空間内に点A(1,2,3)がある。

(1)x軸と直交し、z軸の正の向きとの成す角が45°であり、y成分が正である単位ベクトル→tを求めよ。

(2)Oを原点とし、→t=→OTとなるように点Tを定め、直線OT上にOと異なる点Pをとる。
OP⊥APである時、Pの座標を求めよ。

(1)の回答が →t=(0,√2/2,√2/2)
(2)が (0,5/2,5/2)
となることは分かっているのですが、それぞれの解き方が全く分かりません。
よろしくお願い致します。

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A 回答 (3件)

 


  1)ヴェクトルtを、(x,y,z) で表します。
  
  まず、tは、原点Oから延びるヴェクトルです。そして、x軸と直交ということは、tは、yz平面にあるということになります。従って x=0。
  z軸の正の向きに単位ヴェクトル (0,0,1) を考えます。
  すると、z軸の正の向きと成す角度が45度ということは、内積で考えて:
  (x,y,z)/*/(0,0,1)=z=1*1*cos(45)=cos(45)=(√2)/2
  tは単位ヴェクトルですから、その長さの絶対値は、1で、
  成分で表示すると、x^2+y^2+z^2=1 です。
  x=0, z=(√2)/2 を代入すると:
  0+y^2+1/2=1 → y^2=1/2 → y=+/-(√2)/2
  ここで、y>0 という条件から、y の+の方がその値で:
  → t=(0,(√2)/2),(√2)/2)
 
  2)T=OTで、OT上に点Pを取って、ヴェクトルOPを考えるということは、ヴェクトルOP=k(0,(√2)/2),(√2)/2) ここで、k は1未満のある数です。無論、0ではないです。
 
  そこで、OP⊥AP とは、OP と AP の内積がゼロになるということで、AP は、AからPに延ばしたヴェクトルであるということは、AP=P-A
  (注:この順序は重要です。AからPの場合、P-Aで、逆にPからAの場合、A-Pとなります)。
  AP=P-A=k(0,(√2)/2),(√2)/2))-(1,2,3)=(-1,(k√2/2)-2,(k√2/2)-3)
  OP/*/AP=(0,(k√2)/2),(k√2)/2)/*/(-1,(k√2/2)-2,(k√2/2)-3)=0
  = k^2(1/2)-k√2+k^2(1/2)-3k(√2)/2)=0
  = k^2-(5√2/2)k=0
  = k(k-5√2/2)=0
  k=0 ではないので、k=5√2/2
  よって、
  OP=(5√2/2)*(0,(√2)/2),(√2)/2)
  =(0,5/2,5/2)
  
  内積を示すため、記号として、/*/ を使いました。ここでの臨時の記号です。
  
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t=(a,b,c)とします。

tは単位ベクトルですから、|t|=1であり、
|t|=√(a^2+b^2+c^2)=1です。

(1)
x軸を表す単位ベクトルはx=(1,0,0)であり、これと直交するから、
x・t=|x||t|cos90°=0である。
x・t=a+0+0=a=0だから、まず、t=(0,b,c)となります。
次にz軸と成す角が45°であるから、Z=0,0,1)として、
z・t=|z||t|cos45°=√2/2(zとtは単位ベクトルだから)
z・t=cだから、c=√2/2である。よって、t=(0,b,√2/2)。
さらに、tが単位ベクトルだから、
0^2+b^2+(√2/2)^2=1で、b>0より、b=√2/2。
よって、t=(0,√2/2,√2/2)。(答え)

(2)
ベクトルOPは、ベクトルtのk倍となるから、
OP=k(0,√2/2,√2/2)。
AP=OP-OA=(-1,k√2/2-2,k√2/2-3)とあらわせる。
OP・AP=0(直交するから)だから、
-1*0+(k√2/2-2)*k√2/2+(k√2/2-3)*k√2/2=0
これを変形して、
k(k-5√2/2)=0となる。
OPはゼロベクトルではないから、k=5√2/2。
よって、
OP=5√2/2(0,√2/2,√2/2)
=(0,5/2,5/2)と求まる。(答え)
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内積は考えました?

