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平成13年慶應女子高校4の4の問題の解法を教えてください。

http://www.inter-edu.com/h_jyuken/data/test/keio …
高等学校2001年度 数学の問題(s01_keiojyosi_su.pdf)です。

A 回答 (13件中1~10件)

a,b,cがそれぞれ整数の場合はNo.12の回答でいいと思います。


多分それが出題者が期待している回答です。

「連続の公理」は「アルキメデスの原則」といった方がいいです。
アルキメデスの原則:
ε,Eをそれぞれ正の実数としたときεがいかに小さくてもEがいかに大きくてもE<n・εを満たす自然数nが存在する。

a,b,cがそれぞれ実数のときは中学生には難しいが理解は可能だと思います。
というのは「アルキメデスの原則」は自明のこととして受け入れられるからです。

No.3の
[従ってnを自然数とすると
Aを2・n回実行した時sがn・S以上増加しているかsが正になっている
nが限りなく増加するとn・Sは限りなく増加するのであるnでsは正になっている]

[従ってnを自然数とすると
Aを2・n+2または2・n+3回実行した時sがn・S以上増加しているかsが正になっている
nが限りなく増加するとn・Sは限りなく増加するので適当なnでsは正になっている]
でいいのでは?
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どうもすいません


a,b,cが実数の時は中学の範囲を超えているので理解していただけなかったようです
a,b,cが整数の時は非常に簡単なのですよ

a,b,cが整数の時の回答:

4-3からa,b,cに負のものがあるときAを実行するとa^2+b^2+c^2は減少します
Aを何度実行してもa,b,cに負のものがあるとa^2+b^2+c^2は減少し続けますがa^2+b^2+c^2は負にはなれないのでそのようなことはあり得ません
従ってAを実行するうちにいつかa,b,cはすべて0以上にならなければならない
(a,b,cが実数だとこの証明は不完全である)

問題の読み間違い失礼しました
それとgooの規則を知らなかったことをお詫びします

この回答への補足

4-3からとは、「問題4の設問3」からと言う意味ですね。
了解。

私としてははじめから
「和一定」かつ「平方の和が単調減少」→「負の数の絶対値が単調減少」
とは分かったのですが、言い切っちゃっていいのかなあ。
もっとうまく説明できるのかなあと思っていました。
数字の選び方で収束の遅いのもありましたし、

と思い質問いたしました。


>a,b,cが実数の時は中学の範囲を超えているので理解していただけなかったようです

ダレがですか。理解の主語を言ってください。

補足日時:2002/03/29 22:46
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この回答へのお礼

4-3から
「4-3から」と言う意味が分かりません。


a,b,cに負のものがあるときAを実行するとa^2+b^2+c^2は減少します
OK

Aを何度実行してもa,b,cに負のものがあるとa^2+b^2+c^2は減少し続けますがa^2+b^2+c^2は負にはなれないのでそのようなことはあり得ません
OK

従ってAを実行するうちにいつかa,b,cはすべて0以上にならなければならない
OK

(a,b,cが実数だとこの証明は不完全である)
そうですね。

設問の流れから見てもこれでいいのでしょうね。うーむ。カンタンでしたね。
お騒がせを致しました。

お礼日時:2002/03/29 22:36

しょうもないことですけどもAの定義を拡張していた方がいいですね


a,b,cが全部0以上の実数のときAを実行することは何もしないこととする
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konyさんへ


(a,b,c)=(-7,+6,+6)のときAを実行すると
(a,b,c)=(+7,-1,-1)になりませんか?

私の回答はa,b,cがそれぞれ実数としたものでした
中学生では難しいと思っていたのでおかしいなと思っていたのですが
問題を良く読まない悪い癖が出たようですね
しかし実数の公理が暗黙の了解で出てきますが実数でも成立しますね
表現の問題が残っていますがほぼ了解できるのではないですか

従ってnを自然数とすると
Aを2・n回実行した時sがn・S以上増加しているかsが正になっている
nが限りなく増加するとn・Sは限りなく増加するのであるnでsは正になっている

のところの改良が必要ですね
ほとんど表現論ですが


従ってAを2回あるいは3回実施するとsがS増加するかsが0になる
そのような操作をn回実施するとsがn・S増加するかsが0になる
実数の公理からnを限りなく大きくするとn・Sは限りなく大きくなるから
いずれsは0になる

ちょっとおおざっぱですけれども実数の範囲に一般化されています
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一応、自分なりに書いた答案を読んでみましたが、たぶん間違ってなさそうです。


