教科書で
f(t) = cosω0tの周波数スペクトルをフーリエ変換を用いて求めよ
という問いがあり、解答には
cosω0t = ( e^(jω0t) + e^(-jω0t) ) / 2 より
Fc(ω) = ∫cosω0t・e^(-jωt)
=(1/2) * { ∫e^(-j(w-ω0)t)dt + ∫e^(-j(w+ω0)t)dt }・・・(a)
=(1/2) * { 2πδ(ω-ω0) + 2πδ(ω+ω0) }・・・(b)
=π * { δ(ω-ω0) + δ(ω+ω0) }
(積分範囲は -∞~∞ です)
とありますが、(a)から(b)への式変形がわかりません。
基本的な問題なのだと思いますが、フーリエ変換は数学で少しした程度で、
πやδがなぜ出るかがわかりません。
式が見にくいと思いますがよろしくお願いします。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
wはωのことでしょうか.
(a)→(b)はデルタ関数の定義みたいなものです.
多分,教科書の前のほうに書いてあるのではないでしょうか.
とりあえず,ω≠ω0のとき0,ω=ω0のとき積分不能(∞)なことはわかると思いますが,ちゃんと説明するのは,超関数とは何かから始まって,けっこう大変だと思います.
例えば,δ(t)をフーリエ変換してみると,
Fδ(ω) = ∫δ(t)・e^(-jωt)dt
= 1
なんで,この逆変換を考えて
δ(t) = F^-1[Fδ(ω)]
= 1/(2*π)∫1・e^(jωt)dω
が成り立つとすれば,δ(t)が偶関数であることから,
δ(t) = 1/(2*π)∫e^(-jωt)dω
ということになります.
とりあえず,こんな説明でわかった気になってればいいんではないでしょうか.
情報通信の教科書なのでフーリエ変換についてはあまりふれてなく載ってないみたいです。
でも式変形で導けることが分かって納得しました。
ありがとうございました。
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