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Qイラストレーターでのダブル、シングルトンボについて

広告制作の仕事をしています。
トンボにはダブルトンボやシングルトンボと呼ばれるものが
あるのは知っていたのですが
ずっとあまり気にせずトンボはトンボとして
普通にトリムマークで作るトンボを使用していました。

ダブルトンボとシングルトンボはどういうものか。
どういった時に、どういう為に使うものなのか。
また、そのトンボの付け方など教えていただけないでしょうか。
色々サイトで調べても どうもうまく理解できなくて…
どなたかご存知の方がいらっしゃいましたら教えて頂きたいです
宜しくお願い致します!

Aベストアンサー

>いつも使っているトリムマークで付けるトンボが
>ダブルトンボという事になるのでしょうか?

Illustratorで 「日本式トンボ」が ダブルトンボとなります。

>シングルトンボはオフセット輪転機の場合に付けるトンボの種類

 いえいえ、オフセット輪転機で「オフ輪サイズ」という「必ず白フチがつく」サイズがありますが
 その場合にのみ使います。 
 
 オフセット輪転でも白フチがつかない「4方断裁」する場合はダブルトンボを使います。

Q{√(1)+√(1+2)+√(1+2+3)+…+√(1+2+…+n)}/n^2 → √2/4

n → ∞のとき、
{√(1)+√(1+2)+√(1+2+3)+…+√(1+2+…+n)}/n^2 → √2/4

また、n → ∞のとき、
{√(1+2+…+n)+√(2+3+…+n)+…+√(n-1+n)+√(n)}/n^2 → π√2/8

らしいのですが、証明がかいてありませんでした。
どうか証明を教えていただけないでしょうか。

Aベストアンサー

#3、#5です。

>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)[Σ[k=1,n]{k/n} - 1/n + (n+1)/n]
>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)Σ[k=1,n]{k/n}

1/nが消えるのはわかるのですが、n/n(=1)が消えるのはなぜでしょう?


>でもそのはさみこむ方法は、後半ではうまくいきにくいし、…

後半もうまくいきましたので、以下に説明します。
n=7の場合のグラフを添付します。
区分求積法により、{√(1+2+…+n)+√(2+3+…+n)+…+√(n-1+n)+√(n)}/n^2 は幅(1/n),高さ{√{(k+1)+(k+2)+…+n}}/nの階段状の図形の面積になります。k=0~n-1です。
下限関数 f(x)=√{(1-x^2)/2}
上限関数 g(x,Δ)=√[{(1+Δ)^2-x^2}/2] (但しΔ=1/n)
階段関数 {√{(k+1)+(k+2)+…+n}}/n=√[{n(n+1)-k(k+1)}/(2n^2)]

(1)x=k/nのところで、階段の高い方より上限関数 g(x,Δ)が大きい事を示します。但しk=1~nです。
x=k/nの階段の高い方は√[{n(n+1)-(k-1)k}/(2n^2)]です。
x=k/nの上限関数 g(x,Δ)=g(k/n,1/n)=√[{(1+(1/n))^2-(k/n)^2}/2]=√[{(n+1)^2-k^2}/(2n^2)]
(上限関数) ≧ (階段関数の高い方) を示すには、ルートと分母の(2n^2)が共通なので、
(n+1)^2-k^2 ≧ n(n+1)-(k-1)k を示せば十分です。
{(n+1)^2-k^2}-{n(n+1)-(k-1)k}=n-k+1≧0 より明らかです。

(2)x=k/nのところで、階段の低い方より下限関数 f(x)が小さい事を示します。但しk=0~nです。
x=k/nの階段の低い方は√[{n(n+1)-k(k+1)}/(2n^2)]です。
x=k/nの下限関数 f(x)=f(k/n)=√[{(1-(k/n)^2}/2]=√[(n^2-k^2)/(2n^2)]
(階段関数の低い方) ≧ (下限関数) を示すには、ルートと分母の(2n^2)が共通なので、
n(n+1)-k(k+1) ≧ n^2-k^2 を示せば十分です。
{n(n+1)-k(k+1)}-(n^2-k^2)=n-k≧0 より明らかです。

以上の事から階段関数は下限関数 f(x)と上限関数 g(x,Δ)の間に入る事がわかりました。
下限関数の面積をF,上限関数の面積をG(n),階段関数の面積をA(n)とすると、
F ≦ A(n) ≦ G(n) となります。
F=∫[0→1]f(x)dx=(1/√2)(単位円の面積÷4)=π(√2)/8
G(n)=∫[0→(1+Δ)]g(x,Δ)dx=(1/√2)(半径(1+Δ)の円の面積÷4)={π(√2)(1+Δ)^2}/8 (但し Δ=1/n)
つまり階段関数の面積はπ(√2)/8以上{π(√2)(1+1/n)^2}/8以下になります。
n→∞で階段関数の面積はπ(√2)/8に収束します。

#3、#5です。

>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)[Σ[k=1,n]{k/n} - 1/n + (n+1)/n]
>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)Σ[k=1,n]{k/n}

1/nが消えるのはわかるのですが、n/n(=1)が消えるのはなぜでしょう?


