常用対数を返す)関数も利用可能です。

Q数学 計算(x二乗+xy+y二乗)(x二乗−xy+y二乗)(x4乗−x二乗y二乗+y4乗)↑

数学 計算
(x二乗+xy+y二乗)(x二乗−xy+y二乗)
(x4乗−x二乗y二乗+y4乗)

↑見づらくてすみませんT_T
途中の計算式、説明含めて教えて下さい。
来週、期末テストで助けで下さい…

Aベストアンサー

(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)(x^2+y^2=A)
前の二項で、x^2+y^2=Aと考えると (A+xy)(A-xy) となり、 A^2-x^2y^2 
Aに (x^2+y^2)を代入して計算すると  x^4+x^2y^2+y^4  なります
x^4+y^4=B と考えると 与式は   (B+x^2y^2)(B-x^2y^2)

B^2-x^4y^4   Bに x^4+y^4 を代入すると (x^4+y^4)^2-x^4y^4

計算して、 x^8+2x^4y^4+y^8-x^4y^4=x^8+x^4y^4+y^8 

参考までに。

Q複素数

複素数について質問させて頂きます。

参考書には、
「複素数zが実数でない場合つまり、虚部が0でないときzは虚数である」という。

というように記載されていました。
私は複素数は常に虚数だと認識していましたがそうでない場合もあるのでしょうか?
複素数zが実数でない場合と記載されていたので複素数が実数の場合もあるのでは
ないかと考えた次第です。

つまり、
z=x+iy
(z:複素数、x,y:実数、i:虚数単位)
において、y=0の場合でもzを複素数と呼ぶのですか?
上記の場合、zは虚数ではないですが複素数とは言えるのでしょうか?

複素数の定義は、
実数x,yと虚数単位iを用いてz=x+iyの形で表すことのできる数です。
(定義にy≠0は特に記載されていませんでした。)

なので、z=x+iyにおいてy=0の場合は複素数とは言わないと考えています。

質問内容を整理しますと、
(1)複素数は常に虚数である
(2)z=x+iyにおいて、y=0のときzは複素数ではない
  複素数の定義にy≠0は必要なのでしょうか?


以上、ご回答よろしくお願い致します。

複素数について質問させて頂きます。

参考書には、
「複素数zが実数でない場合つまり、虚部が0でないときzは虚数である」という。

というように記載されていました。
私は複素数は常に虚数だと認識していましたがそうでない場合もあるのでしょうか?
複素数zが実数でない場合と記載されていたので複素数が実数の場合もあるのでは
ないかと考えた次第です。

つまり、
z=x+iy
(z:複素数、x,y:実数、i:虚数単位)
において、y=0の場合でもzを複素数と呼ぶのですか?
上記の場合、zは虚数ではないですが複素数...続きを読む

Aベストアンサー

>複素数の定義は、
>実数x,yと虚数単位iを用いてz=x+iyの形で表すことのできる数です。
>(定義にy≠0は特に記載されていませんでした。)
>
>なので、z=x+iyにおいてy=0の場合は複素数とは言わないと考えています。

どうしてそういう意味不明なことを?

z=x+iyであって,yについては何も条件がない(yが実数ということ以外)なら
yは実数であればなんでもいいということです
勝手に「yは0ではない」なんてつけてはいけません.

実数は複素数の一部です.
高校でそう習ったでしょう?
教科書にもそう書いてあるでしょう?

「zは複素数」という言及は「zが実数」というのを含みます.
「複素数zが実数ではない」というのが虚部が0ではないという意味です.

ちなみに
>複素数zが実数でない場合つまり、虚部が0でないときzは虚数である

こんな言い方はかなりマイナーです.
教科書や問題集で「虚数単位」という以外に
わざわざ「虚数」っていうことはほとんどないはずです.