で、補足。
4)より、2回の操作を行えば、負の数は真に大きくなる。ここで「整数」なので、1以上大きくなる。
これが大事で、ということは、「はじめの最小の数」の「絶対値」の2倍、すなわち2|a|回以内で事柄Bにたどりつくことがいえます。

これが整数でなかったら・・・無限回の世界にいっちゃいそうなんですが。
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1)規則Aを1回行ったとき、負の数の個数は高々1個である


○初期設定で負の数が2つある場合・・・a<=b<0<cとしても一般性を失われない。
→aを作用させる場合、(a,b,c)→(-a,a+b,a+c)となり、-a>0, a+b<0, a+c>a+b+c>0なので、負の数は1つ
→bを作用させる場合、(a,b,c)→(a+b,-b,b+c)となり、a+b<0, -b>0, b+c>a+b+c>0なので、負の数は1つ
○初期設定で負の数が1つある場合・・・a<0<=b<=cとしても一般性を失われない。
(a,b,c)→(-a,a+b,a+c)となる。-a>0である。
ここで、a+c<0と仮定すると、a+b<=a+c<0より操作後の値は3つとも負になり、恒等式-a+(a+b)+(a+c)=a+b+cの左辺は負となるが、題意より右辺は正であり、矛盾

2)規則Aを1回以上行ったとき、負の数の個数は高々1個である
→1)を1回操作したあと、「初期設定で負の数が1つある場合」と同様に考えればOK。

3)規則Aを2回以上行った後も負の数が発生する場合、直近の操作前後で負の数が小さくなることはない
→2回以上行っているので、直近の操作前は「初期設定で負の数が1つある場合」を考えればよく、操作後の負の値はa+bとなるが、b>=0なので、a+b>=a


4)規則Aを2回行った後も負の数が発生する場合、操作前後で負の数は必ず大きくなる
○3)において、b>0の場合は、1回目の操作で負の数は真に大きくなり、2回目の操作では負の数は小さくならない。ということは、2回の操作では負の数は真に大きくなる。
○3)において、b=0の場合・・・(a,0,c)→(-a,a,a+c)→(0,-a,2a+c)となり、負の数があるならば、2a+cがそれに該当する。(-a>0だから)
ここで、(2a+c)-a=a+c=(操作前の3数の和)>0なので、2a+c>a

ここで書きながら考えたので、間違ってるかもしれないです。よって、自信なしで。(^^;)

この回答への補足

1)規則Aを1回行ったとき、負の数の個数は高々1個である

1行目から間違い

補足日時:2002/03/29 04:23
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いやー困った困った


中学生の問題なのに事はそう簡単ではないぞ

Aを実行する度の負数の個数の推移パターンを図示すると以下のいずれかである
(a)
1-2-1-2-1-2-1-・・・-1-2-1-1-1-・・・-1-0
(b)
2-1-2-1-2-1-2-・・・-1-2-1-1-1-・・・-1-0
(c)
1-1-1-1-1-1-1-・・・-1-1-1-1-1-・・・-1-0

1-2ではsはS増加し2-1ではsは変化しない
1-1-1ごとにsがS増加する
とすべきですね

結論は明らかだけれども「2・n」のところは
「2・(n+x)+3・(m+x)」(x=0or1)にしないといけないな
漠然とした表現ならできると思いますが

この回答への補足

内容ではなく表現法の問題です。

補足日時:2002/03/29 04:26
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3つの「整数」の組だったら、以下のことがいえそうです。


1)規則Aを1回行ったとき、負の数の個数は高々1個である
2)規則Aを1回以上行ったとき、負の数の個数は高々1個である
3)規則Aを1回行った後も負の数が発生する場合、操作前後で負の数が小さくなることはない
4)規則Aを2回行った後も負の数が発生する場合、操作前後で負の数は必ず小さくなる
→これらがいえれば、やがて必ず3つとも0以上の数になることがいえます。

後ほど、証明の形で書きます。おもしろい問題だったので、まだ閉じないで!
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Aを実行する度の負数の個数の推移パターンを図示すると以下のいずれかである


(a)
1-2-1-2-1-2-1-・・・-1-2-1-1-1-・・・-1-0
(b)
2-1-2-1-2-1-2-・・・-1-2-1-1-1-・・・-1-0
(c)
1-1-1-1-1-1-1-・・・-1-1-1-1-1-・・・-1-0

1-2ではsはS増加し2-1ではsは変化しない
2-1-1-1でsはS増加し以後1-1ごとにsが0になるまでS増加する

従って
「Aを2・n回実行した時sがn・S以上増加」は
「Aを2・(n+1)回実行した時sがn・S以上増加」とすべきだろう
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「sが正になっている」(2カ所)は「sが0になっている」でした

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