>でもそのはさみこむ方法は、後半ではうまくいきにくいし、…

後半もうまくいきましたので、以下に説明します。
n=7の場合のグラフを添付します。
区分求積法により、{√(1+2+…+n)+√(2+3+…+n)+…+√(n-1+n)+√(n)}/n^2 は幅(1/n),高さ{√{(k+1)+(k+2)+…+n}}/nの階段状の図形の面積になります。k=0~n-1です。
下限関...続きを読む

Qイラレで画像のトンボの作り方を教えて下さい

最近、スクリーン印刷用のイラレファイルを作る機会ありまして、
普通にCS3でクリエイトトリムでトンボを配置し、入稿したところ、
「こんな意味無いトンボいりません」と職人さんに怒られました。
そして「このようにトンボつけて」とシルクスクリーン印刷の職人さんから
画像が送られてきたので、イラレCS3のメニューを探しましたが、
画像のトンボ作成メニューは見つかりませんでした。
仕方なく手作業で配置し再入稿した次第です。
このトンボは、見当トンボと言われるものなのでしょうか?
職人さんは、画像のトンボをイラレで普通に作成されているようです。
イラレでこのトンボをメニューからワンタッチで作成できるのでしょうか?
ご教授、宜しくお願い致します。

Aベストアンサー

#1です。
別に転写紙だって印刷業界には違いはないわけで・・・
転写シールのように鏡像だろうとトンボの描き方は印刷のルールですから変わりようがないんです。
(#2さんのおっしゃる「シングルトンボ」はルールとして存在します)
私自身、四半世紀は印刷業界(アナログ時代を含めて)に係わっていますが、こんなものを「トンボ」と言っている方にあったことがありません。

どうしてこんな風なものになってしまっているのかは全く不明ですし、どうやって付けているのかも不明です。
一応クリエイト>>トリムマークで作成した角トンボを各角(すみ)ごとのセットを個別に「ダイレクト選択ツール」で選択して中心点で180度回転すれば出来なくはないですが、なんの意味があるか全く不明です。

昔はトンボはカラス口で書いたり、シールでぺたぺた貼っていたのでその時に覚え間違えたとか?でしょうか・・・

Q√2,√3,√5,√6,√7,√10は有理数体上線形独立

文字を有理数として、
a√2+b√3+c√5+d√6+e√7+f√10=0
ならば
a=b=c=d=e=f=0
を示したいのです。

平方根の中身は、平方因数を外にくくりだしたとき、中身が異なるものであればなんでもいいです。
個別の数値の性質を用いるのではなく、できるだけ一般的に示したいのですが、証明がわかる方は教えていただけないでしょうか?

Aベストアンサー

一般的に示したいなら代数拡大の理論を使えばいいのではないでしょうか。

例えば上記の問題の場合、√2,√3,√5,√6,√7,√10は全てQ[√2,√3,√5,√7]に含まれており、
Q[√2,√3,√5,√7]/Qは次数16の代数拡大です。
この拡大を次数2の4つの体の拡大の列に分解すればQ[√2,√3,√5,√7]のQ上の基底を計算で求められます。
特にその基底の中に√2,√3,√5,√6,√7,√10が全てはいるのでこれらはQ上一次独立です。

この方法なら数字が変わっても、数字の個数が増えても計算がややこしくなりますが証明することができます。

Qトンボについて

京都府宇治市の者です。
先日、九月の初めにスーパーの駐車場で車の中に居たら窓に何度もトンボが寄ってきました。
 水とガラスを間違えたのか、産卵か交尾の行動をしていました。
そのトンボについての質問ですが、胸以下が赤色系で頭部はパステル調の緑色でした。
 その美しさに暫く見とれていたのですが、後で調べても中々何と云う名前のトンボだったのか判りません。
 アカネ(アキアカネ)に近いのですが、情報から大きさが大きすぎる様に思います。
 大きさは、オニヤンマ等の大型と赤トンボ等の小型の中間位で、シオカラトンボより一回り大きく思いました。
 兎も角、赤と緑の色調が美しいトンボでした。

この程度の情報で絞れるトンボは何トンボでしょうか?