Qx,yは実数x^2+y^2=36,y≧0を満たす時、(□-□√□)/5≦(y-3)/(x-9)≦□を埋めよ

こんばんわ。宜しくお願い致します。

[問]
x,yは実数x^2+y^2=36,y≧0を満たす時、
(□-□√□)/5≦(y-3)/(x-9)≦□
を埋めよ。

という問題で困ってます。
(y-3)/(x-9)=k
とおいてから
y=kx-9k+3
から先に進めません。
何か良い方法がありましたらお教え下さい。

Aベストアンサー

x^2+y^2=36,y≧0 は、原点中心の半径6の円の上半分
(y-3)/(x-9)=k
とおくと
(y-3)=k(x-9) は、(9,3)を通る直線
この直線が半円と共有点を持つときの傾きkの範囲を求めるということ。
最大値はすぐわかりそう。
「最小値は直線と原点の距離が6」という条件でやったらいいと思います。

Q複素数 実数 集合 濃度

複素数と実数について質問させて頂きます。

実数は有理数と無理数をあわせた数(複素数から虚部を除いた数)
と認識しています。

添付にイメージ図を記載しました。
このイメージ図が間違っているのでしょうか?

集合としては実数より複素数が大きいと思います。
しかし、複素数と実数の濃度は等しいと教えて頂きました。

濃度とは、有限集合でいうところの数だと認識しています。

集合として複素数が大きいのに、複素数と実数の濃度が等しい
事が不思議でなりません・・・
複素数の集合は実数の集合と虚数の集合を合わせたものなのに
なぜ、複素数と実数の数は等しくなるのでしょうか?


以上、ご回答よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

Alice_44先生よりも素人っぽい説明をトライしてみます。

連続体濃度で考える前に加算濃度の無限集合を考えます。

最初に、二元数の無限集合が一元数の無限集合と一対一対応することを確認します。
二元数とは二次元座標系の様に、(X,Y)で表すことが出来る数です。
大きさが無限の碁盤の目を想像してください。
縦方向にXを割り当て、横方向にYを割り当てると、無限に大きな碁盤の目で全ての可算無限の二元数が割り当てられることが分かります。
つぎに、自然数Nをもってきて、碁盤の目を斜めに割り当てます。図を書くのが面倒なので言葉で説明すると、

(1,1)=1
(2,1)=2
(2,2)=3
(3,1)=4
(3.2)=5
(3,3)=6
(4,1)=7
 ・・
 ・・
 ・
と割り当てて行けば、すべての升目に自然数Nを一対一で対応させることができます。
したがって、二元数の可算無限の濃度は、自然数と同じ、つまりアレフ0であることが分かります。

連続体濃度でも同じように対角線で対応を考えると、実数Rと複素数X+Yiが一対一対応をすることが分かります。
(数学的にはここの詰めが甘いとこなのですが、イメージはつかみやすいと思います。)
このことから複素数と実数がおなじ濃度アレフ1を持つことが分かります。

連続体濃度の二元数は平面と考えることができます。したがって、上記のことは、直線の中にある点の数と、平面の中にある点の数が同じであるという、摩訶不思議なことを証明しています。
立体空間に中に取れる全ての点(=3元数)と、線分の中に取れるすべての点も一対一対応することが分かります。
まさに無限であることからの違和感がありますが、点を元とする無限集合は、直線でも、平面でも、立体でも、濃度が同じという事です。

ご参考まで。

Alice_44先生よりも素人っぽい説明をトライしてみます。

連続体濃度で考える前に加算濃度の無限集合を考えます。

最初に、二元数の無限集合が一元数の無限集合と一対一対応することを確認します。
二元数とは二次元座標系の様に、(X,Y)で表すことが出来る数です。
大きさが無限の碁盤の目を想像してください。
縦方向にXを割り当て、横方向にYを割り当てると、無限に大きな碁盤の目で全ての可算無限の二元数が割り当てられることが分かります。
つぎに、自然数Nをもってきて、碁盤の目を斜めに割り当てます。図...続きを読む

Q2 x - y を最大にする方法 (x≦y かつ 0≦x+y≦2で)

x ≦ y かつ 0 ≦ x + y ≦ 2 という条件の下で

● f = 2 x - y

を最大化する x, y を求める方法はないでしょうか?

いろいろ試行錯誤をして

「 x = y = 1 が答えらしい」

ということは何となく分かってきたのですが、すっきりと解く方法が分かりません。

よろしくおねがいします。

Aベストアンサー

天才以外の人はグラフを描きましょう。

まず
x ≦ y かつ 0 ≦ x + y ≦ 2 という条件を図示しましょう。
0 ≦ x + y ≦ 2というのは
-x ≦ y かつ y ≦ -x + 2のことですね。

つまり図の青の斜線のようになります。

2x-y=kとすればこれはy=2x-kとなるのでkが大きくなるように図示すると赤線のようになります。

*このとき赤線は領域内のどこかに触れてなければいけません。
 今回の場合は角(1,1)になります。

Q代数学の基本定理と複素数体cより濃度が大きい環?