Aベストアンサー

「カオジロトンボ」では?
    ↓
 http://www.jomon.ne.jp/~tomboy/page004.html#カオジロ2
(スクロールして、他の「カオジロ」も見てください。)

ただ、「北方系」のトンボらしいので、京都に現れるか疑問ですが。
紹介した写真のサイト、かなり詳しくトンボの絵が見られますので、
一度、すべてご覧ください。

・・・このトンボ、私も知りませんでした。

Qx≧1の時2(√(x+1)-√x),2(√x-√(x-1)),1/√xの大小関係は

こんにちは。


x≧1の時2(√(x+1)-√x),2(√x-√(x-1)),1/√xの大小関係は?

という問題なのですが
2(√(x+1)-√x) < 1/√x < 2(√x-√(x-1))
という大小関係になると思います。
単に引き算してもなかなか2乗の形に持ってけません。
どうやって証明するのでしょうか?

Aベストアンサー

ヒントのみ
1/√xに着目して
分子の有理化をしてください。
そして、逆数の大小の比較(差をとって比較)してください。
大小関係が決まりますので、その逆数をとってもとの大小関係が決まります。
ただし、不等号の両辺が1より大か、小かを確認して逆数の不等号を考えてください。

結果の大小関係は正しいですね。

Qイラレ:最近のトンボの作り方

私は、イラレでトンボを作るとき、実サイズより少し大きめにアートボードを設定して、その中に実サイズのトンボを制作していました。

例:A4を作るときの手順
230 x 320のアートボードを設定
その中に210 x 297の四角形を作りトリムマークを作成

この様に作成をしていました。

しかし、先日、ある知り合いに「君のトンボの作り方は古い、最近はアートボード自体を210 x 297に設定をする」と言われました。
そこで、さっそく作ってみたのですが、プリントする時にアートボードの内側しかプリントされないので、どうやってもトンボが印刷されません。

例:210 x 297のアートボードに210 x 297のトンボを付けるとアートボードの外にトンボが表示されます。しかし印刷範囲はアートボード内なので外側のトンボが表示されない。

プリントの画面で「アートボードを無視」というチェック項目がありますが、これをするとアートボードを実サイズにした意味がないのではないかと思います。

この人にはなかなか会う機会がないのでここで質問させていただきます。

みなさんはどの様にトンボを作っていますか?

よろしくお願いします。

私は、イラレでトンボを作るとき、実サイズより少し大きめにアートボードを設定して、その中に実サイズのトンボを制作していました。

例:A4を作るときの手順
230 x 320のアートボードを設定
その中に210 x 297の四角形を作りトリムマークを作成

この様に作成をしていました。

しかし、先日、ある知り合いに「君のトンボの作り方は古い、最近はアートボード自体を210 x 297に設定をする」と言われました。
そこで、さっそく作ってみたのですが、プリントする時にアートボードの内側しかプリントされないので...続きを読む

Aベストアンサー

ご質問は
どうやってトンボを印刷するかですよね。

アートボードは仕上がりサイズで作成して下さい。

「プリント...」で開くダイアログで
左側にある「トンボと裁ち落とし」というのをクリックして下さい。
「トンボ」の所でチェックを入れて
(私は通常トンボとレジストレーションマークの2つのチェックで使ってます)

裁ち落としがある場合は、
「裁ち落とし」の所で数値を入力
通常は3mmでしょうか。
それから、
※重要→プリント...のトンボを使わず、作成したトリムマークをプリントしたい場合、ここの数値を20mmとか大きめに入力しておけばOK。
(要はアートボードより外側どれ位の範囲をプリントしますかってことなので)

仕上がりより大きいサイズの用紙を指定して

プリント。

Qcosx = 1/√2 - (1/√2)・(x-π/4) - (1/2√2)・(x-π/4)^2 +

cosx = 1/√2 - (1/√2)・(x-π/4) - (1/2√2)・(x-π/4)^2 + {(x-π/4)^3/3!}・sin(θx)  
(0<θ<1)

f(x) = (4/π^2)・{2(x-π/4)(x-π/2)-√2・x(x-π/2)}
このグラフが分かりません…
教えてください!