代数学の基本定理では、複素数を係数に持つ任意の、n次方程式は必ず、n個の複素数の根を持つ、とあります。私は、これは、複素数体cより濃度が大きい体を考えても無駄ということを意味すると思うので、一般に、複素数体cより濃度が大きい環を考えても無駄だと思うのですが、複素数体cより濃度が大きい環はあるのでしょうか?

Aベストアンサー

「複素数から複素数への写像の集合」Fは複素数体Cより濃度が大きいですよね。
Fの元f,gについて、
加法を f+g : z → f(z) + g(z)
乗法を fg : z → f(z)g(z)
と定義しましょう。

この時、零元は 0F : z → 0 、
fのマイナス元は -f : z → -f(z) であり、
交換法則・結合法則は満たします。

また、単位元は 1F : z → 1 、
fの逆元は f ≠ 0Fの時 f^(-1) : z → 1/f(z) であり、
交換法則・結合法則は満たします。

また、分配法則も満たすので、可換体になっていないでしょうか。

Q3x^2+7xy+2y^2-5x-5y+2=(x+2y-1)(3x+y-2)について

3x^2+7xy+2y^2-5x-5y+2を因数分解せよという問題で、xについて整理し、3x^2+(7y-5)x+(y-2)(2y-1)という方針で解いていくやり方と、
yについて整理し、2y^2+(7x-5)y+(x-1)(3x-2)という方針で解いていくとき方の2通りありますが、どちらで解く習慣を身につけておいた方がよろしいでしょうか?

Aベストアンサー

xやyのどちらの文字で整理するかで決めるのでなく、
次数の低い方、
その文字の現れる項数が少ない方
両方とも同じなら最高次の係数が小さい方
の文字に着目して整理して解くのが基本かと思います。

例題の場合はx,yについて共に2次、項数も共に3項で同じ、最高次の係数も3と2で素数の小さな数ですから、あまり差はありません。後は好みだけの問題でしょう。同じならxと決めて置いても

他の方法としてxとyの両方に着目し2次の項の因数分解
3x^2+7xy+2y^2=(x+2y)(3x+y)
をしてから、一時項を含めた因数分解に進めます。
左辺=(x+2y+a)(3x+y+b)
定数項ab=2に着目してa,bの候補を絞れば良いですね。

Q複素数をより高い視点から

私は高校レベルの複素数には飽き足らず、いろいろ複素数について学んでいくうちにもっと専門的なレベルでの複素数について純粋に知りたいと思っています。学参には書いていないような、テイラー展開がどのように複素数と関係するのかなど、高校レベルよりも少し高いくらいのことが知りたいです。そこで大学での専門書の中で、入門書レベルの専門書で何かお勧めの書はごぞんじありませんか?ぜひ教えてください!!

Aベストアンサー

そうですねえ。読みやすさということなら、
志賀浩二「数学が育っていく物語2 解析性 」
はどうでしょう。

専門書とは言えませんが、テイラー展開と複素数の関係(解析性)なんかを、ほんとの専門書で学ぶ前にイメージしたい、っていうには非常によいかと。

QX-Y平面の領域D={(x,y)|0≦x≦1,x-1≦y≦x+1}を、

X-Y平面の領域D={(x,y)|0≦x≦1,x-1≦y≦x+1}を、x/y=u,y=vとして、U-V平面での領域で表したいのですが、どうにもできません。誰か教えてください。

Aベストアンサー

定義域をどう変換したら良いかわからないという意味の質問と捉えるならば、(<、>の下の等号は省略)
0<x<1 より両辺を足したり引いたりすれば、
1<x+1<2
-1<x-1<0
よってx-1<y<x+1 は -1<y<2 となり、 -1<v<2
また、x/y=uより0<x<1は0<uy<1
これから両辺に(題意としてy=v=0は定義されないので)1/yを掛ければ
0<u<1/y=1/v となりvの定義域から1/vの定義域の上限は無限大なので
0<uのみとなる。
結果、-1<v<2、0<uが領域の変換後の回答です。


 


人気Q&Aランキング

おすすめ情報