Aベストアンサー

+ {(x-π/4)^3/3!}・sin(θx) は
+ {(x-π/4)^3/3!}・cos(θ(x-π/4)) ではないかと...違うかな?

で、これは cosx そのものです。θは x の関数なのでそれに惑わされないように。


下のはそれでなく、f(x)=(8/π^2){ (x-π/4)(x-π/2) - √2 x(x-π/2) } が正しいと思います・・・
このグラフは添付した図になります。
かなり近いです。

描き方は、計算機を用意して頂点を数値計算、あとは (0, 1) 、(π/4, 1/√2) 、(π/2, 0) を通るように二次関数のグラフを描けば良いです。
あるいはグラフ描画ソフトの力を借ります。

Qトンボは、目を回してしまうのですか?。

トンボをつかまえる時、指を回しながら、トンボの目に近づけていく方法があります。トンボは、目回っているんでしょうか?。
乗り物酔いがひどいわたしは、トンボより先に目が回ってしまいそうです。少し気持ち悪くなってきました・・・。

Aベストアンサー

 こんばんは! gingakeiさん。
そうですね、あれは目が回っていると言うよりは、指の動きをじっと見てるといった方が当たっているかもしれません。ぐるぐる回しながら近づくと必ず小首をかしげて指の動きに全神経を集中させます。私も子供の頃に指を回しながらトンボを捕まえる少年でした。網で捕獲するのではなく指で捕まえるのですからそれはそれは気分が高揚します。でもライオンの狩りではありませんが、成功率は2~3割といったところでした。難しいのは止まったトンボに近づくまででした。止まっているトンボに接近できたら捕獲成功率ほぼ8~9割。小首を傾げたら捕獲成功率はほぼ100%でした(この小首をかしげるシーンが「目を回した」と勘違いさせる原因だったのでしょう)。でもトンボもさるもの引っ掻くもの、なかなかそこまでの接近戦に持ち込ませてくれないのですよ。
 少年時代の憧れのトンボは、オニヤンマでした。ギンヤンマは何とか捕獲できても、オニヤンマはなかなか…。(あ、私、ご質問とは関係のないことを…(^_^;))
いつもいつもgingakeiさんのご質問のお陰で童心に戻れます。失礼致しました。

 こんばんは! gingakeiさん。
そうですね、あれは目が回っていると言うよりは、指の動きをじっと見てるといった方が当たっているかもしれません。ぐるぐる回しながら近づくと必ず小首をかしげて指の動きに全神経を集中させます。私も子供の頃に指を回しながらトンボを捕まえる少年でした。網で捕獲するのではなく指で捕まえるのですからそれはそれは気分が高揚します。でもライオンの狩りではありませんが、成功率は2~3割といったところでした。難しいのは止まったトンボに近づくまででした。止まっている...続きを読む

Q【問題】lim[n→∞]{1/n(1/√2+2/√5+・・・+n/√(

【問題】lim[n→∞]{1/n(1/√2+2/√5+・・・+n/√(n^2+1))} ただしnは自然数とする。

≪自分の解答≫
lim[n→∞](1/n)*?[k=1~n](k/√(k^2+1))
=lim[n→∞](1/n)*?[k=1~n]{(k/n)/√((k/n)^2+1/n^2)}

というところまで
やってみたのですが…

どうしたらいいでのしょうか??

Aベストアンサー

No2さまの後段にある区分求積の考え方を使ってみました。


a_n=1/√2+2/√5+・・・+n/√(n^2+1) とおく。

f(x)=x/√(x^2+1)とおくと、f(x)は単調増加関数。
したがって、
∫[(n-1)~n]f(x)dx < n/√(n^2+1) < ∫[n~(n+1)]f(x)dx
上式を1~nまで足し合わせると、
∫[0~n]f(x)dx < a_n < ∫[1~(n+1)]f(x)dx

∫f(x)dx=√(x^2+1)+C なので、
∫[0~n]f(x)dx=√(n^2+1)-1
∫[1~(n+1)]f(x)dx=√((n+1)^2+1)-√2

以上から、
{√(n^2+1)-1}/n < a_n/n < (√((n^2+2n+2)-√2)/n

ゆえにn→∞では、a_n/n→1 


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